Der Kalman-Filter: wie man aus ungenauen Messungen schätzt, wo ein Auto ist und wie schnell es fährt

Zwei Messungen kombinieren und die Kalman-Verstärkung, der Filter als laufender Mittelwert, das Zustandsraummodell, Vorhersage und Korrektur, ein Auto per GPS verfolgen und dabei die ungemessene Geschwindigkeit schätzen, die Rauschgrößen Q und R einstellen, Optimalität und nichtlineare Erweiterungen.

14 Minuten Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie KI-Grundlagen Teil 41 von 52

1. Landkarte der künstlichen Intelligenz: was was ist und wie alles zusammenpasst
2. Eine kurze Geschichte der künstlichen Intelligenz: von Turing bis zu Sprachmodellen
3. Daten, Modell, Training, Inferenz: die Grundbegriffe an einem einzigen Beispiel
4. Mathematische Notation lesen: Symbole, Indizes, Summen und Quantoren
5. Mengen und Relationen: der Baukasten, aus dem Definitionen in der KI bestehen
6. Funktionen und Abbildungen: warum jedes KI-Modell eine Funktion ist
7. Logik und Beweise: die Regeln, nach denen KI schließt
8. Graphen und Bäume: die Struktur, auf der Suche und neuronale Netze stehen
9. Lineare Algebra für maschinelles Lernen: Vektoren, Matrizen und warum KI vor allem multipliziert
10. Ableitungen, Gradient und Kettenregel: wie ein Modell herausfindet, in welche Richtung es lernen soll
11. Gradientenabstieg: wie ein Modell lernt
12. Was ist Wahrscheinlichkeit: vom Würfelwurf zu den Kolmogorow-Axiomen
13. Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes: wie du deine Einschätzung änderst, wenn du etwas Neues erfährst
14. Zufallsvariable und Verteilungsfunktion: eine Funktion, die alles über eine Verteilung verrät
15. Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion: warum eine stetige Zufallsvariable in einem Punkt die Wahrscheinlichkeit null hat
16. Erwartungswert, Varianz und Kovarianz: wo eine Verteilung liegt, wie breit sie ist und was womit zusammenhängt
17. Überblick über Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Bernoulli-, Binomial-, Poisson-, Gleich-, Normal- und Exponentialverteilung
18. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz: Warum sich Durchschnitte so vorhersagbar verhalten
19. Statistik und Parameterschätzung: Maximum Likelihood, MAP und Konfidenzintervalle
20. Informationstheorie: Entropie, Kreuzentropie und KL-Divergenz — woher Verlustfunktionen kommen
21. Zustandsraumsuche: BFS, DFS, UCS und A* mit Animationen
22. Spiele und Gegner: Minimax, Alpha-Beta-Suche und Monte Carlo Tree Search
23. Constraint Satisfaction: Backtracking, Constraint-Propagierung und AC-3 an Sudoku und einer Karte tschechischer Regionen
24. Logik und wissensbasierte Systeme: Vorwärts- und Rückwärtsverkettung, Resolution und Expertensysteme
25. Planung: STRIPS, die Blockwelt, Heuristiken aus Relaxierung und Planung in KI-Agenten
26. Lokale Suche und simulierte Abkühlung: ein Handlungsreisender durch die tschechischen Regionalhauptstädte
27. Genetische Algorithmen: Population, Kreuzung, Mutation und Selektion am Rucksack für die Wanderung
28. Evolutionsstrategien und genetische Programmierung: von der 1/5-Erfolgsregel zum Keplerschen Gesetz
29. Ameisenkolonieoptimierung: wie eine Pheromonspur einen kurzen Weg findet
30. Partikelschwarmoptimierung: Trägheit, eigene Erfahrung und die Erfahrung des Schwarms
31. Neuroevolution: Evolution der Gewichte und der Gestalt neuronaler Netze und der Algorithmus NEAT
32. Fuzzy-Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen: wie man „etwas warm“ aufschreibt
33. Fuzzy-Logik und Wahrscheinlichkeit: warum „etwas warm“ nicht „wahrscheinlich warm“ bedeutet
34. Fuzzy-Logik: t-Normen, Implikationen und WENN–DANN-Regeln
35. Fuzzy-Regelung: Mamdani und Sugeno vom Ventilator bis zum Pendel auf dem Wagen
36. Fuzzy-Clustering: der Algorithmus fuzzy c-means und Punkte zwischen den Clustern
37. Neuro-Fuzzy-Systeme (ANFIS): Fuzzy-Regeln, die aus Daten lernen
38. Markow-Ketten: Übergangsmatrix, stationäre Verteilung und PageRank
39. Hidden-Markov-Modelle: der Viterbi-Algorithmus und das unehrliche Kasino
40. Bayessche Netze: warum das Gras nass ist und was das für den Rasensprenger bedeutet
41. Der Kalman-Filter: wie man aus ungenauen Messungen schätzt, wo ein Auto ist und wie schnell es fährt
42. Arten des maschinellen Lernens: überwacht, unüberwacht, halbüberwacht und mehr
43. Prompts, Kontext und RAG: wie man einem Modell die richtigen Informationen gibt
44. Variational Autoencoder (VAE): neue Bilder aus einem stetigen latenten Raum
45. Generative Adversarial Networks (GAN): der Fälscher gegen den Detektiv
46. Diffusionsmodelle: wie aus reinem Rauschen ein Bild wird
47. Markow-Entscheidungsprozesse: Zustände, Aktionen, Belohnungen und Bellman-Gleichungen
48. Q-Learning und DQN: den Wert von Aktionen lernen, von der Tabelle bis zum neuronalen Netz
49. Policy Gradient und PPO: die Strategie direkt lernen
50. Wie ein KI-Agent funktioniert: ein Sprachmodell in einer Schleife mit Werkzeugen
51. Programmieren mit KI-Agenten: Auftrag, Tests und Kontrolle
52. Bewertung und Sicherheit von KI-Systemen: wie man misst und wie man überwacht

Der ganze Lehrplan der Serie 52 von 83 Themen fertig

Apollo 11 flog mit einem Bordcomputer zum Mond, der weniger Speicher hatte als ein heutiger Grafiktaschenrechner. Die Navigation musste dabei aus ungenauen Messungen von Sternen, Radar und Trägheitssensoren laufend schätzen, wo das Raumschiff ist und wie schnell es fliegt. Geholfen hat ihr eine Methode, die Rudolf Kálmán 1960 veröffentlichte und die Stanley Schmidt für die NASA praxistauglich machte. Der Kalman-Filter steckt heute in jedem Handy, das GPS mit dem Beschleunigungssensor verbindet, in jeder Drohne und in jedem Auto, das selbst die Spur hält. Mit diesem Teil endet das Modul über probabilistische Modelle.

Er baut auf den Teilen Hidden-Markov-Modelle und Überblick über Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf.

1. Zwei ungenaue Messungen sind besser als eine

Fangen wir einfach an. Wir messen die Entfernung zu einem Leuchtturm zweimal: einmal mit einem genauen Gerät — 100 m mit einer Unsicherheit (Standardabweichung) von 5 m —, dann mit einem groben — 110 m mit einer Unsicherheit von 10 m. Was ist die beste Schätzung?

Satz — Verbindung zweier normalverteilter Schätzungen

Sind zwei unabhängige Schätzungen N(m₁, σ₁²) und N(m₂, σ₂²) gegeben, so ist die verbundene Schätzung normalverteilt mit

m = m₁ + K (m₂ − m₁),   σ² = (1 − K) σ₁²,   wobei K = σ₁² / (σ₁² + σ₂²).

Äquivalent 1/σ² = 1/σ₁² + 1/σ₂²: Die Präzisionen addieren sich.

Beweis. Die verbundene Schätzung hat eine Dichte proportional zum Produkt beider Dichten (Satz von Bayes mit der ersten Schätzung als A-priori-Verteilung und der zweiten als Likelihood). Im Exponenten addieren sich zwei quadratische Funktionen:

−(x − m₁)² / (2σ₁²) − (x − m₂)² / (2σ₂²) = −½ (1/σ₁² + 1/σ₂²) x² + (m₁/σ₁² + m₂/σ₂²) x + konst.

Eine Dichte mit dem Exponenten −½ ax² + bx ist nach quadratischer Ergänzung normalverteilt mit Varianz 1/a und Erwartungswert b/a. Daraus folgt 1/σ² = 1/σ₁² + 1/σ₂², also σ² = σ₁²σ₂² / (σ₁² + σ₂²) = (1 − K) σ₁², und m = σ² (m₁/σ₁² + m₂/σ₂²) = (1 − K) m₁ + K m₂ = m₁ + K (m₂ − m₁). ∎

m = m₁ + K (m₂ − m₁),   K = σ₁² / (σ₁² + σ₂²),   σ² = (1 − K) σ₁²

m₁, σ₁²

die erste Schätzung (im Bild blau) ist der Ausgangspunkt — von ihr aus verschieben wir; ihre Varianz im Zähler von K besagt: Je weniger wir der ersten Schätzung trauen, desto weiter dürfen wir uns von ihr entfernen

m₂, σ₂²

die zweite Schätzung (bernsteinfarben); sie geht nur über die Differenz m₂ − m₁ in die Formel ein — stimmen beide überein, gibt es nichts zu korrigieren. Ihre Varianz im Nenner von K verkleinert die Verstärkung: Einer groben Messung trauen wir wenig

K

die Kalman-Verstärkung, eine Zahl zwischen 0 und 1 — welcher Anteil des Unterschieds übernommen wird. Sie ist der Anteil der Unsicherheit der ersten Schätzung an der Gesamtunsicherheit, sodass die genauere Schätzung das Ergebnis „zu sich zieht“

m, σ²

die verbundene Schätzung (grün); der Faktor 1 − K < 1 garantiert, dass die neue Unsicherheit kleiner ist als die erste — jede Messung, auch eine grobe, trägt etwas bei

Hier ist K = 25 / (25 + 100) = 0,2: Wir übernehmen ein Fünftel des Unterschieds und erhalten 102 m mit einer Unsicherheit von √20 ≈ 4,5 m — weniger als die 5 m des genauen Geräts. Diese Zahl K ist die Kalman-Verstärkung, und der ganze Filter ist nichts anderes als dieser Schritt, wiederholt in der Zeit.

Beispiel — Verbindung der Messungen 100 ± 5 m und 110 ± 10 m Schritt für Schritt

Varianzen: σ₁² = 5² = 25, σ₂² = 10² = 100.

Verstärkung: K = 25 / (25 + 100) = 0,2.

Erwartungswert: m = 100 + 0,2 · (110 − 100) = 102 m — dasselbe wie der gewichtete Mittelwert 0,8 · 100 + 0,2 · 110.

Varianz: σ² = (1 − 0,2) · 25 = 20,   σ = √20 ≈ 4,47 m.

Probe über die Präzisionen: 1/25 + 1/100 = 0,04 + 0,01 = 0,05 = 1/20. ✓

2. Wiederholte Messung einer Größe

Wir messen die Raumtemperatur mit einem Thermometer mit einer Unsicherheit von 2 °C, fünfzigmal hintereinander, und verbinden nach jeder Messung den neuen Wert mit der bisherigen Schätzung. Nach fünfzig Messungen beträgt die Schätzung 19,895 °C — genau das arithmetische Mittel aller Messungen — und die Unsicherheit 0,283 °C = 2/√50. Der Kalman-Filter für eine Größe, die sich nicht ändert, ist also ein gewöhnlicher laufender Mittelwert. Interessant wird er, wenn sich die Größe mit der Zeit ändert.

Satz — der Filter für eine unveränderliche Größe ist ein laufender Mittelwert

Wir messen eine Konstante mit einem Messgerät der Varianz σ² und beginnen mit einer so unsicheren Schätzung, dass die erste Messung sie vollständig überschreibt (v₀ → ∞). Dann gilt nach k Messungen

K_k = 1/k,   m_k = m_k−1 + (1/k) (z_k − m_k−1) = (z₁ + … + z_k) / k,   v_k = σ²/k.

Beweis durch Induktion. Für k = 1 ist K₁ = v₀ / (v₀ + σ²) → 1, also m₁ = z₁ und v₁ = σ². Gilt v_k−1 = σ²/(k − 1), so ist K_k = v_k−1 / (v_k−1 + σ²) = (1/(k − 1)) / (1/(k − 1) + 1) = 1/k und v_k = (1 − 1/k) · σ²/(k − 1) = σ²/k. Ist m_k−1 der Mittelwert der ersten k − 1 Messungen, so ist m_k = ((k − 1) m_k−1 + z_k) / k der Mittelwert aller k. ∎

Beispiel — die ersten drei Temperaturmessungen

Unser Filter beginnt mit der Schätzung 0 °C und der Varianz 10⁶ (Unsicherheit 1 000 °C — „ich weiß nichts“), die Messvarianz ist 2² = 4.

1. Messung 23,098 °C: K₁ = 10⁶ / (10⁶ + 4) ≈ 1, Schätzung 23,098 °C, Varianz 4,00.

2. Messung 21,967 °C: K₂ = 4 / (4 + 4) = 1/2, Schätzung 23,098 + ½ · (21,967 − 23,098) = 22,533 °C, Varianz 2,00.

3. Messung 16,630 °C: K₃ = 2 / (2 + 4) = 1/3, Schätzung 22,533 + ⅓ · (16,630 − 22,533) = 20,565 °C, Varianz 1,33 = 4/3.

Probe: (23,098 + 21,967 + 16,630) / 3 = 20,565 °C — ein gewöhnlicher Mittelwert. Nach fünfzig Messungen ist die Varianz 4/50 = 0,08 und die Unsicherheit √0,08 ≈ 0,283 °C.

3. Das Zustandsraummodell

Definition — lineares Zustandsraummodell

Ein verborgener Zustand x_k ∈ ℝⁿ entwickelt sich, und die Messung z_k erfasst ihn mit Rauschen:

x_k = F x_k−1 + w_k,   w_k ~ N(0, Q),    z_k = H x_k + v_k,   v_k ~ N(0, R).

F ist die Übergangsmatrix, H die Messmatrix, Q die Kovarianz des Prozessrauschens und R die Kovarianz des Messrauschens.

Unser Beispiel: Ein Auto fährt mit ungefähr konstanter Geschwindigkeit von 15 m/s die Straße entlang, aber der Fahrer bremst gelegentlich oder gibt Gas — eine zufällige Beschleunigung mit einer Standardabweichung von 0,5 m/s². Der Zustand ist (Position, Geschwindigkeit), der Schritt 1 s, also F = [[1, 1], [0, 1]]: Die neue Position ist die alte plus die Geschwindigkeit. Das GPS misst nur die Position, mit einer Unsicherheit von 8 m: H = [1, 0], R = 64.

Definition — Kovarianzmatrix und mehrdimensionale Normalverteilung

Für einen Zufallsvektor X ∈ ℝⁿ mit Erwartungswert μ = E[X] ist die Kovarianzmatrix Σ = E[(X − μ)(X − μ)^T], d. h. Σ_ij = cov(X_i, X_j). Auf der Diagonalen stehen die Varianzen der Komponenten, außerhalb die Kovarianzen; die Matrix ist symmetrisch und positiv semidefinit.

Die Schreibweise X ~ N(μ, Σ) bezeichnet die mehrdimensionale Normalverteilung mit einer Dichte proportional zu exp(−½ (x − μ)^T Σ⁻¹ (x − μ)). Für lineare Abbildungen gilt AX + c ~ N(Aμ + c, A Σ A^T), und die Summe unabhängiger normalverteilter Vektoren ist normalverteilt mit der Summe der Kovarianzen.

Beispiel — woher die Matrix Q kommt

Während eines Schritts der Länge Δt wirkt auf das Auto eine konstante zufällige Beschleunigung a ~ N(0, q²). Aus den Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

p_k = p_k−1 + Δt · v_k−1 + ½ Δt² a,   v_k = v_k−1 + Δt · a.

Ohne Rauschen ist das F = [[1, Δt], [0, 1]]. Das Rauschen ist w = g a mit dem Vektor g = (½ Δt², Δt), und nach der Regel AΣA^T von oben ist

Q = q² g g^T = q² [[Δt⁴/4, Δt³/2], [Δt³/2, Δt²]].

Für Δt = 1 s und q = 0,5 m/s²: Q = 0,25 · [[0,25; 0,5], [0,5; 1]] = [[0,0625; 0,125], [0,125; 0,25]]. In einer Sekunde fügt die zufällige Beschleunigung also eine Unsicherheit von √0,0625 = 0,25 m in der Position und 0,5 m/s in der Geschwindigkeit hinzu — und beide Fehler haben dasselbe Vorzeichen, deshalb ist die Kovarianz positiv. Genau diese Matrix steht im Code weiter unten.

4. Vorhersage und Korrektur

Algorithmus — Kalman-Filter

Die Schätzung ist eine Normalverteilung mit Erwartungswert x̂ und Kovarianz P. In jedem Schritt:

Vorhersage: x̂⁻ = F x̂,   P⁻ = F P F^T + Q.

Korrektur: K = P⁻ H^T (H P⁻ H^T + R)⁻¹,   x̂ = x̂⁻ + K (z − H x̂⁻),   P = (I − K H) P⁻.

Die Farben in den Aufschlüsselungen unten passen zu den Bildern: Vorhersage (früher „erste Schätzung“) blau, Messung bernsteinfarben, Ergebnis grün, Verstärkung violett.

x̂⁻ = F x̂,   P⁻ = F P F^T + Q

x̂⁻, P⁻

die Vorhersage für diesen Schritt, bevor die Messung kommt — sie spielt die Rolle der „ersten Schätzung“ aus der Verbindung zweier Messungen

F … F^T

das Modell schiebt die Schätzung nach vorn; die Unsicherheit wird nach der Regel AΣA^T übertragen (beim Auto: Eine unsichere Geschwindigkeit schlägt sich nach einer Sekunde in der Unsicherheit der Position nieder). FP reicht nicht, weil die Kovarianz eine quadratische Größe ist — sie wird von links und von rechts multipliziert

Q

das Modell ist nicht perfekt (der Fahrer bremst), also wird in jedem Schritt Unsicherheit addiert — ohne Q würde P gegen null sinken und der Filter hörte auf, auf die Messungen zu achten

K = P⁻ H^T (H P⁻ H^T + R)⁻¹

H P⁻ H^T

die Unsicherheit der Vorhersage, übersetzt in die Sprache des Messgeräts (beim Auto nur die Varianz der Position) — entspricht σ₁²

R

die Messvarianz, entspricht σ₂²; die Summe in der Klammer ist die Varianz der Innovation S — um wie viel Messung und Vorhersage rein zufällig auseinanderliegen können

P⁻ H^T

die Kovarianz des gesamten Zustands mit der gemessenen Größe; durch sie bekommt auch die Geschwindigkeit, die niemand misst, eine von null verschiedene Verstärkung — die Fehler von Position und Geschwindigkeit hängen zusammen

K

die Kalman-Verstärkung, eine Zahl für jede Komponente des Zustands; die Inverse statt einer Division nur deshalb, weil die Messung ein Vektor sein kann

x̂ = x̂⁻ + K (z − H x̂⁻),   P = (I − K H) P⁻

x̂⁻, P⁻

die Vorhersage — der Ausgangspunkt, von dem aus wir verschieben

z

die neue Messung (im Bild die bernsteinfarbenen GPS-Punkte); die einzige Stelle, an der Daten in die Schätzung eingehen

H

übersetzt die Zustandsvorhersage in das, was das Messgerät anzeigen müsste; Messung und Zustand lassen sich nicht direkt voneinander abziehen, weil das GPS nur die Position sieht, nicht die Geschwindigkeit

K

welcher Anteil der Innovation z − Hx̂⁻ in jede Komponente des Zustands übernommen wird

x̂, P

die korrigierte Schätzung (im Bild grün); der Faktor I − KH verkleinert die Unsicherheit — umso stärker, je größer der Anteil der Messung ist, den wir übernommen haben

import numpy as np

F = np.array([[1, 1], [0, 1]])                    # Position += Geschwindigkeit
H = np.array([[1, 0]])                            # wir messen nur die Position
Q = 0.5**2 * np.array([[1/4, 1/2], [1/2, 1]])     # zufällige Beschleunigung
R = np.array([[8**2]])                            # GPS ± 8 m

def kalman(mereni, x, P):
    for z in mereni:
        x, P = F @ x, F @ P @ F.T + Q             # Vorhersage
        K = P @ H.T @ np.linalg.inv(H @ P @ H.T + R)
        x = x + K @ (z - H @ x)                   # Korrektur anhand der Innovation
        P = (np.eye(2) - K @ H) @ P
        yield x, P

Beispiel — die ersten beiden Schritte des Filters mit den Daten des Autos

Start. Die erste GPS-Messung ist z₁ = 8,44 m. Der Filter beginnt mit der Position 8,44 m, der Geschwindigkeit 0 und einer großen Unsicherheit P₀ = [[100; 0], [0; 100]] (10 m und 10 m/s). Die Korrektur mit derselben Messung ändert die Position nicht (die Innovation ist 0), sie verkleinert nur ihre Varianz: K = 100 / (100 + 64) = 0,610, P₁₁ = (1 − 0,610) · 100 = 39,02.

Vorhersage für die 2. Sekunde. x̂⁻ = (8,44 + 0; 0) = (8,44; 0,00). Die Kovarianz FPF^T addiert zur Varianz der Position die Varianz der Geschwindigkeit (Position += Geschwindigkeit):

P⁻ = [[39,02 + 100 + 0,0625; 100 + 0,125], [100 + 0,125; 100 + 0,25]] = [[139,09; 100,13], [100,13; 100,25]].

Korrektur. Messung z₂ = 23,23 m, Innovation y = 23,23 − 8,44 = 14,78 m, ihre Varianz S = 139,09 + 64 = 203,09.

K = (139,09; 100,13) / 203,09 = (0,685; 0,493),

x̂ = (8,44 + 0,685 · 14,78; 0 + 0,493 · 14,78) = (18,57 m; 7,29 m/s).

Nach zwei Messungen „weiß“ der Filter, dass sich das Auto bewegt, obwohl niemand die Geschwindigkeit gemessen hat: Er hat 7,3 m/s geschätzt (tatsächlich 13,9 m/s). Die Verstärkung für die Geschwindigkeit ist nur dank der Kovarianz 100,13 außerhalb der Diagonalen von null verschieden. Warum nur die Hälfte? Die Messungen sind um 8 m verrauscht, deshalb nimmt der Filter den Unterschied von 15 m noch nicht ganz ernst — in den folgenden Sekunden wird die Geschwindigkeit nachjustiert.

5. Der Filter verfolgt ein Auto

Eine Minute Fahrt, eine GPS-Messung pro Sekunde. In dieser Zeit legt das Auto knapp einen Kilometer zurück, sodass das Rauschen in einem Positionsdiagramm untergehen würde. Wir zeichnen deshalb, um wie viel das Auto einer Fahrt mit genau 15 m/s voraus ist oder hinterherhinkt:

Die GPS-Messungen weichen von der tatsächlichen Position im Mittel um 8,3 m ab (ab der zehnten Sekunde, wenn der Filter eingeschwungen ist). Die Schätzung des Filters nur um 4,9 m — 41 % weniger. Und die Geschwindigkeit, die kein Sensor misst, schätzt er mit einem Fehler von 0,8 m/s: Der Filter leitet sie daraus ab, wie sich die Position ändert. Am Anfang kennt er die Geschwindigkeit nicht (er beginnt bei null), nach ein paar Sekunden aber hat er sie im Griff. Das Band ±2σ ist die ehrliche Unsicherheit des Filters — die tatsächliche Position liegt in 95 % der Schritte darin, genau wie es sein soll.

Definition — mittlerer Fehler (RMSE) und das Band ±2σ

Der „mittlere Fehler“ in diesem Teil ist die Wurzel aus dem mittleren quadratischen Fehler (RMSE) über die Schritte k = 10, …, 59 (N = 50):

RMSE = √( (1/N) ∑_k (x̂_k − x_k)² ),

wobei x_k die tatsächliche Position ist und x̂_k die Schätzung (oder die Messung selbst). Die Quadrate bestrafen große Fehler stärker als kleine, und die Wurzel bringt das Ergebnis zurück in Meter. Für das GPS allein sollte der RMSE etwa bei σ = 8 m liegen — herausgekommen sind 8,3 m.

Das Band ±2σ ist das Intervall x̂_k ± 2√P_k,11. Bei einer Normalverteilung liegt im Intervall μ ± 2σ die Wahrscheinlichkeit 0,9545; hat der Filter die Unsicherheit P richtig berechnet, muss die Wirklichkeit in etwa 95 % der Schritte in das Band fallen.

Die Kalman-Verstärkung pendelt sich nach ein paar Schritten bei K ≈ (0,30; 0,05) ein: Von jeder Innovation übernimmt der Filter 30 % in die Position und 5 % (pro Meter Innovation 0,05 m/s) in die Geschwindigkeit. Über 50 simulierte Fahrten beträgt der Fehler des Filters im Mittel 55 % des Fehlers des GPS allein.

Satz — stationäre Verstärkung

In den Formeln für P⁻, K und P kommen die Messungen z nicht vor — Kovarianz und Verstärkung lassen sich im Voraus berechnen. Verbindet man Vorhersage und Korrektur, entsteht die Rekursion (die diskrete Riccati-Gleichung)

P⁻_k+1 = F (P⁻_k − P⁻_kH^T (HP⁻_kH^T + R)⁻¹ HP⁻_k) F^T + Q.

Für konstante F, H, Q, R, die die üblichen Bedingungen erfüllen (das System ist beobachtbar — aus einer Reihe von Messungen lässt sich der ganze Zustand ermitteln — und das Rauschen Q wirkt auf alle seine Komponenten), konvergiert die Folge unabhängig vom Anfangswert P₀ gegen einen einzigen Fixpunkt; die Verstärkung konvergiert dann gegen einen stationären Wert.

Beim Auto: Nach 60 Schritten ist K = (0,297; 0,052) und P = [[19,04; 3,35], [3,35; 1,29]], der Filter traut sich also √19,04 ≈ 4,4 m in der Position und √1,29 ≈ 1,1 m/s in der Geschwindigkeit zu.

6. Wem vertrauen: Q und R

Der Filter muss Q und R kennen. Für das GPS gibt sie meist der Hersteller an, das Prozessrauschen lässt sich aber schwerer schätzen. Was passiert, wenn wir dem Filter andere Werte geben, als die Daten haben?

Glaubt der Filter, dass das Auto fast exakt mit konstanter Geschwindigkeit fährt (kleines Q), hält er sich an sein Modell und reagiert auf echte Beschleunigung zu spät — der Positionsfehler ist sogar größer als beim GPS allein. Erwartet er dagegen wilde Änderungen (großes Q), traut er dem Modell nicht und kopiert die verrauschten Messungen. Am besten schneidet er mit dem wahren Wert 0,5 ab. Dasselbe gilt für R: Mit einer GPS-Unsicherheit von 2, 8 und 30 m ergibt sich ein Positionsfehler von 5,66; 4,86 und 5,39 m.

7. Warum gerade so

Satz — Optimalität des Kalman-Filters

Ist das Modell linear und sind die Rauschterme normalverteilt, so ist die Verteilung N(x̂_k, P_k) genau die A-posteriori-Verteilung des Zustands P(x_k | z₁, …, z_k). Ohne die Annahme der Normalverteilung ist der Kalman-Filter die beste lineare Schätzung im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers.

p(x_k | z_1:k) ∝ p(z_k | x_k) · ∫ p(x_k | x_k−1) p(x_k−1 | z_1:k−1) dx_k−1

∫ p(x_k | x_k−1) p(x_k−1 | z_1:k−1) dx_k−1

die Vorhersage (A-priori-Verteilung): Den vorigen Zustand kennen wir nicht genau, also mitteln wir den Übergang über alle möglichen vorigen Zustände, gewichtet damit, was wir zuletzt geglaubt haben. Das Integral ist das stetige Gegenstück zur Summe ∑_i im Vorwärtsalgorithmus des HMM. Für ein lineares Modell und Normalverteilungen ergibt sich N(Fx̂, FPF^T + Q)

p(z_k | x_k)

die Likelihood der neuen Messung — wie gut welcher Ort erklären würde, was das GPS angezeigt hat; aus dem Modell ist das N(z_k; Hx_k, R)

p(x_k | z_1:k)

die A-posteriori-Verteilung nach allen Messungen; „∝“ deshalb, weil wir die Normierungskonstante p(z_k | z_1:k−1) nicht brauchen — das Produkt zweier Normaldichten rechnet der Beweis des Satzes vom Anfang des Teils aus, und heraus kommt genau der Korrekturschritt

8. Wenn die Welt nicht linear ist

• Der erweiterte Kalman-Filter (EKF) linearisiert das nichtlineare Modell in jedem Schritt mit der Ableitung — so hat es auch die Navigation von Apollo gemacht.
• Der Unscented-Kalman-Filter (UKF) schickt statt Ableitungen ein paar sorgfältig gewählte Punkte durch das Modell und berechnet aus ihnen den neuen Erwartungswert und die neue Kovarianz.
• Der Partikelfilter verzichtet ganz auf die Normalverteilung: Er stellt die Schätzung durch Tausende von Stichproben („Partikeln“) dar, die sich nach dem Modell bewegen und nach den Messungen neu gewichtet werden. Er kommt auch mit einer Schätzung mit mehreren Gipfeln zurecht, etwa „der Roboter ist entweder in der Küche oder im Wohnzimmer“.
• Wo überall: Verbindung von GPS, Beschleunigungssensor und Gyroskop in Handys, Navigation von Flugzeugen, Drohnen und Raketen, Objektverfolgung per Radar, Positionsschätzung autonomer Autos und sogar die Glättung ökonomischer Zeitreihen.

Definition — erweiterter Kalman-Filter (EKF)

Das Modell ist nichtlinear: x_k = f(x_k−1) + w_k, z_k = h(x_k) + v_k. Der EKF berechnet den Erwartungswert mit den nichtlinearen Funktionen und die Kovarianz mit ihren Jacobi-Matrizen (Matrizen der partiellen Ableitungen) an der aktuellen Schätzung:

F_k = ∂f/∂x |_x̂k−1,   H_k = ∂h/∂x |_x̂⁻k,

x̂⁻ = f(x̂),   P⁻ = F_k P F_k^T + Q,   x̂ = x̂⁻ + K (z − h(x̂⁻)),   K und P wie zuvor mit H_k statt H.

Beispiel: Ein Radar misst die Entfernung h(p_x, p_y) = √(p_x² + p_y²); dann ist H_k = (p_x/d, p_y/d) mit d = √(p_x² + p_y²) — der Einheitsvektor in Richtung des Ziels. Für ein Ziel bei (300, 400) m ist d = 500 m und H_k = (0,6; 0,8). Das Ergebnis ist keine exakte A-posteriori-Verteilung mehr, nur eine Näherung; je stärker das Modell im Bereich der Unsicherheit gekrümmt ist, desto schlechter.

9. Zusammenfassung

• Zwei unabhängige normalverteilte Messungen werden durch einen gewichteten Mittelwert verbunden; die Präzisionen addieren sich, und das Gewicht K ist die Kalman-Verstärkung.
• Der Kalman-Filter wiederholt die Vorhersage nach dem Modell und die Korrektur nach der Messung; für eine unveränderliche Größe ist er ein laufender Mittelwert.
• Beim Auto senkte er den Positionsfehler von 8,3 m (GPS) auf 4,9 m und schätzte auch die nicht gemessene Geschwindigkeit mit einem Fehler von 0,8 m/s; das Band ±2σ überdeckte die Wirklichkeit in 95 % der Schritte.
• Das Ergebnis hängt von Q und R ab: Zu viel Vertrauen ins Modell reagiert zu spät, zu wenig kopiert das Rauschen.
• Für ein lineares Modell mit normalverteiltem Rauschen ist der Filter eine exakte Bayes-Aktualisierung; die nichtlineare Welt bewältigen EKF, UKF und Partikelfilter.

Mit diesem Teil endet das Modul über probabilistische Modelle. Willst du es selbst ausprobieren? Lass einen KI-Agenten einen Kalman-Filter für die Daten aus dem Beschleunigungssensor deines eigenen Handys schreiben, und probier aus, wie gut er daraus schätzt, um wie viel du das Handy verschoben hast.

Siehst du das anders? Schreib an support@coden-app.com.