Funktionen und Abbildungen: warum jedes KI-Modell eine Funktion ist

Definitionsmenge, Bild, Injektivität, Verkettung, Umkehrfunktion, Funktionen mehrerer Variablen und Konvexität — mit Graphen der Sigmoidfunktion, von ReLU und einer Verlustlandschaft.

13 Minuten Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie KI-Grundlagen Teil 6 von 52

1. Landkarte der künstlichen Intelligenz: was was ist und wie alles zusammenpasst
2. Eine kurze Geschichte der künstlichen Intelligenz: von Turing bis zu Sprachmodellen
3. Daten, Modell, Training, Inferenz: die Grundbegriffe an einem einzigen Beispiel
4. Mathematische Notation lesen: Symbole, Indizes, Summen und Quantoren
5. Mengen und Relationen: der Baukasten, aus dem Definitionen in der KI bestehen
6. Funktionen und Abbildungen: warum jedes KI-Modell eine Funktion ist
7. Logik und Beweise: die Regeln, nach denen KI schließt
8. Graphen und Bäume: die Struktur, auf der Suche und neuronale Netze stehen
9. Lineare Algebra für maschinelles Lernen: Vektoren, Matrizen und warum KI vor allem multipliziert
10. Ableitungen, Gradient und Kettenregel: wie ein Modell herausfindet, in welche Richtung es lernen soll
11. Gradientenabstieg: wie ein Modell lernt
12. Was ist Wahrscheinlichkeit: vom Würfelwurf zu den Kolmogorow-Axiomen
13. Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes: wie du deine Einschätzung änderst, wenn du etwas Neues erfährst
14. Zufallsvariable und Verteilungsfunktion: eine Funktion, die alles über eine Verteilung verrät
15. Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion: warum eine stetige Zufallsvariable in einem Punkt die Wahrscheinlichkeit null hat
16. Erwartungswert, Varianz und Kovarianz: wo eine Verteilung liegt, wie breit sie ist und was womit zusammenhängt
17. Überblick über Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Bernoulli-, Binomial-, Poisson-, Gleich-, Normal- und Exponentialverteilung
18. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz: Warum sich Durchschnitte so vorhersagbar verhalten
19. Statistik und Parameterschätzung: Maximum Likelihood, MAP und Konfidenzintervalle
20. Informationstheorie: Entropie, Kreuzentropie und KL-Divergenz — woher Verlustfunktionen kommen
21. Zustandsraumsuche: BFS, DFS, UCS und A* mit Animationen
22. Spiele und Gegner: Minimax, Alpha-Beta-Suche und Monte Carlo Tree Search
23. Constraint Satisfaction: Backtracking, Constraint-Propagierung und AC-3 an Sudoku und einer Karte tschechischer Regionen
24. Logik und wissensbasierte Systeme: Vorwärts- und Rückwärtsverkettung, Resolution und Expertensysteme
25. Planung: STRIPS, die Blockwelt, Heuristiken aus Relaxierung und Planung in KI-Agenten
26. Lokale Suche und simulierte Abkühlung: ein Handlungsreisender durch die tschechischen Regionalhauptstädte
27. Genetische Algorithmen: Population, Kreuzung, Mutation und Selektion am Rucksack für die Wanderung
28. Evolutionsstrategien und genetische Programmierung: von der 1/5-Erfolgsregel zum Keplerschen Gesetz
29. Ameisenkolonieoptimierung: wie eine Pheromonspur einen kurzen Weg findet
30. Partikelschwarmoptimierung: Trägheit, eigene Erfahrung und die Erfahrung des Schwarms
31. Neuroevolution: Evolution der Gewichte und der Gestalt neuronaler Netze und der Algorithmus NEAT
32. Fuzzy-Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen: wie man „etwas warm“ aufschreibt
33. Fuzzy-Logik und Wahrscheinlichkeit: warum „etwas warm“ nicht „wahrscheinlich warm“ bedeutet
34. Fuzzy-Logik: t-Normen, Implikationen und WENN–DANN-Regeln
35. Fuzzy-Regelung: Mamdani und Sugeno vom Ventilator bis zum Pendel auf dem Wagen
36. Fuzzy-Clustering: der Algorithmus fuzzy c-means und Punkte zwischen den Clustern
37. Neuro-Fuzzy-Systeme (ANFIS): Fuzzy-Regeln, die aus Daten lernen
38. Markow-Ketten: Übergangsmatrix, stationäre Verteilung und PageRank
39. Hidden-Markov-Modelle: der Viterbi-Algorithmus und das unehrliche Kasino
40. Bayessche Netze: warum das Gras nass ist und was das für den Rasensprenger bedeutet
41. Der Kalman-Filter: wie man aus ungenauen Messungen schätzt, wo ein Auto ist und wie schnell es fährt
42. Arten des maschinellen Lernens: überwacht, unüberwacht, halbüberwacht und mehr
43. Prompts, Kontext und RAG: wie man einem Modell die richtigen Informationen gibt
44. Variational Autoencoder (VAE): neue Bilder aus einem stetigen latenten Raum
45. Generative Adversarial Networks (GAN): der Fälscher gegen den Detektiv
46. Diffusionsmodelle: wie aus reinem Rauschen ein Bild wird
47. Markow-Entscheidungsprozesse: Zustände, Aktionen, Belohnungen und Bellman-Gleichungen
48. Q-Learning und DQN: den Wert von Aktionen lernen, von der Tabelle bis zum neuronalen Netz
49. Policy Gradient und PPO: die Strategie direkt lernen
50. Wie ein KI-Agent funktioniert: ein Sprachmodell in einer Schleife mit Werkzeugen
51. Programmieren mit KI-Agenten: Auftrag, Tests und Kontrolle
52. Bewertung und Sicherheit von KI-Systemen: wie man misst und wie man überwacht

Der ganze Lehrplan der Serie 52 von 83 Themen fertig

Jedes Modell in der künstlichen Intelligenz ist eine Funktion. Ein Spam-Klassifikator nimmt eine E-Mail und gibt „Spam“ oder „kein Spam“ zurück, ein Sprachmodell nimmt Text und gibt Wahrscheinlichkeiten für das nächste Wort zurück, ein neuronales Netz ist eine Funktion, die aus Tausenden kleinerer Funktionen zusammengesetzt ist. Lernen ist dann nichts anderes als die Suche nach der richtigen Funktion.

Der vorige Teil endete mit der Definition einer Funktion als besonderer Relation. Hier knüpfen wir daran an: wie Funktionen aussehen, welche Eigenschaften sie haben, wie man sie verkettet und warum das in der KI wichtig ist.

1. Was eine Funktion ist

Definition — Funktion (Abbildung)

Eine Funktion f : X → Y ordnet jedem Element x ∈ X genau ein Element f(x) ∈ Y zu. Das Wort Abbildung bedeutet dasselbe.

X ist die Definitionsmenge, Y die Zielmenge (Wertevorrat). Das Bild der Funktion ist die Menge der Werte, die sie tatsächlich annimmt: f(X) = {f(x) : x ∈ X} ⊆ Y.

Der Graph einer Funktion ist die Menge der Paare {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y.

Den Unterschied zwischen Zielmenge und Bild sieht man an der Sigmoidfunktion σ : ℝ → ℝ: Sie darf jede beliebige reelle Zahl zurückgeben, gibt aber tatsächlich nur Zahlen zwischen 0 und 1 zurück. Deshalb kann man sie als Wahrscheinlichkeit lesen.

2. Funktionen, denen du in der KI begegnest

Eine Funktion einer Variablen verstehst du am besten an ihrem Graphen. Diese hier tauchen in der künstlichen Intelligenz immer wieder auf — als Modelle, als Aktivierungsfunktionen neuronaler Netze oder als Verlustfunktionen:

linear: f(x) = ax + b

quadratisch: x²

Exponentialfunktion: e^x

Logarithmus: ln x

Sigmoid: 1 / (1 + e^−x)

Tangens hyperbolicus: tanh x

ReLU: max(0, x)

• Eine lineare Funktion ist das einfachste Modell — lineare Regression ist nichts anderes.
• Eine quadratische Funktion ist die Grundlage des mittleren quadratischen Fehlers: Die Strafe wächst mit dem Quadrat der Abweichung.
• Exponentialfunktion und Logarithmus sind zueinander invers; der Logarithmus verwandelt Multiplikation in Addition, und deshalb findest du ihn in jedem Verlust, der auf Wahrscheinlichkeit beruht.
• Sigmoid und tanh „quetschen“ jede beliebige Zahl in das Intervall (0, 1) beziehungsweise (−1, 1).
• ReLU lässt positive Zahlen durch und setzt negative auf null. Sie ist so einfach, dass man lange nicht glaubte, dass sie funktionieren würde — heute ist sie die meistverwendete Aktivierungsfunktion.

3. Injektiv, surjektiv und bijektiv

Definition — injektive, surjektive und bijektive Funktion

f : X → Y ist injektiv (eineindeutig), wenn verschiedene Eingaben verschiedene Ausgaben liefern: ∀x₁, x₂ : f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.

f ist surjektiv (Abbildung „auf“), wenn sie jedes Element von Y trifft: ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f(x) = y, also f(X) = Y.

f ist bijektiv (umkehrbar eindeutig), wenn sie injektiv und surjektiv ist.

injektiv injektiv: ja surjektiv: nein

surjektiv injektiv: nein surjektiv: ja

bijektiv injektiv: ja surjektiv: ja

weder noch injektiv: nein surjektiv: nein

In der KI ist fast jedes Modell nicht injektiv: Ein Klassifikator schickt Tausende verschiedener Katzenfotos in eine einzige Klasse „Katze“. Die Information, welches Foto es war, geht dabei verloren — und das ist in Ordnung, genau das wollen wir von einem Klassifikator. Kompressionsmodelle (Autoencoder) dagegen versuchen, „fast injektiv“ zu sein, damit sich die Eingabe aus der komprimierten Form wieder rekonstruieren lässt.

4. Verkettung von Funktionen

Definition — verkettete Funktion

Für f : X → Y und g : Y → Z ist die verkettete Funktion g ∘ f : X → Z definiert als (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Die Verkettung ist assoziativ, h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, aber im Allgemeinen nicht kommutativ: g ∘ f ≠ f ∘ g.

Nehmen wir f(x) = 2x + 1 und g(x) = x²:

Genau so ist ein neuronales Netz aufgebaut. Jede Schicht ist eine Funktion — ein linearer Schritt, gefolgt von einer Aktivierungsfunktion — und das ganze Netz ist ihre Verkettung: f = f₃ ∘ f₂ ∘ f₁. Ein „tiefes“ Netz ist einfach eine lange Verkettung. Und wenn wir in späteren Teilen das Ableiten lernen, sagt uns die Kettenregel, wie man genau verkettete Funktionen ableitet.

5. Umkehrfunktion

Definition — Umkehrfunktion

Eine Funktion f⁻¹ : Y → X ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) von f : X → Y, wenn f⁻¹(f(x)) = x für alle x ∈ X und f(f⁻¹(y)) = y für alle y ∈ Y gilt.

Satz. Eine Umkehrfunktion existiert genau dann, wenn f bijektiv ist.

Exponentialfunktion und Logarithmus sind ein Paar von Umkehrfunktionen: ln(e^x) = x. Die Umkehrfunktion der Sigmoidfunktion ist der Logit, logit(p) = ln(p / (1 − p)) — er macht aus einer Wahrscheinlichkeit wieder eine beliebige reelle Zahl. Deshalb nennt man die Ausgaben eines Netzes vor der Sigmoidfunktion oder dem Softmax „Logits“.

6. Funktionen mehrerer Variablen

Definition — Funktion mehrerer Variablen

Eine Funktion f : ℝⁿ → ℝ ordnet einem Vektor (x₁, …, x_n) eine Zahl zu; eine Funktion f : ℝⁿ → ℝ^m ordnet einem Vektor einen Vektor zu (vektorwertige Funktion).

Eine Funktion zweier Variablen können wir als Karte zeichnen: Jeden Punkt (x, y) färben wir nach dem Wert f(x, y) ein. Hier ist die Himmelblau-Funktion, ein klassischer Test für Optimierungsalgorithmen. Die dunklen Stellen sind Täler mit kleinem Wert, die weißen Punkte sind die vier Minima, in denen die Funktion gleich null ist:

Genau so kannst du dir die Verlustfunktion eines Modells vorstellen: Ihre Eingabe sind seine Parameter, ihre Ausgabe der Fehler. Training ist die Suche nach der tiefsten Stelle der Landschaft — nur hat die Landschaft eines echten Modells statt zwei Dimensionen Millionen.

7. Monotonie und Konvexität

Definition — wachsende und konvexe Funktion

f ist (streng) monoton wachsend, wenn x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). Eine wachsende Funktion ist immer injektiv.

f ist konvex, wenn für alle x₁, x₂ und t ∈ [0, 1] gilt: f(tx₁ + (1 − t)x₂) ≤ t f(x₁) + (1 − t) f(x₂).

Satz. Jedes lokale Minimum einer konvexen Funktion ist zugleich ein globales.

konvex: x², ein einziges Minimum

nicht konvex: x⁴ − 3x² + x

Die nicht konvexe Funktion x⁴ − 3x² + x hat zwei Minima: ein globales bei x ≈ −1,30 mit dem Wert ≈ −3,51 und ein lokales bei x ≈ 1,13 mit dem Wert ≈ −1,07. Wer rechts zu suchen beginnt und immer abwärts geht, landet im schlechteren. Die Verlustfunktionen der linearen und der logistischen Regression sind konvex — deshalb findet ihr Training zuverlässig die beste Lösung. Die Verluste neuronaler Netze sind nicht konvex, und wie man damit lebt, darum geht es im Teil über den Gradientenabstieg.

8. Funktionen in der künstlichen Intelligenz

Jetzt lässt sich das ganze maschinelle Lernen in der Sprache der Funktionen sagen:

• Ein Modell ist eine Funktion f_θ : X → Y mit Parametern θ — eine ganze Familie von Funktionen, eine für jede Wahl der Parameter.
• Eine Verlustfunktion L : Y × Y → ℝ sagt, wie viel die Antwort ŷ kostet, wenn y richtig ist.
• Lernen ist die Auswahl einer Funktion aus der Familie: das argmin über θ des durchschnittlichen Verlusts — einer Funktion der Parameter, die wir gerade als Landschaft gezeichnet haben.
• Aktivierungsfunktionen (Sigmoid, tanh, ReLU) machen aus linearen Schichten ein nichtlineares Netz; ohne sie wäre eine Verkettung linearer Funktionen wieder nur eine lineare Funktion.

9. Zusammenfassung

• Eine Funktion ordnet jeder Eingabe genau eine Ausgabe zu; das Bild ist das, was sie tatsächlich trifft.
• Eine injektive Funktion verwechselt keine zwei Eingaben, eine surjektive deckt das ganze Ziel ab, eine bijektive hat eine Umkehrfunktion.
• Die Verkettung von Funktionen ist ein Fließband — und ein neuronales Netz ist eine Verkettung von Schichten.
• Eine Verlustfunktion ist eine Landschaft über dem Parameterraum; eine konvexe Landschaft hat einen einzigen Boden, eine nicht konvexe kann mehrere haben.

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