Přehled pravděpodobnostních rozdělení: Bernoulli, binomické, Poisson, rovnoměrné, normální a exponenciální

Nechť (Ω, 𝓕, P) je pravděpodobnostní prostor, X : Ω → ℝ je náhodná veličina a p ∈ [0, 1]. Pro x ∈ ℝ píšeme P(X = x) jako zkratku za P({ω ∈ Ω : X(ω) = x}). Veličina X má Bernoulliho rozdělení s parametrem p, píšeme X ~ Be(p), právě když

P(X = 1) = p   ∧   P(X = 0) = 1 − p.

Protože p + (1 − p) = 1, nabývá X s pravděpodobností 1 jen hodnot 0 a 1: hodnotu 1 („úspěch“) s pravděpodobností p, hodnotu 0 („neúspěch“) s pravděpodobností 1 − p.

Pro p = 0,5 by vyšlo 0,25 — víc to u veličiny s hodnotami 0 a 1 nejde, protože p(1 − p) je parabola s vrcholem v 0,5.

Nechť (Ω, 𝓕, P) je pravděpodobnostní prostor, X : Ω → ℝ náhodná veličina, n ∈ ℕ, n ≥ 1, a p ∈ [0, 1]. Pro k ∈ {0, 1, …, n} označme

(n nad k) = n!/k! · (n − k)!

kombinační číslo (počet k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny; m! = 1 · 2 · … · m a 0! = 1). Veličina X má binomické rozdělení s parametry n a p, píšeme X ~ Bi(n, p), právě když

∀k ∈ {0, 1, …, n} :   P(X = k) = (n nad k) · p^k · (1 − p)^n−k.

Podle binomické věty se tyto pravděpodobnosti sečtou na (p + 1 − p)ⁿ = 1, takže X s pravděpodobností 1 nabývá jen hodnot 0, 1, …, n. Bi(1, p) je totéž co Be(p).

Barvy odpovídají členům vzorce výše. U mince je p = 1 − p = 0,5, takže druhý a třetí člen dají pro každé k stejné 1/1024 a o všem rozhoduje kombinační číslo.

Nechť (Ω, 𝓕, P) je pravděpodobnostní prostor, X : Ω → ℝ náhodná veličina a λ ∈ ℝ, λ > 0. Označme ℕ₀ = {0, 1, 2, …}. Veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, píšeme X ~ Po(λ), právě když

∀k ∈ ℕ₀ :   P(X = k) = e^−λ · λ^k/k!.

Protože ∑_k=0^∞ λ^k/k! = e^λ, sečtou se tyto pravděpodobnosti na 1 a X s pravděpodobností 1 nabývá jen hodnot z ℕ₀.

Barvy odpovídají členům vzorce výše. Každá další pravděpodobnost je předchozí krát λ/k. Dokud je k < λ, roste, pak klesá — pro celé λ jsou proto dvě nejpravděpodobnější hodnoty λ − 1 a λ.

Nechť λ ∈ ℝ, λ > 0, a k ∈ ℕ₀ jsou pevná. Pro každé n ∈ ℕ, n > λ, nechť X_n ~ Bi(n, λ/n) (podmínka n > λ zaručí λ/n ∈ [0, 1]). Pak

lim_n→∞ P(X_n = k) = e^−λ · λ^k/k!.

Důkaz. Pro n ≥ k rozložíme binomickou pravděpodobnost s p = λ/n na čtyři činitele:

Nechť P, Q : ℤ → [0, 1] jsou dvě rozdělení pravděpodobnosti na množině celých čísel ℤ, tj. ∑_{k ∈ ℤ} P(k) = ∑_{k ∈ ℤ} Q(k) = 1, a pro A ⊆ ℤ označme P(A) = ∑_{k ∈ A} P(k) a Q(A) = ∑_{k ∈ A} Q(k). Celková odchylka (total variation distance) rozdělení P a Q je číslo

d(P, Q) = 1/2 · ∑_{k ∈ ℤ} |P(k) − Q(k)| ∈ [0, 1].

Platí d(P, Q) = max_{A ⊆ ℤ} |P(A) − Q(A)| a maxima se nabývá pro A = {k ∈ ℤ : P(k) > Q(k)}. Celková odchylka je tedy největší rozdíl, jaký mohou obě rozdělení dát pravděpodobnosti téže události. Polovina je tam proto, že co jednomu rozdělení u některých k přebývá, to mu jinde chybí — bez ní bychom každý rozdíl počítali dvakrát.

Nechť (Ω, 𝓕, P) je pravděpodobnostní prostor, X : Ω → ℝ náhodná veličina a a, b ∈ ℝ, a < b. Veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [a, b], píšeme X ~ R(a, b), právě když má hustotu f : ℝ → [0, ∞),

f(x) = 1/b − a pro x ∈ [a, b],   f(x) = 0 pro x ∉ [a, b].

Tj. pro každé x ∈ ℝ je P(X ≤ x) = ∫_−∞^x f(t) dt; pravděpodobnost každého podintervalu [c, d] ⊆ [a, b] je pak d − c/b − a a závisí jen na jeho délce.

Pravděpodobnost úseku je jeho délka krát výška 1/b − a: že budete čekat déle než 7 minut, je 10 − 7/10 = 0,3.

Nechť (Ω, 𝓕, P) je pravděpodobnostní prostor, X : Ω → ℝ náhodná veličina, μ ∈ ℝ a σ ∈ ℝ, σ > 0. Pro y ∈ ℝ píšeme exp(y) = e^y. Veličina X má normální (Gaussovo) rozdělení s parametry μ a σ², píšeme X ~ N(μ, σ²), právě když má hustotu f : ℝ → (0, ∞),

f(x) = 1/σ√2π · exp(−(x − μ)²/2σ²),   x ∈ ℝ.

Parametr μ je pak střední hodnota a σ² rozptyl veličiny X (σ je její směrodatná odchylka).

Barvy odpovídají členům vzorce výše.

O dvě σ dál je hustota e⁻² ≈ 7,4krát nižší. Hustota není pravděpodobnost: mezi 175 a 176 cm měří přibližně 0,057 · 1 cm ≈ 5,7 % mužů.

Normální rozdělení N(0, 1), tj. s parametry μ = 0 a σ = 1, se nazývá normované normální rozdělení. Jeho hustotu značíme φ : ℝ → (0, ∞),

φ(z) = 1/√2π · exp(−z²/2),   z ∈ ℝ.

Standardizace. Nechť μ ∈ ℝ, σ > 0 a X ~ N(μ, σ²). Pak náhodná veličina

Z = X − μ/σ   splňuje   Z ~ N(0, 1).

Nechť Z ~ N(0, 1) a φ je hustota normovaného normálního rozdělení. Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení je funkce Φ : ℝ → (0, 1),

Φ(z) = P(Z ≤ z) = ∫_−∞^z φ(t) dt = ∫_−∞^z 1/√2π · exp(−t²/2) dt,   z ∈ ℝ.

Nechť μ ∈ ℝ, σ > 0 a X ~ N(μ, σ²). Ze standardizace a ze symetrie φ(−t) = φ(t) pak pro každé x ∈ ℝ a každé k > 0 platí

P(X ≤ x) = Φ(x − μ/σ),   P(|X − μ| < kσ) = Φ(k) − Φ(−k) = 2Φ(k) − 1.

Vstup: funkce f : [a, b] → ℝ (v každém bodě vyčíslitelná), meze a, b ∈ ℝ, a < b, a sudé číslo n ∈ ℕ, n ≥ 2 (počet dílků).

Výstup: číslo S_n ∈ ℝ, přibližná hodnota integrálu ∫_a^b f(x) dx.

Kroky:

1. Šířka dílku: h = b − a/n.
2. Body dělení: x_i = a + ih pro i = 0, 1, …, n (takže x₀ = a, x_n = b).
3. Na každé dvojici sousedních dílků [x_2j, x_2j+2], j = 0, …, n/2 − 1, nahradíme f parabolou procházející třemi body (x_2j, f(x_2j)), (x_2j+1, f(x_2j+1)), (x_2j+2, f(x_2j+2)) a sečteme plochy pod parabolami; vyjde S_n = h/3 · [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(x_n−1) + f(x_n)], tj. vnitřní body s lichým indexem mají váhu 4, se sudým indexem váhu 2 a krajní body váhu 1.
4. Vrátíme S_n.

Zastavení: algoritmus skončí vždy, po vyčíslení f v n + 1 bodech. Přesnost se volí předem počtem dílků n; pro f se spojitou čtvrtou derivací klesá chyba úměrně h⁴.

simpson(f, a, b, n):                     # n sudé
    h ← (b − a) / n
    s ← f(a) + f(b)
    pro i = 1 … n − 1:
        s ← s + (4, je-li i liché, jinak 2) · f(a + i·h)
    vrať s · h / 3

φ je hustota N(0, 1). Už se dvěma dílky je chyba jen asi 1 procentní bod a dál klesá se čtvrtou mocninou šířky dílku h — dvakrát víc dílků ji zmenší zhruba šestnáctkrát.

Nechť (Ω, 𝓕, P) je pravděpodobnostní prostor, X : Ω → ℝ náhodná veličina a λ ∈ ℝ, λ > 0. Veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem (intenzitou) λ, píšeme X ~ Exp(λ), právě když má hustotu f : ℝ → [0, ∞),

f(x) = λ e^−λx pro x ≥ 0,   f(x) = 0 pro x < 0.

Ekvivalentně má X distribuční funkci F(x) = 1 − e^−λx pro x ≥ 0 a F(x) = 0 pro x < 0.

Nechť λ > 0, X ~ Exp(λ) a s, t ∈ ℝ, s, t ≥ 0. Pak P(X > s) > 0, podmíněná pravděpodobnost níže je tedy definovaná, a platí

P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

Důkaz. P(X > x) = ∫_x^∞ λe^−λu du = e^−λx. Jev „X > s + t“ je částí jevu „X > s“, takže podle definice podmíněné pravděpodobnosti