Jak číst matematický zápis: symboly, indexy, sumy a kvantifikátory

Slovníček asi čtyřiceti symbolů, se kterým přečtete každou definici v sérii Základy AI — od indexů a řeckých písmen přes ∑ a argmin po ∀ a ∃. S tahákem na konci.

12 minut Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Základy AI Díl 4 z 83

Celá osnova série 83 z 83 témat hotovo

Co si odnesete

Jak přečíst indexy, řecká písmena, ∑, argmin, ∀ a ∃ — a co obvykle znamenají v AI.
Postup, kterým rozeberete jakoukoliv definici na části a přeložíte ji do slov.
Tahák všech symbolů, které v sérii potkáte.

Matematický zápis vypadá jako šifra, ale je to jen zkratka. Věta „sečti druhé mocniny všech čísel v seznamu“ se dá napsat jako ∑_i x_i² a znamená přesně totéž — jen je kratší a nedá se vyložit dvojím způsobem.

Symbolů, které potkáte v článcích o umělé inteligenci, je překvapivě málo — asi čtyřicet. Tady je projdeme po skupinách, u každého řekneme, jak se čte, a na konci přečteme pár skutečných definic z dalších dílů. Tahák všech symbolů najdete v poslední kapitole.

1. Proč matematika používá symboly

Přirozený jazyk je dvojznačný. „Každý student přečetl nějakou knihu“ může znamenat, že každý přečetl jinou knihu, nebo že všichni přečetli tutéž. V zápisu ∀s ∃k a ∃k ∀s jde o dvě různé věty a nikdo si je nesplete. Zápis je přesný, krátký a mezinárodní — vzorec z čínské učebnice přečtete stejně jako z české.

Laicky řečeno

Vzorec se nečte naráz jako obrázek, ale jako věta — zleva doprava, symbol po symbolu. Když narazíte na neznámý symbol, stačí ho najít v taháku a „přeložit“ do slov. Po pár definicích to půjde samo.

2. Proměnné, indexy a řecká písmena

Proměnná je písmeno, které zastupuje číslo nebo jiný objekt: x, y, n. Píše se kurzívou. Když máme hodnot víc, rozlišíme je indexem — malým číslem nebo písmenem vpravo dole:

x₁, x₂, x₃ — první, druhá, třetí hodnota („x jedna, x dvě…“),
x_i — „i-tá“ hodnota, kde i může být kterékoliv číslo,
A_i,j — prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci tabulky (matice),
x⁽ⁱ⁾ — i-tý příklad v datech; závorka odliší index od mocniny x².

Čárka nebo stříška nad písmenem dělá z jedné proměnné příbuznou: s′ („s s čárkou“) je další stav po s, ŷ („y se stříškou“) je odhad skutečné hodnoty y a x̄ („x s pruhem“) je průměr. Hvězdička značí to nejlepší: θ* jsou optimální parametry, C* optimální cena.

Latinských písmen je málo, a tak si matematika půjčuje řecká. V AI mají některá zavedený význam — když je uvidíte, většinou víte, o co jde:

Znak	Čte se	Obvykle znamená
α	alfa	rychlost učení, krok algoritmu
β	beta	parametr (například setrvačnost)
γ	gama	diskontní faktor — jak moc záleží na budoucnosti
δ, Δ	delta	malá změna, rozdíl
ε	epsilon	velmi malé kladné číslo; pravděpodobnost náhodného průzkumu
η	éta	rychlost učení v gradientním sestupu
θ	théta	parametry modelu — ty „knoflíky“, které se učí
λ	lambda	síla regularizace
μ	mí	střední hodnota, průměr; střed shluku
π	pí	politika agenta (a také číslo 3,14…)
σ	sigma	směrodatná odchylka; sigmoida

3. Množiny v zápisu

Množina je skupina prvků; píše se do složených závorek: {1, 2, 3} nebo {↑, →, ↓, ←}. Velkými dvojitými písmeny se značí známé množiny čísel: ℕ přirozená čísla (1, 2, 3, …), ℤ celá, ℝ reálná. ℝⁿ jsou všechny seznamy n reálných čísel — vektory.

x ∈ S — „x patří do S“, je jejím prvkem; x ∉ S — nepatří,
A ⊆ B — „A je podmnožinou B“, všechno z A je i v B,
A ∪ B — sjednocení (co je aspoň v jedné), A ∩ B — průnik (co je v obou),
A × B — kartézský součin: všechny dvojice (a, b),
∅ — prázdná množina, |S| — počet prvků,
{x ∈ ℝ : x > 0} — „množina všech reálných x, pro která platí x > 0“; dvojtečka (nebo svislá čára) se čte „pro která platí“.

Kulaté závorky naopak znamenají uspořádanou skupinu, kde záleží na pořadí: (3, 1) není totéž co (1, 3). Tak se píší dvojice, souřadnice a n-tice — například úloha prohledávání jako šestice (S, s₀, A, T, G, c). Množinám a relacím se podrobně věnuje samostatný díl.

4. Suma a součin: ∑ a ∏

Definice — suma a součin

Nechť m, n ∈ ℤ jsou celá čísla a a_i ∈ ℝ je reálné číslo pro každé celé i s m ≤ i ≤ n. Suma (součet) a součin čísel a_m, …, a_n jsou čísla

∑_i=mⁿ a_i := a_m + a_m+1 + … + a_n, ∏_i=mⁿ a_i := a_m · a_m+1 · … · a_n pro m ≤ n,

∑_i=mⁿ a_i := 0, ∏_i=mⁿ a_i := 1 pro m > n (prázdná suma a prázdný součin).

Tečky „…“ lze nahradit přesným zápisem rekurzí: pro n ≥ m je ∑_i=mⁿ a_i = (∑_i=mⁿ⁻¹ a_i) + a_n a ∏_i=mⁿ a_i = (∏_i=mⁿ⁻¹ a_i) · a_n.

Proměnná pod znakem (i) je sčítací index; postupně nabývá všech celých hodnot od dolní meze m do horní meze n, každé právě jednou.

Laicky řečeno

Velké sigma ∑ je cyklus „pro i od 1 do n přičti“. Velké pí ∏ totéž, jen se násobí. Kdo programuje, zná to jako for i in range(1, n + 1): soucet += a[i].

Vezměme seznam x = (3, 1, 4, 1, 5), tedy x₁ = 3, x₂ = 1 atd. Pak:

∑_i=1⁵ x_i = 3 + 1 + 4 + 1 + 5 = 14

∑_i=1³ x_i² = 3² + 1² + 4² = 9 + 1 + 16 = 26

∏_i=1³ x_i = 3 · 1 · 4 = 12

x̄ = 1/5 ∑_i=1⁵ x_i = 14/5 = 2,8 — průměr (barvy podle vzorce níže)

Poslední řádek je vzorec, který potkáte nejčastěji: 1/n ∑ je průměr. Když u sumy chybí meze (∑_i), sčítá se přes všechna i, která dávají smysl — typicky přes všechny příklady v datech.

x̄ = 1/n ∑_i=1ⁿ x_i

x̄: průměr — pruh nad písmenem říká „z hodnot x spočítané jedno typické číslo“
1/n: vydělí součet počtem hodnot; bez něj by „průměr“ rostl s každou přidanou hodnotou a dva seznamy různé délky by nešly srovnat
∑_i=1ⁿ: projde všechny indexy od 1 do n — meze zaručí, že žádná hodnota nechybí a žádná se nezapočítá dvakrát
x_i: právě sčítaná hodnota; index i se v každém kroku sumy posune

Pro x = (3, 1, 4, 1, 5): x̄ = 1/5 · (3 + 1 + 4 + 1 + 5) = 1/5 · 14 = 2,8.

Věta — počítání se sumou

Nechť n ∈ ℕ, c ∈ ℝ a a_i, b_i ∈ ℝ pro i = 1, …, n. Pak platí

∑_i=1ⁿ (c · a_i + b_i) = c · ∑_i=1ⁿ a_i + ∑_i=1ⁿ b_i a ∑_i=1ⁿ c = n · c.

Důkaz. Rozepište sumu na n sčítanců, přeskupte je (sčítání je asociativní a komutativní) a z každého c · a_i vytkněte c. Konstanta sečtená nkrát je n · c. ∎

Příklad. Pro x = (3, 1, 4, 1, 5): ∑_i=1⁵ (2x_i + 1) = 2 · 14 + 5 · 1 = 33. Přímo: 7 + 3 + 9 + 3 + 11 = 33.

Pozor: mocninu ani jinou nelineární funkci takhle ze sumy vytknout nejde — ∑ x_i² není (∑ x_i)². Pro našich pět hodnot: 9 + 1 + 16 + 1 + 25 = 52, kdežto 14² = 196.

Laicky řečeno

Když všem v seznamu zdvojnásobíte plat a přidáte korunu, celkový součet je dvojnásobek původního plus tolik korun, kolik je lidí. Na tomhle pravidle stojí většina úprav vzorců v dalších dílech — třeba proč průměr chyb můžeme derivovat člen po členu.

5. Funkce, šipky a argmin

f(x) čteme „f od x“ — hodnota funkce f pro vstup x. Zápis f : X → Y („f z X do Y“) říká, odkud funkce bere vstupy a kam patří výstupy: f : ℝ² → {0, 1} bere dvojici čísel a vrací 0 nebo 1 — to je klasifikátor bodů v rovině.

Definice — funkce a složení funkcí

Nechť X a Y jsou množiny. Funkce (zobrazení) f z X do Y, psáno f : X → Y, je množina dvojic f ⊆ X × Y (relace, viz díl Množiny a relace), pro kterou platí

∀x ∈ X ∃! y ∈ Y : (x, y) ∈ f,

kde ∃! čteme „existuje právě jedno“. Tento jediný prvek y značíme f(x). Funkce tedy přiřazuje každému prvku x ∈ X právě jeden prvek f(x) ∈ Y. Množina X je definiční obor, Y cílová množina (často se jí říká i obor hodnot).

Nechť X, Y, Z jsou množiny a f : X → Y, g : Y → Z funkce. Složení funkcí f a g je funkce

g ∘ f : X → Z, (g ∘ f)(x) := g(f(x)) pro každé x ∈ X.

Příklad. f(x) = x + 1, g(x) = x². Pak (g ∘ f)(3) = g(4) = 16, ale (f ∘ g)(3) = f(9) = 10 — na pořadí záleží.

Laicky řečeno

Funkce je automat: hodíte do něj vstup a vypadne vždycky stejný výstup — nikdy dva, nikdy žádný. Složení je zapojení automatů za sebe. Neuronová síť není nic jiného než dlouhý řetěz takhle složených funkcí, jedna vrstva za druhou.

x ↦ x² — „x se zobrazí na x na druhou“; popis funkce bez jména,
f_θ(x) — funkce, jejíž chování určují parametry θ („f s parametry théta“),
g ∘ f — složení: nejdřív f, pak g, tedy g(f(x)),
θ ← θ − η ∇J — šipka doleva je přiřazení v algoritmu: „nová hodnota θ je…“; := znamená „definujeme jako“.

Poslední řádek je nejdůležitější zápis celé série — krok gradientního sestupu. Rozebraný:

θ ← θ − η ∇J(θ)

θ: parametry modelu; vpravo stará hodnota, vlevo nová — stejné písmeno, protože jde o tutéž proměnnou v různém čase
←: přiřazení, ne rovnost: θ = θ − … by platilo jen pro nulový krok, kdežto ← říká „přepiš“
−: gradient ukazuje do kopce, my chceme chybu zmenšit, a tak jdeme opačně
η: rychlost učení — malé kladné číslo; gradient je jen místní informace, s dlouhým krokem bychom kopec přeskočili
∇J(θ): gradient chyby J v aktuálním bodě — kterým směrem chyba roste nejrychleji a jak moc

Příklad — tři kroky gradientního sestupu

Hledáme argmin J(θ) = (θ − 2)². Derivace je J′(θ) = 2(θ − 2). Začneme v θ = 5 s η = 0,25:

krok 1: θ ← 5 − 0,25 · 2 · (5 − 2) = 5 − 1,5 = 3,5

krok 2: θ ← 3,5 − 0,25 · 2 · (3,5 − 2) = 3,5 − 0,75 = 2,75

krok 3: θ ← 2,75 − 0,25 · 2 · (2,75 − 2) = 2,75 − 0,375 = 2,375

(Barvy podle vzorce výše: η, gradient J′(θ), stará a nová hodnota θ.)

Vzdálenost od minima 2 se každým krokem přesně půlí (3; 1,5; 0,75; 0,375), protože po kroku je nová vzdálenost (θ − 2η(θ − 2)) − 2 = (1 − 2η)(θ − 2) a 1 − 2 · 0,25 = 0,5. S η = 0,5 bychom byli v cíli jedním krokem, s η > 1 by se vzdálenost zvětšovala.

Definice — min, max, argmin, argmax

Nechť X je neprázdná množina a f : X → ℝ funkce. Argument minima funkce f na X je množina

argmin_{x ∈ X} f(x) := {x* ∈ X : ∀x ∈ X : f(x*) ≤ f(x)}.

Je-li tato množina neprázdná a x* je libovolný její prvek, je minimum funkce f na X číslo

min_{x ∈ X} f(x) := f(x*)

(nezáleží na tom, který prvek vybereme — všechny dávají stejnou hodnotu). Minimum je tedy nejmenší hodnota, které f na X nabývá, argmin množina všech míst, kde jí nabývá. Má-li argmin jediný prvek x*, píše se zkráceně argmin_{x ∈ X} f(x) = x*. Na nekonečné množině nemusí minimum existovat: f(x) = x na intervalu (0, 1) se k nule libovolně blíží, ale nikdy jí nenabude, a argmin je prázdný.

argmax a max se definují stejně, jen s nerovností f(x*) ≥ f(x).

Laicky řečeno

min odpovídá na otázku „jak nízko se dá dostat?“, argmin na otázku „kde to je?“. Pro f(x) = (x − 2)² je min f = 0, ale argmin f = 2. Trénink modelu je hledání argmin — nezajímá nás, jak malá je chyba, ale které parametry ji dávají.

Na konečné množině se argmin najde prostým projitím. Pro f(x) = (x − 2)² na X = {0, 1, 2, 3, 4} jsou hodnoty 4, 1, 0, 1, 4, takže min = 0 a argmin = 2. Na X = {0, 1, 3, 4} (bez dvojky) je min = 1, ale argmin = {1, 3} — dvě místa se stejnou hodnotou, proto definice mluví o množině.

def argmin(f, X):
    nejlepsi, hodnota = [], float("inf")   # zatím nic, „nekonečně špatné“
    for x in X:
        if f(x) < hodnota:                 # nové minimum: zapomeň dosavadní
            nejlepsi, hodnota = [x], f(x)
        elif f(x) == hodnota:              # remíza: přidej do množiny
            nejlepsi.append(x)
    return nejlepsi, hodnota               # argmin a min najednou

6. Logické spojky a kvantifikátory

Zápis	Čte se	Příklad
¬`P`	ne `P`	¬(`x` > 3) je totéž co `x` ≤ 3
`P` ∧ `Q`	`P` a `Q`	`x` > 0 ∧ `x` < 1 — `x` leží mezi 0 a 1
`P` ∨ `Q`	`P` nebo `Q` (nebo obojí)	`x` < 0 ∨ `x` > 1
`P` ⇒ `Q`	jestliže `P`, pak `Q`	`x` > 2 ⇒ `x`² > 4
`P` ⇔ `Q`	`P` právě tehdy, když `Q`	`x`² = 0 ⇔ `x` = 0
∀`x` : `P`(`x`)	pro každé `x` platí `P`	∀`x` ∈ ℝ : `x`² ≥ 0
∃`x` : `P`(`x`)	existuje `x`, pro které platí `P`	∃`x` ∈ ℕ : `x` > 100

Věta — negace kvantifikátorů

Nechť X je množina a P(x) výrok o prvku x, který je pro každé x ∈ X buď pravdivý, nebo nepravdivý. Pak platí

¬(∀x ∈ X : P(x)) ⇔ ∃x ∈ X : ¬P(x),

¬(∃x ∈ X : P(x)) ⇔ ∀x ∈ X : ¬P(x).

Negace tedy prohodí ∀ a ∃ a přesune se k výroku P. Jde o tvrzení plynoucí přímo z významu kvantifikátorů: „neplatí pro všechna“ znamená právě „pro aspoň jedno neplatí“.

Laicky řečeno

„Neplatí, že všechny labutě jsou bílé“ znamená „existuje labuť, která bílá není“. Na vyvrácení tvrzení „pro všechna“ stačí jeden protipříklad — a přesně tak se v matematice často dokazuje.

Pozor na implikaci ⇒: tvrdí jen to, že když platí P, platí i Q. O situaci, kdy P neplatí, neříká nic. Z x > 2 ⇒ x² > 4 neplyne, že x² > 4 ⇒ x > 2 — stačí vzít x = −3.

Definice — spojky pravdivostní tabulkou

Označme {0, 1} množinu pravdivostních hodnot (1 = pravda, 0 = nepravda) a nechť P, Q ∈ {0, 1}. Logické spojky jsou funkce

¬ : {0, 1} → {0, 1} a ∧, ∨, ⇒, ⇔ : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1}

dané předpisy

¬P := 1 − P;
P ∧ Q := min(P, Q) — rovná se 1, právě když P = 1 a zároveň Q = 1;
P ∨ Q := max(P, Q) — rovná se 1, právě když P = 1 nebo Q = 1 (nebo obojí);
P ⇒ Q := max(1 − P, Q) — rovná se 0, právě když P = 1 a Q = 0;
P ⇔ Q := 1, je-li P = Q, a 0 jinak.

Protože {0, 1} má jen dvě hodnoty, je každá spojka plně určená tabulkou:

`P`	`Q`	¬`P`	`P` ∧ `Q`	`P` ∨ `Q`	`P` ⇒ `Q`	`P` ⇔ `Q`
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Implikace je nepravdivá v jediném řádku: P platí a Q ne. Proto P ⇒ Q znamená totéž co ¬P ∨ Q (porovnejte sloupce).

Laicky řečeno

„Když bude pršet, vezmu si deštník.“ Slib porušíte jen tehdy, když prší a deštník nemáte. Když neprší, slib platí, ať deštník máte, nebo ne — o téhle situaci nic neříkal.

7. Další značky, které potkáte

a/b nebo a / b — dělení, „a lomeno b“ (pro b ≠ 0); oba zápisy znamenají totéž. Lomítko se hodí tam, kde musí vzorec zůstat na jednom řádku (v kódu, v obyčejném textu), zlomek je přehlednější, protože bez závorek ukáže, co přesně se čím dělí: x − μ/σ je totéž co (x − μ) / σ. Na tomhle webu proto sázíme dělení všude jako zlomek,
|x| — absolutní hodnota (|−3| = 3); ‖x‖ — délka vektoru (norma),
⌊x⌋, ⌈x⌉ — zaokrouhlení dolů a nahoru (⌊2,7⌋ = 2, ⌈2,1⌉ = 3),
≈ — přibližně rovno; ∝ — úměrné („roste stejně jako“); ≫ — mnohem větší,
∞ — nekonečno; [0, 1] — interval včetně krajních bodů, (0, 1) — bez nich,
∇f („nabla f“) — gradient, směr nejrychlejšího růstu; ∂f/∂x — parciální derivace,
O(n²) — „řádově n na druhou“: jak rychle roste čas nebo paměť algoritmu,
P(A | B) — pravděpodobnost A, když víme, že nastalo B; 𝔼[X] — střední hodnota,
w^⊤ — transpozice: z řádku sloupec a naopak; w^⊤x je skalární součin.

Norma a skalární součin se dají napsat sumou, kterou už umíme číst:

‖x‖ = √∑_i=1ⁿ x_i²

‖x‖: délka vektoru x ∈ ℝⁿ; dvojité čáry ji odliší od absolutní hodnoty čísla
x_i²: čtverec jedné souřadnice — záporná souřadnice přispívá k délce stejně jako kladná
∑_i=1ⁿ: sečte příspěvky všech souřadnic; to je Pythagorova věta, jen pro libovolný počet rozměrů
√: odmocnina (pruh nad výrazem ukazuje, kam sahá) vrátí výsledek do stejných jednotek jako souřadnice — délka (3, 4) má být 5, ne 25

‖(3, 4)‖ = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5.

w^⊤x = ∑_i=1ⁿ w_i x_i

w^⊤x: skalární součin — jedno číslo ze dvou vektorů stejné délky; ⊤ z w udělá řádek, aby šel „řádek krát sloupec“
w_i: váha i-tého vstupu — jak moc a kterým směrem (znaménko) na něm záleží
x_i: i-tý vstup; násobí se jen se svou vlastní vahou
∑: sečte vážené vstupy do jednoho čísla — tak se v neuronu „hlasuje“

w = (2, −1, 0,5), x = (1, 3, 4): w^⊤x = 2 · 1 + (−1) · 3 + 0,5 · 4 = 2 − 3 + 2 = 1. Platí také x^⊤x = ‖x‖².

Definice — velké O

Nechť g : ℕ → ℝ je funkce s nezápornými hodnotami (g(n) ≥ 0 pro všechna n ∈ ℕ). Velké O funkce g je množina funkcí

O(g) := {f : ℕ → ℝ : f(n) ≥ 0 pro všechna n ∈ ℕ ∧ ∃c ∈ ℝ, c > 0 ∃n₀ ∈ ℕ ∀n ∈ ℕ, n ≥ n₀ : f(n) ≤ c · g(n)}.

Pro funkci f : ℕ → ℝ s nezápornými hodnotami tedy f ∈ O(g) (často psáno jen f = O(g)), právě když platí podmínka, kterou rozebereme člen po členu:

∃c > 0 ∃n₀ ∈ ℕ ∀n ≥ n₀ : f(n) ≤ c · g(n)

∃c > 0: smíme g vynásobit konstantou — velké O nezajímá, jestli je počítač dvakrát rychlejší, jen jak čas roste
∃n₀ ∈ ℕ: smíme ignorovat malé vstupy — na nich rozhodují drobnosti, ne tvar růstu
∀n ≥ n₀: od té hranice ale už pro všechny větší vstupy, bez výjimky
f(n) ≤ c · g(n): samotné tvrzení: f neroste rychleji než g — g je horní odhad

Příklad. f(n) = 3n² + 5n ∈ O(n²), tj. g(n) = n²: zvolíme c = 4 a n₀ = 5. Pak 3n² + 5n ≤ 4n² ⇔ 5n ≤ n² ⇔ n ≥ 5 (pro n > 0). Pro n = 10: 350 ≤ 4 · 100 = 400 (barvy podle rozboru výše).

Definice — podmíněná pravděpodobnost a střední hodnota

Nechť (Ω, 𝓕, P) je pravděpodobnostní prostor (viz díl Co je pravděpodobnost) a A, B ∈ 𝓕 jsou jevy, kde P(B) > 0. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky B je číslo

P(A | B) := P(A ∩ B)/P(B).

Nechť dále X : Ω → ℝ je náhodná veličina (viz díl Náhodná veličina), která nabývá jen konečně mnoha navzájem různých hodnot x₁, …, x_k, a P(X = x) značí P({ω ∈ Ω : X(ω) = x}). Střední hodnota veličiny X je číslo

𝔼[X] := ∑_j=1^k x_j · P(X = x_j),

tedy součet všech možných hodnot, každé vážené svou pravděpodobností.

Příklad. Hod kostkou, A = „padla šestka“, B = „padlo sudé číslo“. P(A ∩ B) = 1/6, P(B) = 3/6, takže P(A | B) = 1/6/3/6 = 1/3: když víme, že padlo sudé, zbývají tři stejně možné výsledky. Střední hodnota hodu: 𝔼[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) · 1/6 = 21/6 = 3,5 — hodnota, která sama padnout nemůže, ale je průměrem dlouhé řady hodů.

8. Přečtěte si celou definici

Teď to složíme dohromady. Tohle je definice tréninku modelu z dílu o druzích strojového učení. Každý člen má barvu a pod vzorcem stejnou barvou stojí, proč tam je:

θ* = argmin_θ 1/n ∑_i=1ⁿ L( f_θ(x_i), y_i )

θ*: nejlepší parametry modelu — výsledek tréninku; hvězdička je odliší od θ, které během hledání zkoušíme
argmin_θ: chceme místo minima, ne jeho hodnotu — model pak používáme s parametry, ne s číslem chyby; index θ říká, co smíme měnit (data ne)
1/n ∑_i=1ⁿ: průměr přes všech n příkladů — model má být dobrý v průměru na všech datech, ne jen na jednom příkladu
L: ztrátová funkce — převede dvojici „odpověď, správná odpověď“ na jedno číslo, kolik chyba stojí; bez ní by nebylo co minimalizovat
f_θ(x_i): co model s parametry θ odpoví na i-tý vstup — jediné místo, kde se θ ve vzorci objeví, a tedy jediná cesta, jak chybu ovlivnit
y_i: správná odpověď k i-tému vstupu — měřítko, se kterým odpověď modelu srovnáváme

Výrazu za argmin se říká empirické riziko: průměrná ztráta na trénovacích datech.

Celá věta lidsky

Nejlepší parametry modelu jsou ty, se kterými model v průměru přes všechna trénovací data udělá nejmenší chybu mezi tím, co odpoví, a tím, co je správně.

Příklad — empirické riziko s čísly

Data: tři dvojice (x_i, y_i) = (1, 2), (2, 3), (3, 7). Model f_θ(x) = θ · x má jediný parametr, ztráta je čtverec chyby L(ŷ, y) = (ŷ − y)². Označme průměrnou ztrátu R(θ) = 1/3 ∑_i=1³ L(f_θ(x_i), y_i). Barvy podle vzorce výše:

θ = 2: odpovědi 2, 4, 6, chyby 0, 1, −1, R = 1/3 (0 + 1 + 1) ≈ 0,667

θ = 2,5: odpovědi 2,5; 5; 7,5, chyby 0,5; 2; 0,5, R = 1/3 (0,25 + 4 + 0,25) = 1,5

Přesné argmin: derivace R′(θ) = 2/3 ∑_i=1³ (θ x_i − y_i) x_i položená rovna nule dá θ* = ∑ x_i y_i/∑ x_i² = 2 + 6 + 21/1 + 4 + 9 = 29/14 ≈ 2,071 a R(θ*) ≈ 0,643.

Min je tedy 0,643 (menší chyba s tímhle modelem nejde), argmin je 2,071 — to je naučený model.

A ještě jedna, z dílu o prohledávání — prioritní funkce algoritmu A*:

f(n) = g(n) + h(n)

f(n): priorita stavu n — A* vždy rozvine stav s nejmenším f; proto musí jedno číslo shrnout celou cestu přes n
g(n): cena, kterou už jsme do n zaplatili — přesně známá; bez ní by algoritmus zbytečně preferoval stavy blízko cíle, ke kterým vedla drahá cesta
h(n): odhad, kolik ještě zbývá do cíle (heuristika) — díky němu hledání míří k cíli místo do všech stran; když cenu nikdy nepřecení, najde A* nejlevnější cestu

Stav s g = 4, h = 3 má f = 7 a přijde na řadu dřív než stav s g = 2, h = 6 (f = 8), i když je od startu dál.

Čte se „f od n se rovná g od n plus h od n“: odhad ceny celé cesty přes stav n je cena, kterou už jsme do n zaplatili (g), plus odhad, kolik ještě zbývá (h). Stejný postup funguje pro každou definici: najít hlavní vztah (=, ≤, ⇔), rozebrat obě strany na části a každou přeložit do slov.

9. Tahák

Symbol	Čte se	Význam
`x`_i	x i-té	`i`-tý prvek
`ŷ`, `x̄`, `θ`*	y se stříškou, x s pruhem, théta s hvězdičkou	odhad, průměr, optimum
∈, ∉	patří, nepatří	je, není prvkem množiny
⊆, ∪, ∩, ×	podmnožina, sjednocení, průnik, krát	operace s množinami
ℕ, ℤ, ℝ, ℝⁿ	N, Z, R, R na n-tou	přirozená, celá, reálná čísla, vektory
`a`/`b`, `a` / `b`	a lomeno b	dělení (na webu se sází jako zlomek)
∑, ∏	suma, součin	sečti, vynásob přes index
`f` : `X` → `Y`	f z X do Y	funkce a její vstupy a výstupy
argmin, argmax	argument minima, maxima	kde je nejmenší, největší hodnota
←, :=	přiřaď, definujeme jako	nová hodnota, definice
¬, ∧, ∨	ne, a, nebo	logické spojky
⇒, ⇔	jestliže–pak, právě tehdy když	implikace, ekvivalence
∀, ∃	pro každé, existuje	kvantifikátory
\|`x`\|, ‖`x`‖	absolutní hodnota, norma	velikost čísla, délka vektoru
≈, ∝, ≫	přibližně, úměrné, mnohem větší	porovnání
∇, ∂	nabla, parciální derivace	gradient, derivace podle jedné proměnné
`O`(·)	velké O	řád růstu času nebo paměti
`P`(`A` \| `B`), 𝔼	pravděpodobnost A za podmínky B, střední hodnota	pravděpodobnost

10. Shrnutí

Matematický zápis je zkratka věty: čte se zleva doprava, symbol po symbolu.
Indexy rozlišují hodnoty, řecká písmena mají v AI zavedené významy (θ parametry, η rychlost učení, γ diskont).
∑ je cyklus, který sčítá; 1/n ∑ je průměr; dělení se píše zlomkem nebo lomítkem; argmin hledá místo, ne hodnotu.
∀ a ∃ dělají z vlastností přesná tvrzení; na vyvrácení „pro všechna“ stačí jeden protipříklad.

S tímhle slovníkem přečtete všechny definice v sérii. Když narazíte na symbol, který tu chybí, napište nám — doplníme ho.

Máte na to jiný názor? Napište na support@coden-app.com.

Jak číst matematický zápis: symboly, indexy, sumy a kvantifikátory

1. Proč matematika používá symboly

2. Proměnné, indexy a řecká písmena

3. Množiny v zápisu

4. Suma a součin: ∑ a ∏

5. Funkce, šipky a argmin

6. Logické spojky a kvantifikátory

7. Další značky, které potkáte

8. Přečtěte si celou definici

9. Tahák

10. Shrnutí

Agent na vašem počítači, ovládaný z telefonu