Як читати математичний запис: символи, індекси, суми та квантори

Словничок із близько сорока символів, з яким ви прочитаєте кожне означення в серії «Основи ШІ» — від індексів і грецьких літер через ∑ і argmin до ∀ і ∃. Зі шпаргалкою наприкінці.

12 хвилин Matěj Žalmánek 2026-10-15

Серія Основи ШІ Частина 4 з 52

1. Мапа штучного інтелекту: що є що і як усе це пов’язано
2. Коротка історія штучного інтелекту: від Тюрінга до мовних моделей
3. Дані, модель, тренування, інференс: основні поняття на одному прикладі
4. Як читати математичний запис: символи, індекси, суми та квантори
5. Множини й відношення: конструктор, з якого складаються означення в ШІ
6. Функції й відображення: чому кожна модель у ШІ — це функція
7. Логіка й доведення: правила, за якими міркують у ШІ
8. Графи й дерева: структура, на якій тримаються пошук і нейронні мережі
9. Лінійна алгебра для машинного навчання: вектори, матриці й чому ШІ передусім множить
10. Похідні, градієнт і правило ланцюжка: як модель дізнається, у якому напрямку вчитися
11. Градієнтний спуск: як навчається модель
12. Що таке ймовірність: від кидка кубика до аксіом Колмогорова
13. Умовна ймовірність і теорема Баєса: як змінити оцінку, коли дізнаєтеся щось нове
14. Випадкова величина і функція розподілу: одна функція, яка каже про розподіл усе
15. Функція щільності та функція маси ймовірності: чому неперервна величина має в точці ймовірність нуль
16. Математичне сподівання, дисперсія і коваріація: де лежить розподіл, наскільки він широкий і що з чим пов’язано
17. Огляд розподілів ймовірностей: Бернуллі, біноміальний, Пуассона, рівномірний, нормальний і експоненційний
18. Закон великих чисел і центральна гранична теорема: чому середні поводяться так передбачувано
19. Статистика й оцінювання параметрів: максимальна правдоподібність, MAP і довірчі інтервали
20. Теорія інформації: ентропія, перехресна ентропія і KL-дивергенція — звідки беруться функції втрат
21. Пошук у просторі станів: BFS, DFS, UCS і A* з анімаціями
22. Ігри та суперник: мінімакс, альфа-бета відсікання і Monte Carlo tree search
23. Задоволення обмежень: бектрекінг, поширення обмежень і AC-3 на судоку та мапі чеських країв
24. Логіка й системи, засновані на знаннях: пряме і зворотне виведення, резолюція та експертні системи
25. Планування: STRIPS, світ кубиків, евристики з релаксації та планування в AI-агентах
26. Локальний пошук та імітація відпалу: комівояжер через обласні центри Чехії
27. Генетичні алгоритми: популяція, схрещування, мутація і добір на рюкзаку для походу
28. Еволюційні стратегії і генетичне програмування: від правила однієї п’ятої до закону Кеплера
29. Оптимізація мурашиною колонією: як феромоновий слід знаходить короткий шлях
30. Оптимізація роєм частинок: інерція, власний досвід і досвід рою
31. Нейроеволюція: еволюція ваг і форми нейронних мереж та алгоритм NEAT
32. Нечіткі множини й функції належності: як записати «трохи тепло»
33. Нечітка логіка та ймовірність: чому «трохи тепло» не означає «імовірно тепло»
34. Нечітка логіка: t-норми, імплікації та правила ЯКЩО–ТО
35. Нечітке керування: Мамдані та Суґено від вентилятора до маятника на візку
36. Нечітка кластеризація: алгоритм fuzzy c-means і точки між кластерами
37. Нейро-нечіткі системи (ANFIS): нечіткі правила, які навчаються з даних
38. Марковські ланцюги: матриця переходів, стаціонарний розподіл і PageRank
39. Приховані марковські моделі: алгоритм Вітербі й нечесне казино
40. Байєсівські мережі: чому трава мокра і що з цього випливає для дощувача
41. Фільтр Калмана: як за неточними вимірюваннями оцінити, де авто і як швидко воно їде
42. Види машинного навчання: з учителем, без учителя, з частковим залученням учителя та інші
43. Промпти, контекст і RAG: як дати моделі правильну інформацію
44. Варіаційні автокодувальники (VAE): нові зображення з неперервного латентного простору
45. Генеративні змагальні мережі (GAN): фальшувальник проти детектива
46. Дифузійні моделі: як із чистого шуму постає зображення
47. Марковські процеси ухвалення рішень: стани, дії, винагороди й рівняння Беллмана
48. Q-навчання і DQN: як навчитися цінності дій — від таблиці до нейронної мережі
49. Policy gradient і PPO: навчання безпосередньо політики
50. Як працює ШІ-агент: мовна модель у циклі з інструментами
51. Програмування з AI-агентами: завдання, тести й перевірка
52. Оцінювання і безпека систем ШІ: як вимірювати і як стежити

Повна програма серії Готово: 52 з 83 тем

Математичний запис схожий на шифр, але це лише скорочення. Речення «додай квадрати всіх чисел у списку» можна записати як ∑_i x_i², і воно означає рівно те саме — тільки коротше й без можливості зрозуміти його двояко.

Символів, які ви зустрінете у статтях про штучний інтелект, напрочуд мало — близько сорока. Тут ми пройдемо їх групами, для кожного скажемо, як він читається, а наприкінці прочитаємо кілька справжніх означень з інших частин. Шпаргалку з усіма символами знайдете в останньому розділі.

1. Навіщо математиці символи

Природна мова двозначна. «Кожен студент прочитав якусь книжку» може означати, що кожен прочитав іншу книжку, або що всі прочитали ту саму. У записі ∀s ∃k і ∃k ∀s — це два різні речення, і ніхто їх не сплутає. Запис точний, короткий і міжнародний — формулу з китайського підручника ви прочитаєте так само, як з українського.

2. Змінні, індекси та грецькі літери

Змінна — це літера, що заступає число або інший об’єкт: x, y, n. Пишеться курсивом. Коли значень більше, ми розрізняємо їх індексом — маленьким числом або літерою праворуч унизу:

• x₁, x₂, x₃ — перше, друге, третє значення («ікс один, ікс два…»),
• x_i — «ікс і-те», де i може бути будь-яким числом,
• A_i,j — елемент в i-му рядку та j-му стовпці таблиці (матриці),
• x⁽ⁱ⁾ — i-й приклад у даних; дужки відрізняють індекс від степеня x².

Штрих або дашок над літерою роблять з однієї змінної споріднену: s′ («ес штрих») — наступний стан після s, ŷ («ігрек з дашком») — оцінка справжнього значення y, а x̄ («ікс з рискою») — середнє. Зірочка позначає найкраще: θ* — оптимальні параметри, C* — оптимальна ціна.

Латинських літер мало, тож математика позичає грецькі. У ШІ деякі з них мають усталене значення — побачивши їх, ви здебільшого знаєте, про що йдеться:

3. Множини в записі

Множина — це сукупність елементів; записується у фігурних дужках: {1, 2, 3} або {↑, →, ↓, ←}. Великими «подвійними» літерами позначають відомі множини чисел: ℕ натуральні числа (1, 2, 3, …), ℤ цілі, ℝ дійсні. ℝⁿ — це всі списки з n дійсних чисел, тобто вектори.

• x ∈ S — «x належить S», є її елементом; x ∉ S — не належить,
• A ⊆ B — «A є підмножиною B», усе з A є і в B,
• A ∪ B — об’єднання (те, що є хоча б в одній), A ∩ B — перетин (те, що є в обох),
• A × B — декартів добуток: усі пари (a, b),
• ∅ — порожня множина, |S| — кількість елементів,
• {x ∈ ℝ : x > 0} — «множина всіх дійсних x, таких, що x > 0»; двокрапка (або вертикальна риска) читається «таких, що».

Круглі дужки, навпаки, означають впорядковану сукупність, де важливий порядок: (3, 1) — не те саме, що (1, 3). Так записують пари, координати та кортежі — наприклад, задачу пошуку як шістку (S, s₀, A, T, G, c). Множинам і відношенням присвячено окрему частину.

4. Сума й добуток: ∑ і ∏

Означення — сума й добуток

∑_i=mⁿ a_i = a_m + a_m+1 + … + a_n,   ∏_i=mⁿ a_i = a_m · a_m+1 · … · a_n.

Змінна під знаком (i) — це індекс підсумовування; нижня межа m каже, з чого почати, верхня межа n — де закінчити. Для m > n сума дорівнює 0, а добуток 1.

Візьмімо список x = (3, 1, 4, 1, 5), тобто x₁ = 3, x₂ = 1 і так далі. Тоді:

Останній рядок — формула, яку ви зустрічатимете найчастіше: (1/n) ∑ — це середнє. Коли в суми немає меж (∑_i), додають по всіх i, які мають сенс, — зазвичай по всіх прикладах у даних.

5. Функції, стрілки та argmin

f(x) читаємо «еф від ікс» — значення функції f для входу x. Запис f : X → Y («еф з ікс в ігрек») каже, звідки функція бере входи і куди належать виходи: f : ℝ² → {0, 1} бере пару чисел і повертає 0 або 1 — це класифікатор точок на площині.

• x ↦ x² — «ікс переходить в ікс квадрат»; опис функції без імені,
• f_θ(x) — функція, поведінку якої визначають параметри θ («еф з параметрами тета від ікс»),
• g ∘ f — композиція: спершу f, потім g, тобто g(f(x)),
• θ ← θ − η ∇J — стрілка вліво — це присвоєння в алгоритмі: «нове значення θ дорівнює…»; := означає «за означенням дорівнює».

Означення — min, max, argmin, argmax

min_{x ∈ X} f(x) — це найменше значення, якого f набуває на множині X.

argmin_{x ∈ X} f(x) — це те x (або множина всіх таких x), при якому f набуває цього найменшого значення. Аналогічно max і argmax.

6. Логічні зв’язки та квантори

Означення — заперечення кванторів

¬(∀x : P(x)) ⇔ ∃x : ¬P(x)   і   ¬(∃x : P(x)) ⇔ ∀x : ¬P(x).

Обережно з імплікацією ⇒: вона стверджує лише те, що коли виконується P, виконується і Q. Про випадок, коли P не виконується, вона нічого не каже. З x > 2 ⇒ x² > 4 не випливає, що x² > 4 ⇒ x > 2 — досить узяти x = −3.

7. Інші позначення, які ви зустрінете

• |x| — модуль, абсолютна величина (|−3| = 3); ‖x‖ — довжина вектора (норма),
• ⌊x⌋, ⌈x⌉ — округлення вниз і вгору (⌊2,7⌋ = 2, ⌈2,1⌉ = 3),
• ≈ — приблизно дорівнює; ∝ — пропорційно («зростає так само, як»); ≫ — набагато більше,
• ∞ — нескінченність; [0, 1] — проміжок разом із кінцями, (0, 1) — без них,
• ∇f («набла еф») — градієнт, напрямок найшвидшого зростання; ∂f/∂x — частинна похідна,
• O(n²) — «о велике від ен квадрат»: як швидко зростає час або пам’ять алгоритму,
• P(A | B) — ймовірність A, коли відомо, що сталося B; 𝔼[X] — математичне сподівання,
• w^⊤ — транспонування: рядок стає стовпцем і навпаки; w^⊤x — скалярний добуток.

8. Прочитайте ціле означення

Тепер складемо все докупи. Це означення навчання моделі з частини про види машинного навчання. Кольорові числа відповідають поясненням під ним:

1. θ* — «тета із зірочкою»: найкращі параметри моделі, які ми шукаємо.
2. argmin_θ — «те θ, при якому наступний вираз найменший».
3. (1/n) ∑_i=1ⁿ — середнє по всіх n прикладах у даних.
4. L( … ) — функція втрат: скільки коштує одна помилка.
5. f_θ(x_i) — що модель з параметрами θ відповість на i-й вхід.
6. y_i — правильна відповідь для i-го входу.

І ще одне, з частини про пошук, — пріоритетна функція алгоритму A*:

Читається «еф від ен дорівнює же від ен плюс аш від ен»: оцінка ціни всього шляху через стан n — це ціна, яку ми вже заплатили до n (g), плюс оцінка того, скільки ще залишилося (h). Той самий підхід працює для будь-якого означення: знайти головне співвідношення (=, ≤, ⇔), розібрати обидві сторони на частини й кожну перекласти словами.

9. Шпаргалка

10. Підсумок

• Математичний запис — це скорочене речення: читається зліва направо, символ за символом.
• Індекси розрізняють значення, грецькі літери мають у ШІ усталені значення (θ параметри, η швидкість навчання, γ дисконт).
• ∑ — це цикл, що додає; (1/n) ∑ — середнє; argmin шукає місце, а не значення.
• ∀ і ∃ роблять із властивостей точні твердження; щоб спростувати «для всіх», досить одного контрприкладу.

З цим словничком ви прочитаєте всі означення в серії. Якщо натрапите на символ, якого тут бракує, напишіть нам — ми його додамо.

Маєте іншу думку? Напишіть на support@coden-app.com.