Fuzzy řízení: Mamdani a Sugeno od ventilátoru po kyvadlo na vozíku

Nechť X je množina možných naměřených stavů soustavy (typicky X ⊆ ℝⁿ, kde n ≥ 1 je počet měřených veličin) a U množina přípustných akčních zásahů (typicky U ⊆ ℝ^m, m ≥ 1). Regulátor (bez vnitřní paměti — takové jsou všechny regulátory v tomto dílu) je zobrazení

R : X → U,   x ↦ u = R(x),

které každému naměřenému stavu x ∈ X přiřadí právě jeden zásah u ∈ U. Regulátor tedy rozhoduje jen podle současného měření. V uzavřené smyčce (přesně v další definici) se zásah projeví na soustavě, ta se změní, změří se znovu a regulátor znovu zasáhne — typicky desítky až tisíce krát za sekundu.

Nechť X a U jsou množiny stavů a zásahů a R : X → U regulátor jako v předchozí definici. Dále nechť Δt > 0 je délka kroku (počítač měří a zasahuje jednou za Δt), F : X × U → X zobrazení, které ze stavu a zásahu na začátku kroku určí stav na jeho konci (získá se z pohybových rovnic soustavy), a x₀ ∈ X počáteční stav. Uzavřená smyčka v diskrétním čase je dvojice posloupností stavů (x_k)_{k ≥ 0} a zásahů (u_k)_{k ≥ 0} určená rekurzí

u_k = R(x_k),    x_k+1 = F(x_k, u_k),    k = 0, 1, 2, …

Stav x_k popisuje soustavu v čase k · Δt. Regulátor tedy nevidí budoucnost ani rovnice F — jen současné měření. U kyvadla na konci dílu je Δt = 0,02 s, takže minuta řízení je 3 000 kroků smyčky.

Termíny z minulého dílu: příjemně je lichoběžník (10, 17, 23, 28), teplo trojúhelník (22, 28, 34), horko lichoběžník (30, 36, 40, 40); sucho je lichoběžník (0, 0, 30, 50), vlhko (40, 70, 100, 100). Na klesající hraně lichoběžníku (a, b, c, d), tj. pro c ≤ x ≤ d, je μ(x) = d − x/d − c, na rostoucí (a ≤ x ≤ b) je μ(x) = x − a/b − a; trojúhelník (a, b, c) je lichoběžník (a, b, b, c).

• příjemně(27) = 28 − 27/28 − 23 = 1/5 = 0,2,
• teplo(27) = 27 − 22/28 − 22 = 5/6 ≈ 0,83 (27 leží na rostoucí hraně),
• zima(27) = horko(27) = 0 — 27 je mimo jejich nosiče,
• vlhko(60) = 60 − 40/70 − 40 = 2/3 ≈ 0,67, sucho(60) = 0 (nosič končí v 50).

Síly pravidel (barvy podle vzorce výše): R1 (zima nebo příjemně → pomalu) má α₁ = max(0; 0,2) = 0,2; R2 (teplo a sucho → středně) α₂ = min(5/6; 0) = 0; R3 (teplo a vlhko → rychle) α₃ = min(5/6; 2/3) = 2/3; R4 (horko → rychle) α₄ = 0.

Pomalu je lichoběžník (0, 0, 20, 45), oříznutý ve výšce 0,2: plošinka 0,2 až do y = 40 (tam klesající hrana 45 − y/25 spadne na 0,2) a pak pokles k nule v 45. Rychle je lichoběžník (55, 80, 100, 100), oříznutý ve výšce 2/3: hrana y − 55/25 dosáhne 2/3 v y = 55 + 25 · 2/3 ≈ 71,67. Výsledek:

μ_out(y) = 0,2 na [0; 40],   45 − y/25 na [40; 45],   0 na [45; 55],   y − 55/25 na [55; 71,67]   a   2/3 na [71,67; 100].

Nechť [a, b] ⊂ ℝ, a < b, je interval možných výstupů a μ : [a, b] → [0, 1] funkce příslušnosti výstupní fuzzy množiny, která je integrovatelná a má kladnou plochu, ∫_a^b μ(y) dy > 0 (aspoň jedno pravidlo platí). Defuzzifikace je předpis, který funkci μ přiřadí jedno číslo y* ∈ [a, b]. Tři nejběžnější:

1. Těžiště (centroid): y*_T = ∫_a^b y · μ(y) dy/∫_a^b μ(y) dy.
2. Bisektor: číslo y*_B ∈ [a, b], pro které ∫_a^y*_B μ(y) dy = ∫_y*B^b μ(y) dy. Takové číslo existuje, protože levá strana je spojitá neklesající funkce horní meze, která roste od 0 do celé plochy; je-li μ v okolí řešení nulová, není jediné.
3. Střed maxim: nechť h = max_{y ∈ [a, b]} μ(y) a M = {y ∈ [a, b] : μ(y) = h} je množina bodů, kde se maxima nabývá. y*_M je průměr bodů množiny M; je-li M = [m₁, m₂] interval (jako ve všech příkladech tohoto dílu), je y*_M = m₁ + m₂/2.

Těžiště je tedy vážený průměr všech výstupů s vahou μ, bisektor dělí plochu pod μ na dvě stejné poloviny a střed maxim se dívá jen na nejvýše podpořené výstupy.

Výstupní množina z oddílu o krocích se skládá z obdélníků a trojúhelníků, takže integrály spočítáme ze známých ploch a těžišť (těžiště pravoúhlého trojúhelníku leží v třetině od jeho svislé strany):

Sloupec „Plocha“ sečtený dá jmenovatel vzorce pro těžiště, sloupec „Plocha · těžiště“ jeho čitatel (barvy podle vzorce výše).

• Těžiště: y* = 2 169,41/32,94 ≈ 65,85 %. Počítač v src/fuzzyrizeni.js integrál nahrazuje součtem po 0,1 % a dostane 65,87 — obojí se zaokrouhlí na 65,9 %.
• Bisektor: polovina plochy je 32,94/2 = 16,47. Do bodu 71,67 se nasbírá 8 + 0,5 + 5,56 = 14,06, chybí 2,41; na plošince výšky 2/3 to je 2,41/2/3 ≈ 3,62 dál, tedy y* ≈ 71,67 + 3,62 ≈ 75,3 %.
• Střed maxim: maximum 2/3 platí na celém [71,67; 100], průměr krajů je 71,67 + 100/2 ≈ 85,8 %. Počítač průměruje body mřížky od 71,7 výš, proto 85,9 %.

Nechť n ≥ 1 je počet vstupů, r ≥ 1 počet pravidel a T t-norma (zde minimum; viz díl o fuzzy logice). Pro každé i = 1, …, r a j = 1, …, n nechť A_ij je fuzzy množina na ℝ s funkcí příslušnosti μ_Aij : ℝ → [0, 1] a f_i : ℝⁿ → ℝ funkce. i-té pravidlo má tvar

KDYŽ x₁ je A_i1 a … a x_n je A_in, PAK y = f_i(x₁, …, x_n).

Pro vstup x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝⁿ je síla i-tého pravidla α_i(x) = T(μ_Ai1(x₁), …, μ_Ain(x_n)) ∈ [0, 1]. Je-li ∑_i=1^r α_i(x) > 0, je výstup regulátoru Takagi–Sugeno

y*(x) = ∑_i=1^r α_i(x) · f_i(x)/∑_i=1^r α_i(x).

Regulátor je

1. nultého řádu, právě když každé f_i je konstantní: f_i(x) = c_i s c_i ∈ ℝ;
2. prvního řádu, právě když každé f_i je afinní (v literatuře se obvykle říká „lineární“):f_i(x) = c_i0 + c_i1x₁ + … + c_inx_n s c_ij ∈ ℝ.

Výstup je tedy vážený průměr návrhů f_i(x), váhami jsou síly pravidel.

Nechť je dán regulátor Takagi–Sugeno nultého řádu s r ≥ 1 pravidly, která mají konstantní závěry f₁, …, f_r ∈ ℝ, a nechť x ∈ ℝⁿ je vstup, pro který mají pravidla síly α₁, …, α_r ∈ [0, 1] a ∑_i=1^r α_i > 0 (aspoň jedno pravidlo platí). Označme I = {i ∈ {1, …, r} : α_i > 0} množinu pravidel, která platí. Pak

1. min_{i ∈ I} f_i ≤ y*(x) ≤ max_{i ∈ I} f_i;
2. existuje-li c ∈ ℝ takové, že f_i = c pro všechna i ∈ I, je y*(x) = c.

Důkaz: označme λ_i = α_i/∑_k=1^r α_k. Pak λ_i ≥ 0, λ_i = 0 pro i ∉ I, ∑ λ_i = 1 a y* = ∑_{i ∈ I} λ_i f_i je konvexní kombinace čísel f_i, i ∈ I. Odhadem f_i ≥ min_I f dostaneme y* ≥ min_I f · ∑ λ_i = min_I f, a stejně shora. Jsou-li všechna f_i s i ∈ I rovna c, je y* = c ∑ λ_i = c. ∎

Těžiště Mamdaniho takovou záruku nemá: i samotný závěr „rychle“ v plné výšce má těžiště 83 %, protože do průměru vstupuje i jeho rostoucí hrana od 55 %.

Nechť X₁, X₂ ⊆ ℝ jsou množiny hodnot dvou vstupů a R : X₁ × X₂ → ℝ regulátor s jedním výstupem. Řídicí plocha regulátoru R je graf funkce R, tj. množina

{(x₁, x₂, R(x₁, x₂)) : x₁ ∈ X₁, x₂ ∈ X₂} ⊆ ℝ³.

U ventilátoru je x₁ = T ∈ [0; 40] teplota ve °C, x₂ = h ∈ [0; 100] relativní vlhkost v % a R(T, h) ∈ [0; 100] otáčky v %. Obrázek ji vyčísluje na mřížce 41 teplot (po 1 °C) × 26 vlhkostí (po 4 %).

horko(35) = 35 − 30/36 − 30 = 5/6 ≈ 0,83, teplo(35) = 0 (trojúhelník končí v 34), příjemně i zima jsou 0. Platí jediné pravidlo R4 (horko → rychle) se silou 5/6. Barvy podle vzorců Sugena a těžiště výše.

• Sugeno: y* = 5/6 · 90/5/6 = 90 % — přesně, podle věty výše.
• Mamdani: „rychle“ oříznuté v 5/6 je trojúhelník na [55; 75,83] (plocha 1/2 · 20,83 · 5/6 ≈ 8,68, těžiště 55 + 2/3 · 20,83 ≈ 68,89) a obdélník na [75,83; 100] (plocha 24,17 · 5/6 ≈ 20,14, těžiště 87,92). y* = 8,68 · 68,89 + 20,14 · 87,92/8,68 + 20,14 ≈ 82,2 %.

V druhém rohu, 15 °C a 30 %, je příjemně(15) = 15 − 10/17 − 10 = 5/7 ≈ 0,71 a platí jen R1; Sugeno dá přesně 15 %, těžiště oříznutého „pomalu“ 18,4 %.

Nechť stav soustavy je (x, ẋ, θ, θ̇) ∈ ℝ⁴ jako v dílu o neuroevoluci: x je poloha vozíku (m), ẋ jeho rychlost (m/s), θ úhel tyče od svislice (ve stupních, kladný doprava) a θ̇ úhlová rychlost (°/s); krok smyčky je Δt = 0,02 s. Nechť L = {záporný, nula, kladný} je množina termínů. Regulátor je určen těmito údaji:

1. termíny úhlu θ: μ_nula je trojúhelník (−6, 0, 6), μ_kladný lichoběžník (0, 6, 90, 90) — roste od 0° do 6° a dál je 1 —, μ_záporný zrcadlově lichoběžník (−90, −90, −6, 0);
2. termíny úhlové rychlosti θ̇: stejné tvary s 40 místo 6 a 900 místo 90;
3. pro každou dvojici termínů a, b ∈ L (a pro úhel, b pro rychlost) pravidlo se silou w_ab = min(μ_a(θ), μ_b(θ̇)) a konstantním závěrem c_ab ∈ {−10, −5, 0, 5, 10} N z tabulky výše;
4. síla na vozík F(θ, θ̇) = max(−10, min(10, ∑_{a, b ∈ L} w_ab c_ab/∑_{a, b ∈ L} w_ab)) N, tj. výstup Sugena nultého řádu oříznutý na [−10; 10] N (kdyby byly všechny síly nulové, je F = 0).

Úhel: nula(2) = 6 − 2/6 = 2/3, kladný(2) = 2/6 = 1/3. Rychlost: nula(10) = 40 − 10/40 = 0,75, kladná(10) = 10/40 = 0,25. Záporné termíny jsou 0, takže platí čtyři pravidla (barvy podle vzorce Takagi–Sugeno výše: w hraje roli α_i, c roli f_i):

• svisle a stojí: w = min(2/3; 0,75) = 2/3, závěr 0 N,
• svisle a padá doprava: w = min(2/3; 0,25) = 0,25, závěr +5 N,
• doprava a stojí: w = min(1/3; 0,75) = 1/3, závěr +5 N,
• doprava a padá doprava: w = min(1/3; 0,25) = 0,25, závěr +10 N.

F = 2/3 · 0 + 0,25 · 5 + 1/3 · 5 + 0,25 · 10/2/3 + 0,25 + 1/3 + 0,25 = 5,417/1,5 ≈ 3,61 N

Síla je kladná, míří tedy doprava — vozík jede pod tyč.