Fuzzy-Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen: wie man „etwas warm“ aufschreibt

Die scharfe Grenze und das Haufen-Paradox, Fuzzy-Menge und Zugehörigkeitsgrad, Formen von Zugehörigkeitsfunktionen, linguistische Variable, Träger, Kern und α-Schnitte, Zadeh-Operationen und die Modifikatoren „sehr“ und „etwas“ — an der Temperatur von kalt bis heiß.

12 Minuten Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie KI-Grundlagen Teil 32 von 52

Der ganze Lehrplan der Serie 52 von 83 Themen fertig

Was du mitnimmst

Was eine Fuzzy-Menge ist und warum der Zugehörigkeitsgrad keine Wahrscheinlichkeit ist.
Wie sich Wörter wie „warm“ oder „angenehm“ als Zugehörigkeitsfunktionen aufschreiben lassen und wie sie sich überlappen.
Wie Fuzzy-Durchschnitt, -Vereinigung und -Komplement funktionieren und warum der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gilt.

Vorher gut zu wissen: Mengen und Relationen: der Baukasten, aus dem Definitionen in der KI bestehen, Funktionen und Abbildungen: warum jedes KI-Modell eine Funktion ist

Wie viele Sandkörner ergeben einen Haufen? Eine Million sicher. Eines sicher nicht. Und wenn du einem Haufen ein Korn wegnimmst, ist es immer noch ein Haufen — nach dieser Logik wäre also auch ein einziges Korn ein Haufen. Dieses Paradox kannten schon die alten Griechen, und es zeigt, dass viele Wörter, mit denen wir über die Welt sprechen, keine scharfe Grenze haben: groß, warm, schnell, fast voll. Die klassische Mathematik kommt mit ihnen schlecht zurecht, denn ein Element gehört zu einer Menge entweder dazu oder nicht. 1965 schlug Lotfi Zadeh von der University of California in Berkeley eine einfache Lösung vor: zuzulassen, dass ein Element ein bisschen zu einer Menge gehört.

Mit diesem Teil beginnt das Modul über Fuzzy-Logik. Er baut auf den Teilen Mengen und Relationen und Funktionen und Abbildungen auf.

1. Die scharfe Grenze und ihr Problem

Definition — charakteristische Funktion

Eine klassische (scharfe) Menge A ⊆ X ist eindeutig durch ihre charakteristische Funktion χ_A : X → {0, 1} bestimmt, wobei χ_A(x) = 1 für x ∈ A und sonst 0 ist.

Einfach gesagt

Eine scharfe Menge ist eine Liste mit klarem Ja und Nein. Sagen wir, „warm“ ist alles ab 25 °C. Dann sind 25 °C warm und 24,9 °C nicht — obwohl niemand den Unterschied spürt. Eine Grenze an genau einer Stelle ist willkürlich, und eine kleine Änderung der Eingabe macht einen Sprung im Ergebnis.

„Warm“ als scharfe und als Fuzzy-Menge scharf: ab 25 °Cfuzzy

2. Fuzzy-Menge

Definition — Fuzzy-Menge (Zadeh, 1965)

Eine Fuzzy-Menge A auf dem Universum X ist durch eine Zugehörigkeitsfunktion μ_A : X → [0, 1] gegeben. Die Zahl μ_A(x) ist der Zugehörigkeitsgrad des Elements x zu A; formal A = {(x, μ_A(x)) : x ∈ X}.

Eine scharfe Menge ist der Sonderfall, in dem μ_A nur die Werte 0 und 1 annimmt.

Einfach gesagt

Statt „gehört dazu, gehört nicht dazu“ bekommt jedes Element eine Zahl zwischen null und eins: wie stark es zur Menge gehört. 28 °C sind ganz „warm“ (1), 25 °C zur Hälfte (0,5), 20 °C gar nicht (0). Dazwischen ändert sich die Zugehörigkeit stetig — kein Sprung zwischen 24,9 und 25.

Wichtig ist, was der Zugehörigkeitsgrad nicht ist: keine Wahrscheinlichkeit. Wenn 25 °C zu 0,5 „warm“ sind, heißt das nicht, dass es mit fünfzigprozentiger Chance warm ist. Die Temperatur ist genau bekannt; unscharf ist das Wort. Dem Unterschied zwischen der Vagheit eines Wortes und der Unsicherheit des Zufalls widmet sich der nächste Teil.

3. Formen von Zugehörigkeitsfunktionen

Definition — übliche Zugehörigkeitsfunktionen

Dreiecksfunktion mit Parametern a < b < c: steigt linear von 0 in a auf 1 in b und fällt auf 0 in c.
Trapezfunktion mit Parametern a ≤ b ≤ c ≤ d: steigt von a bis b, ist zwischen b und c gleich 1, fällt bis d.
Gauß-Funktion: μ(x) = e^{−(x − m)² / 2s²} — ein glatter Hügel mit Mitte m und Breite s.
Sigmoidfunktion: μ(x) = 1 / (1 + e^{−a(x − c)}) — ein stetiger Übergang von 0 zu 1 um den Punkt c.

Einfach gesagt

Die Form wählt man danach, was natürlich ist und was sich leicht rechnen lässt. In der Praxis gewinnen mit Abstand am häufigsten Dreiecke und Trapeze: Ein paar Zahlen genügen, jeder versteht sie, und die Rechnungen sind schnell. Auf die genaue Form kommt es meist weniger an, als man denkt — wichtig ist, wo die Funktion beginnt, wo sie ihren Gipfel hat und wo sie endet.

μ(x) = max( 0, min( (x − a) / (b − a), (c − x) / (c − b) ) )

(x − a) / (b − a): linke Flanke — eine Gerade mit dem Wert 0 in a und 1 in b; die Division durch die Länge b − a sorgt dafür, dass der Gipfel unabhängig von der Breite genau 1 ergibt
(c − x) / (c − b): rechte Flanke — spiegelbildlich: in b der Wert 1, in c der Wert 0
min: wählt die Flanke, die gerade tiefer liegt — links von b liegt die rechte Flanke über 1, rechts von b die linke; das Minimum „schneidet“ die Spitze so genau in b ab
max(0, …): außerhalb des Intervalls (a; c) wären die Flanken negativ; der Zugehörigkeitsgrad darf aber nicht unter 0 fallen

Ein Dreieck in einem einzigen Ausdruck — genau der, den die Funktion trojuhelnik unten berechnet. Für „warm“ (22, 28, 34) und 25 °C: min(3/6, 9/6) = 0,5.

def trojuhelnik(a, b, c):
    return lambda x: max(0.0, min((x - a) / (b - a), (c - x) / (c - b)))

def lichobeznik(a, b, c, d):
    def mu(x):
        if x < a or x > d:
            return 0.0
        if x < b:
            return (x - a) / (b - a)
        return 1.0 if x <= c else (d - x) / (d - c)
    return mu

teplo = trojuhelnik(22, 28, 34)
print(teplo(25), teplo(28), teplo(31))   # 0.5 1.0 0.5

4. Linguistische Variable

Definition — linguistische Variable (Zadeh, 1975)

Eine linguistische Variable ist eine Variable, deren Werte Wörter sind. Sie ist gegeben durch einen Namen (zum Beispiel „Temperatur“), ein Universum X (0–40 °C) und eine Menge von Termen (kalt, angenehm, warm, heiß), von denen jeder eine Fuzzy-Menge auf X ist.

Einfach gesagt

Die Wörter, mit denen wir Temperatur beschreiben, überlappen sich — und das ist in Ordnung. 25 °C sind ein bisschen „angenehm“ und ein bisschen „warm“, genau wie ein Mensch es sagen würde.

Unsere Temperatur hat vier Terme: kalt ist ein Trapez (0, 0, 6, 14), angenehm ein Trapez (10, 17, 23, 28), warm ein Dreieck (22, 28, 34) und heiß ein Trapez (30, 36, 40, 40). Die senkrechte Linie springt zwischen den Beispieltemperaturen:

Linguistische Variable Temperatur und die Zugehörigkeiten dreier Temperaturen kaltangenehmwarmheiß

12 °C sind zu 0,25 „kalt“ und zu 0,29 „angenehm“ — ein kühler Frühlingstag, an dem man sich nicht entscheiden kann.
25 °C sind zu 0,6 „angenehm“ und zu 0,5 „warm“.
31 °C sind zu 0,5 „warm“ und schon zu 0,17 „heiß“.

Beispiel — Zugehörigkeiten Schritt für Schritt

Auf jeder Flanke genügt das Verhältnis „wie viel der Flanke schon zurückgelegt ist“ zu „wie lang die Flanke ist“:

12 °C, kalt (0, 0, 6, 14) auf der fallenden Flanke: (14 − 12) / (14 − 6) = 2/8 = 0,25

12 °C, angenehm (10, 17, 23, 28) auf der steigenden Flanke: (12 − 10) / (17 − 10) = 2/7 ≈ 0,29

25 °C, angenehm auf der fallenden Flanke: (28 − 25) / (28 − 23) = 3/5 = 0,6

25 °C, warm (22, 28, 34) auf der steigenden Flanke: (25 − 22) / (28 − 22) = 3/6 = 0,5

31 °C, warm auf der fallenden Flanke: (34 − 31) / (34 − 28) = 3/6 = 0,5

31 °C, heiß (30, 36, 40, 40) auf der steigenden Flanke: (31 − 30) / (36 − 30) = 1/6 ≈ 0,17

Die übrigen Terme haben bei diesen Temperaturen die Zugehörigkeit 0 — die Temperatur liegt außerhalb ihres Trägers.

Beachte, dass sich die Zugehörigkeiten einer Temperatur nicht zu 1 addieren müssen (bei 25 °C ergeben sie 1,1). Fuzzy-Mengen sind keine Anteile an einem Ganzen, sondern unabhängige Antworten auf die Fragen „ist es kalt?“, „ist es angenehm?“…

5. Träger, Kern und α-Schnitte

Definition — Träger, Kern, Höhe, α-Schnitt

Der Träger (support) ist {x : μ_A(x) > 0} — die Elemente, die wenigstens ein bisschen zu A gehören.
Der Kern (core) ist {x : μ_A(x) = 1} — die Elemente, die ganz dazugehören.
Die Höhe ist sup_x μ_A(x); eine Menge mit Höhe 1 heißt normal.
Der α-Schnitt für α ∈ (0, 1] ist die scharfe Menge A_α = {x : μ_A(x) ≥ α}. Eine Fuzzy-Menge ist konvex, wenn alle ihre α-Schnitte Intervalle sind.

Einfach gesagt

Der α-Schnitt sagt, „wie streng wir sein wollen“. Der Schnitt auf Höhe 0,5 enthält die Temperaturen, die mindestens zur Hälfte angenehm sind. Aus den α-Schnitten lässt sich die Fuzzy-Menge wieder zusammensetzen — sie sind die Höhenlinien des Hügels. Und dank ihnen lässt sich scharfe Mathematik auch auf Fuzzy-Mengen anwenden: Man führt sie einfach getrennt auf jeder Höhe α aus.

Term „angenehm“: Träger, Kern und α-Schnitt für α = 0,5 angenehm

Für „angenehm“ ist der Träger das offene Intervall (10; 28), der Kern [17; 23] und der α-Schnitt auf Höhe 0,5 das Intervall [13,5; 25,5]. Die Menge ist normal (Höhe 1) und konvex — wie alle unsere Terme. (Das Supremum sup in der Definition der Höhe ist die kleinste obere Schranke der Werte; bei unseren stetigen Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall ist es einfach das Maximum.)

A_α = [ a + α (b − a) ; d − α (d − c) ]

α: Höhe des Schnitts (im Bild die bernsteinfarbene Linie) — wie viel Zugehörigkeit wir verlangen; je höher, desto weiter müssen wir von den Rändern weg, und der Schnitt wird schmaler
a: linker Rand des Trägers — von hier steigt die linke Flanke; bei α → 0 beginnt der Schnitt genau hier
(b − a): Breite der linken Flanke — auf ihr steigt die Zugehörigkeit von 0 auf 1, die Höhe α ist also nach dem Bruchteil α dieser Breite erreicht
d: rechter Rand des Trägers — von hier aus wird zurück nach links gemessen
(d − c): Breite der rechten Flanke — spiegelbildlich: von d gehen wir den Bruchteil α dieser Breite nach links

α-Schnitt eines Trapezes (a, b, c, d) für α ∈ (0, 1]: Es genügt, (x − a)/(b − a) = α und (d − x)/(d − c) = α zu lösen. Für α = 1 ergibt sich der Kern [b; c].

Beispiel — α-Schnitte des Terms „angenehm“ (10, 17, 23, 28)

α = 0,5: [10 + 0,5 · 7; 28 − 0,5 · 5] = [13,5; 25,5]

α = 0,8: [10 + 0,8 · 7; 28 − 0,8 · 5] = [15,6; 24]

α = 1: [10 + 7; 28 − 5] = [17; 23] = Kern

Die Schnitte sind ineinander geschachtelt: Je höher α, desto kleiner das Intervall, und jeder höhere liegt im niedrigeren. Zurück setzt sich die Fuzzy-Menge als μ_A(x) = sup {α : x ∈ A_α} zusammen — die Zugehörigkeit eines Punktes ist der höchste Schnitt, in den er noch fällt.

Ist die Zugehörigkeitsfunktion nicht durch eine Formel, sondern etwa durch Messpunkte gegeben, berechnet man den α-Schnitt auf einem feinen Gitter. Genau so macht es das Programm, das die Bilder in diesem Teil zeichnet:

def alfa_rez(mu, alfa, od=0.0, do=40.0, kroku=4000):
    body = [od + i * (do - od) / kroku for i in range(kroku + 1)]
    uvnitr = [x for x in body if mu(x) >= alfa]
    return (uvnitr[0], uvnitr[-1]) if uvnitr else None   # bei konvexer Menge ein Intervall

prijemne = lichobeznik(10, 17, 23, 28)
print(alfa_rez(prijemne, 0.5))    # (13.5, 25.5)

6. Komplement, Durchschnitt und Vereinigung

Definition — Zadeh-Operationen

μ_¬A(x) = 1 − μ_A(x), μ_{A ∩ B}(x) = min(μ_A(x), μ_B(x)), μ_{A ∪ B}(x) = max(μ_A(x), μ_B(x)).

Für scharfe Mengen ergeben diese Formeln genau das klassische Komplement, den Durchschnitt und die Vereinigung.

Einfach gesagt

„Angenehm und zugleich warm“ ist so wahr, wie der schwächere der beiden Teile wahr ist; „angenehm oder warm“ so wahr wie der stärkere. Eine Kette ist so stark wie ihr schwächstes Glied, und wenn eines von beiden genügt, entscheidet das bessere.

Operationen mit den Termen „angenehm“ und „warm“ angenehmwarm

Bei 25 °C ist „angenehm und warm“ 0,5 und „angenehm oder warm“ 0,6. Der Durchschnitt erreicht höchstens 0,545 um 25,3 °C, wo sich die beiden Kurven kreuzen — keine Temperatur ist beides ganz.

μ_{P ∩ T}(x) = min( μ_P(x), μ_T(x) )

μ_P(x): wie sehr die Temperatur x „angenehm“ ist (im Bild die grüne Kurve)
μ_T(x): wie sehr sie „warm“ ist (die bernsteinfarbene Kurve) — beide Zugehörigkeiten werden unabhängig berechnet, jede mit ihrer eigenen Funktion
min: „und zugleich“ darf höchstens so wahr sein wie der schwächere Teil — wäre es mehr, würden wir über die Temperatur mehr behaupten, als eines der beiden Wörter trägt; und für die Werte 0 und 1 ergibt min genau das klassische „und“

Die Vereinigung ist dasselbe mit max (der stärkere der beiden), das Komplement 1 − μ dreht die Skala um: Was ganz dazugehört, gehört gar nicht dazu, und was zur Hälfte, bleibt zur Hälfte.

Beispiel — wo der Durchschnitt am höchsten ist

Zwischen 23 und 28 °C fällt angenehm und steigt warm, also ist das Minimum dort am höchsten, wo sich die Kurven schneiden:

(28 − x) / 5 = (x − 22) / 6

6 (28 − x) = 5 (x − 22) ⇒ 168 − 6x = 5x − 110 ⇒ x = 278/11 ≈ 25,27 °C

μ = (28 − 278/11) / 5 = 6/11 ≈ 0,545

Links vom Schnittpunkt ist warm niedriger, rechts angenehm — das Minimum fällt dort immer.

Hier unterscheiden sich Fuzzy-Mengen von klassischen in etwas Grundsätzlichem. Für sie gelten fast alle bekannten Regeln — Kommutativität, Assoziativität, die De-Morgan-Gesetze —, aber nicht der Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Der Durchschnitt A ∩ ¬A muss nicht leer sein: „angenehm und zugleich nicht angenehm“ hat bei 13,5 °C den Wert 0,5. Für vage Wörter ist das richtig — über eine Temperatur, die zur Hälfte angenehm ist, kann man zugleich zur Hälfte sagen, dass sie nicht angenehm ist. Andere Möglichkeiten für Durchschnitt und Vereinigung (sogenannte t-Normen) kommen im Teil über Fuzzy-Logik.

Satz — die De-Morgan-Gesetze gelten, das ausgeschlossene Dritte nicht

Für beliebige Fuzzy-Mengen A, B auf X und jedes x ∈ X gilt mit den Zadeh-Operationen

¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B und ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B,
μ_{A ∩ ¬A}(x) ≤ ½ und μ_{A ∪ ¬A}(x) ≥ ½, mit Gleichheit genau dann, wenn μ_A(x) = ½.

Beweis. (1) Sei p = μ_A(x), q = μ_B(x) und ohne Beschränkung der Allgemeinheit p ≤ q. Dann ist 1 − min(p, q) = 1 − p, und weil 1 − p ≥ 1 − q, ist auch max(1 − p, 1 − q) = 1 − p. Das zweite Gesetz folgt ebenso mit vertauschtem min und max.

(2) Die Zahlen p und 1 − p haben die Summe 1, also ist die kleinere von ihnen höchstens ½ und die größere mindestens ½. ∎

Der klassische Satz vom ausgeschlossenen Dritten verlangt A ∪ ¬A = X, also überall den Wert 1. Bei einer Fuzzy-Menge gilt er nur dort, wo μ_A gleich 0 oder 1 ist; am schlimmsten ist es in den Punkten mit Zugehörigkeit ½ — bei „angenehm“ bei 13,5 und 25,5 °C, wo A ∩ ¬A und A ∪ ¬A beide den Wert 0,5 haben.

Probe am Zahlenbeispiel: Bei 25 °C ist ¬(P ∩ T) = 1 − min(0,6; 0,5) = 0,5 und ¬P ∪ ¬T = max(0,4; 0,5) = 0,5.

7. Sehr warm, etwas warm

Definition — sprachliche Modifikatoren (Zadeh, 1972)

Konzentration („sehr“): μ_{sehr A}(x) = μ_A(x)². Dilatation („etwas“, „mehr oder weniger“): μ_{etwas A}(x) = √μ_A(x).

Einfach gesagt

Das Quadrieren einer Zahl zwischen 0 und 1 macht sie kleiner — und zwar umso mehr, je kleiner sie ist: 0,5 wird zu 0,25, aber 1 bleibt 1. „Sehr warm“ ist deshalb enger und strenger als „warm“. Die Quadratwurzel dagegen macht die Menge breiter: 25 °C sind zu 0,5 „warm“, zu 0,71 „etwas warm“ und nur zu 0,25 „sehr warm“.

Warm, sehr warm und etwas warm etwas warm (√μ)warmsehr warm (μ²)

Definition — Inklusion von Fuzzy-Mengen

Eine Fuzzy-Menge A ist eine Teilmenge von B (A ⊆ B), wenn μ_A(x) ≤ μ_B(x) für jedes x ∈ X. Für scharfe Mengen ist das die übliche Inklusion: Wo χ_A = 1 ist, muss auch χ_B = 1 sein.

μ(x)² ≤ μ(x) ≤ √μ(x) für μ(x) ∈ [0, 1]

μ²: „sehr“ (die rote Kurve) — die Multiplikation mit einer Zahl von höchstens 1 vergrößert nie, also liegt das Quadrat unter der ursprünglichen Kurve; am meisten nimmt es bei mittleren Werten weg, Null und Eins lässt es stehen
μ: „warm“ selbst (die bernsteinfarbene Kurve) — der Ausgangsterm, den die Modifikatoren nur umformen; weder Träger noch Kern ändern sich
√μ: „etwas“ (die violette Kurve) — die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats, sie hebt also an, was das Quadrat drückt: √0,25 = 0,5

Daher gilt sehr A ⊆ A ⊆ etwas A: „Sehr warm“ ist immer warm, und was warm ist, ist mindestens etwas warm. Durch Wiederholung entsteht eine Skala: „sehr sehr“ ist μ⁴.

Beispiel — um wie viel „sehr“ verengt und „etwas“ erweitert

Der α-Schnitt auf Höhe 0,5 für „warm“ (22, 28, 34) ist [25; 31]. Für die modifizierten Terme genügt es, die Höhe auf das ursprüngliche μ zurückzurechnen:

sehr warm: μ² ≥ 0,5 ⇔ μ ≥ √0,5 ≈ 0,707 → [22 + 0,707 · 6; 34 − 0,707 · 6] ≈ [26,24; 29,76]

etwas warm: √μ ≥ 0,5 ⇔ μ ≥ 0,25 → [22 + 0,25 · 6; 34 − 0,25 · 6] = [23,5; 32,5]

Das Intervall „mindestens zur Hälfte“ ist 6 °C breit für warm, etwa 3,5 °C für sehr warm und 9 °C für etwas warm.

8. Fuzzy-Mengen in der Praxis

Fuzzy-Regelung. Die U-Bahn im japanischen Sendai fährt seit 1987 mit einem Fuzzy-Regler, der sanfter anfährt und bremst als ein Mensch. Um 1990 folgte in Japan eine Welle von Fuzzy-Waschmaschinen, -Kameras und -Klimaanlagen. Wie ein solcher Regler funktioniert, erklärt der Teil über Fuzzy-Regelung.
Bildverarbeitung und Clustering. Ein Pixel an der Grenze zweier Bereiche kann ein bisschen zu beiden gehören; Fuzzy-Clustering ordnet Punkte mehreren Clustern zugleich zu.
Maschinelles Lernen. Weiche Ausgaben von Klassifikatoren oder die Technik label smoothing (statt des sicheren „das ist eine Katze“ das Ziel „Katze zu 0,9“) sind keine Fuzzy-Mengen im Sinne Zadehs, teilen mit ihnen aber den Gedanken, dass die Zugehörigkeit zu einer Klasse nicht nur 0 oder 1 sein muss.
Sprache. Sprachmodelle arbeiten jeden Tag mit Wörtern wie „ziemlich“, „fast“ oder „eher nicht“. Fuzzy-Mengen sind eines der wenigen Werkzeuge, die solchen Wörtern eine genaue, überprüfbare Bedeutung geben.

9. Zusammenfassung

Eine Fuzzy-Menge ordnet jedem Element einen Zugehörigkeitsgrad aus dem Intervall [0, 1] zu; eine scharfe Menge ist der Sonderfall mit den Werten 0 und 1.
Zugehörigkeitsfunktionen haben meist die Form eines Dreiecks, eines Trapezes, eines Gauß-Hügels oder einer Sigmoide.
Eine linguistische Variable hat Wörter als Werte — Terme, die sich überlappen dürfen; 25 °C sind zu 0,6 „angenehm“ und zu 0,5 „warm“.
Träger, Kern und α-Schnitte beschreiben die Form einer Fuzzy-Menge durch scharfe Mengen.
Das Komplement ist 1 − μ, der Durchschnitt das Minimum und die Vereinigung das Maximum; der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt nicht. Der Modifikator „sehr“ ist μ², „etwas“ √μ.

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Fuzzy-Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen: wie man „etwas warm“ aufschreibt

1. Die scharfe Grenze und ihr Problem

2. Fuzzy-Menge

3. Formen von Zugehörigkeitsfunktionen

4. Linguistische Variable

5. Träger, Kern und α-Schnitte

6. Komplement, Durchschnitt und Vereinigung

7. Sehr warm, etwas warm

8. Fuzzy-Mengen in der Praxis

9. Zusammenfassung

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