Signál a vzorkování: proč platí Nyquistův teorém

Nechť I ⊆ ℝ je interval časů (v sekundách; může to být i celé ℝ). Spojitý signál je funkce x : I → ℝ; hodnota x(t) je velikost sledované veličiny (tlak vzduchu, napětí, jas) v okamžiku t ∈ I. Diskrétní signál je posloupnost x : ℤ → ℝ (nebo jen x : {0, 1, …, N − 1} → ℝ), n ↦ x[n] — hodnoty má jen v oddělených okamžicích očíslovaných celým indexem n. Místo času může být nezávislou proměnnou i poloha v prostoru.

Nechť A > 0, f ≥ 0 a φ ∈ ℝ. Sinusovka s amplitudou A, frekvencí f a fází φ je spojitý signál x : ℝ → ℝ,

x(t) = A sin(2πft + φ),

kde t je v sekundách, f v hertzích (1 Hz = 1 kmit za sekundu) a φ v radiánech. Pro f > 0 je perioda T = 1/f nejmenší kladné číslo, pro které x(t + T) = x(t) pro všechna t ∈ ℝ. Sinusovka tedy kmitá mezi −A a A a za každou sekundu vykoná právě f celých kmitů.

Stejný předpis dává smysl i pro záporné f: protože sin(−u) = −sin u, je A sin(2πft + φ) = −A sin(2π|f|t − φ), tedy obrácená sinusovka s frekvencí |f|.

Nechť x : ℝ → ℝ je spojitý signál a f_s > 0 je vzorkovací frekvence (počet vzorků za sekundu, v Hz). Její převrácená hodnota T_s = 1/f_s je vzorkovací perioda. Vzorkování je přiřazení diskrétního signálu — posloupnosti vzorků

x[n] = x(nT_s) = x(n/f_s),   n ∈ ℤ

(skutečný záznam je konečný: n = 0, 1, …, N − 1). Vzorek x[n] je tedy hodnota signálu v okamžiku nT_s a mezi těmito okamžiky signál neměříme.

f/f_s = 2/8 = 1/4 kmitu na vzorek, takže x[n] = sin(2π · 1/4 · n) = sin(π/2 · n) (barvy podle vzorce výše):

Na kmit připadají čtyři vzorky: nula, vrchol, nula, důl. Při f_s = 3 Hz je podíl 2/3 kmitu na vzorek a vzorky vyjdou 0; −0,866; 0,866; 0 — přesně jako u sinusovky −1 Hz (podíl −1/3), protože 2/3 a −1/3 se liší o celý kmit.

Nechť f_s > 0 je vzorkovací frekvence. Podle věty níže mají sinusovky se stejnou amplitudou a fází a s frekvencemi f a f + kf_s, kde k ∈ ℤ, stejné vzorky. Pro frekvenci f ∈ ℝ definujeme

k = round(f/f_s) ∈ ℤ   (nejbližší celé číslo)   a   f_a = |f − kf_s| ∈ [0, f_s/2].

Číslo f_a je zdánlivá frekvence: nejmenší nezáporná frekvence, jejíž sinusovka (případně obrácená) má stejné vzorky jako sinusovka s frekvencí f. Aliasing nastane, právě když f_a ≠ |f|, tj. právě když |f| > f_s/2: sinusovka se po vzorkování jeví jako sinusovka s jinou, nižší frekvencí f_a.

Nechť f ∈ ℝ, φ ∈ ℝ a f_s > 0. Pak pro každé k ∈ ℤ a každé n ∈ ℤ platí

sin(2π(f + kf_s) · n/f_s + φ) = sin(2πf · n/f_s + φ),

tj. sinusovky s frekvencemi f a f + kf_s mají při vzorkování frekvencí f_s stejné vzorky.

Důkaz. Roznásobíme: 2π(f + kf_s) · n/f_s = 2πf · n/f_s + 2π · kn. Číslo kn je celé a sinus má periodu 2π, takže přičtení 2πkn hodnotu nezmění. ∎

Navíc sin(−u) = −sin(u): záporná frekvence je táž sinusovka obrácená (s fází posunutou o π). Proto se 9 Hz při 10 Hz převlékne za −1 Hz, tedy za obrácenou jednohertzovou.

Barvy odpovídají členům vzorce výše. Dokud je f/f_s pod 0,5, vyjde k = 0 a frekvence se nezmění. Jakmile podíl překročí polovinu, zaokrouhlí se na 1 a frekvence se „zrcadlí“ kolem f_s/2: čím výš nad ní skutečná frekvence je, tím níž se objeví.

Nechť B > 0. Spojitý signál x : ℝ → ℝ s konečnou energií (∫ x(t)² dt < ∞) je frekvenčně omezený s mezí B, právě když jeho Fourierova transformace X(f) (viz díl Fourierova transformace) splňuje X(f) = 0 pro všechna |f| > B — signál neobsahuje žádné frekvence vyšší než B. Pro vzorkovací frekvenci f_s > 0 se číslo f_s/2 nazývá Nyquistova frekvence.

Věta (Nyquist, Shannon, Kotělnikov). Nechť x je frekvenčně omezený s mezí B, f_s > 2B a x[n] = x(n/f_s) pro n ∈ ℤ. Pak pro každé t ∈ ℝ platí

x(t) = ∑_n=−∞^∞ x[n] · sinc(f_st − n)

(Whittakerova–Shannonova interpolace; funkce sinc je definovaná níže). Signál je tedy vzorky určený jednoznačně a přesně. Pro sinusovky a jejich konečné součty, které konečnou energii nemají, platí závěr také, pokud jsou všechny jejich frekvence ostře menší než f_s/2.

Normovaná funkce sinc je funkce sinc : ℝ → ℝ,

sinc(u) = sin(πu)/πu   pro u ≠ 0,   sinc(0) = 1.

Hodnota v nule je limita zlomku pro u → 0, takže sinc je spojitá.

Věta. Pro každé m ∈ ℤ, m ≠ 0, je sinc(m) = 0. Důkaz: sin(πm) = 0 pro celé m a jmenovatel πm nulový není. ∎

Důsledek. Nechť f_s > 0, (x[n])_{n ∈ ℤ} jsou vzorky a x̂(t) = ∑_n x[n] · sinc(f_st − n), pokud řada konverguje. Pak x̂(m/f_s) = x[m] pro každé m ∈ ℤ. Důkaz: v okamžiku t = m/f_s je f_st − n = m − n celé číslo, takže ze součtu zbude jediný nenulový člen n = m s váhou sinc(0) = 1. ∎

Mezi vzorky přispívají všechny: v polovině mezi dvěma vzorky má každý z nich váhu sinc(±0,5) = 2/π ≈ 0,637, další dva sinc(±1,5) ≈ −0,212 a tak dál se střídavým znaménkem a klesající velikostí (barvy podle vzorce výše).

Nechť x : ℝ → ℝ je signál, N ≥ 1 a t₁ < … < t_N jsou okamžiky husté rovnoměrné mřížky zkoumaného intervalu. Efektivní hodnota (RMS, root mean square) signálu x na této mřížce je odmocnina z průměru čtverců

RMS(x) = √1/N ∑_i=1^N x(t_i)².

Nechť x̂ : ℝ → ℝ je rekonstrukce signálu x. Chyba rekonstrukce je efektivní hodnota rozdílu

RMS(x̂ − x) = √1/N ∑_i=1^N (x̂(t_i) − x(t_i))²;

v textu ji počítáme na N = 801 rovnoměrně rozložených bodech intervalu [0, 2] s.

Sinusovka s amplitudou A má efektivní hodnotu A/√2 (průměr sin² přes celé kmity je 1/2), a efektivní hodnoty dvou sinusovek s různými frekvencemi se sčítají „v kvadrátu“.

Sinusovka sin(2π · 7t) vzorkovaná přesně 14krát za sekundu: f/f_s = 7/14 = 1/2 a (barvy podle vzorce vzorkování výše)

Všechny vzorky padnou do průchodů nulou a signál ze záznamu úplně zmizí — nejde ho odlišit od ticha. S jinou fází by vzorky nulové nebyly, ale ze vzorků by nešlo poznat amplitudu: sin(πn + φ) = (−1)ⁿ sin φ, takže amplituda A a fáze φ dávají tytéž vzorky jako jakákoli dvojice se stejným A sin φ. Proto teorém chce f_s > 2B, ne ≥.

Nechť f_c > 0. Ideální dolní propust s mezní frekvencí f_c je lineární systém (součet signálů zpracuje po složkách), který

1. každou sinusovku A sin(2πft + φ) s |f| < f_c propustí beze změny,
2. každou sinusovku s |f| > f_c převede na nulový signál.

Nechť f_s > 0 je vzorkovací frekvence. Antialiasingový filtr je dolní propust zařazená před vzorkování, s mezní frekvencí f_c ≤ f_s/2. Skutečný filtr neumí utnout ostře; jeho přechodové pásmo je interval [f_p, f_z], kde f_p je nejvyšší frekvence, kterou ještě propouští (téměř) beze změny, a f_z nejnižší frekvence, od které výš ji už dostatečně potlačí. Aby nevznikl aliasing, musí platit f_z ≤ f_s/2.

Čím užší přechodové pásmo, tím strmější (a dražší, delší) filtr. Proto se vzorkuje o kus rychleji, než by teorém vyžadoval.

Nechť b ≥ 1 je počet bitů a hodnoty signálu leží v rozsahu [−1, 1]. Nechť q₀ < q₁ < … < q_2^b−1 jsou povolené úrovně (konkrétní volba v další definici). Kvantizace s b bity je zobrazení

Q_b : [−1, 1] → {q₀, …, q_2^b−1},   x ↦ ta úroveň q_i, pro kterou je |q_i − x| nejmenší.

Kvantizační šum (chyba) vzorku x je e = Q_b(x) − x. Pro signál se vzorky x[n] je výkon signálu P_s průměr čtverců x[n]² a výkon šumu P_š průměr čtverců chyb. Odstup signálu od šumu je

SNR = 10 log₁₀ P_s/P_š dB

(decibel viz další definice). Pro sinusovku přes celý rozsah vychází SNR ≈ 6,02 · b + 1,76 dB (odvození níže): každý bit navíc přidá asi 6 dB.

Nechť b ≥ 1. Rozsah [−1, 1] rozdělíme na 2^b stejných intervalů o šířce kvantizačního kroku

Δ = 2/2^b.

Pro vzorek x ∈ [−1, 1] je číslo jeho intervalu (kód)

i = min(⌊x + 1/Δ⌋, 2^b − 1) ∈ {0, 1, …, 2^b − 1}

(minimum ošetří jen krajní bod x = 1) a kvantovaná hodnota je střed tohoto intervalu, q = −1 + (i + ½) Δ. Úrovně jsou tedy středy intervalů a pro každé x ∈ [−1, 1] platí |q − x| ≤ Δ/2.

Nechť P₁, P₂ > 0 jsou výkony (průměry čtverců). Jejich poměr v decibelech je

10 log₁₀ P₁/P₂ dB.

Výkon roste se čtvercem amplitudy, takže dvojnásobná amplituda je 10 log₁₀ 4 = 20 log₁₀ 2 ≈ 6,02 dB.