Optymalizacja rojem cząstek: bezwładność, własne doświadczenie i doświadczenie roju

Boidy i stada, algorytm PSO, trzy składowe prędkości, przebieg na funkcji Rastrigina w porównaniu ze strategią ewolucyjną, rola bezwładności, stabilność cząstki, topologia roju i twierdzenie o braku darmowych obiadów.

13 minut Matěj Žalmánek 2026-10-15

Seria Podstawy AI Część 30 z 52

1. Mapa sztucznej inteligencji: co jest czym i jak to do siebie pasuje
2. Krótka historia sztucznej inteligencji: od Turinga do modeli językowych
3. Dane, model, trening, inferencja: podstawowe pojęcia na jednym przykładzie
4. Jak czytać zapis matematyczny: symbole, indeksy, sumy i kwantyfikatory
5. Zbiory i relacje: klocki, z których składają się definicje w AI
6. Funkcje i odwzorowania: dlaczego każdy model AI jest funkcją
7. Logika i dowody: reguły, według których rozumuje AI
8. Grafy i drzewa: struktura, na której opierają się przeszukiwanie i sieci neuronowe
9. Algebra liniowa dla uczenia maszynowego: wektory, macierze i dlaczego AI głównie mnoży
10. Pochodne, gradient i reguła łańcuchowa: jak model ustala, w którą stronę się uczyć
11. Spadek gradientu: jak uczy się model
12. Czym jest prawdopodobieństwo: od rzutu kostką do aksjomatów Kołmogorowa
13. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa: jak zmienić ocenę, gdy dowiesz się czegoś nowego
14. Zmienna losowa i dystrybuanta: jedna funkcja, która mówi o rozkładzie wszystko
15. Funkcja gęstości i funkcja prawdopodobieństwa: dlaczego zmienna ciągła ma w punkcie prawdopodobieństwo zero
16. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja: gdzie leży rozkład, jak jest szeroki i co z czym się wiąże
17. Przegląd rozkładów prawdopodobieństwa: Bernoulliego, dwumianowy, Poissona, jednostajny, normalny i wykładniczy
18. Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne: dlaczego średnie zachowują się tak przewidywalnie
19. Statystyka i estymacja parametrów: największa wiarygodność, MAP i przedziały ufności
20. Teoria informacji: entropia, entropia krzyżowa i dywergencja KL — skąd się biorą funkcje straty
21. Przeszukiwanie przestrzeni stanów: BFS, DFS, UCS i A* z animacjami
22. Gry i przeciwnik: minimax, przycinanie alfa-beta i Monte Carlo tree search
23. Spełnianie ograniczeń: backtracking, propagacja ograniczeń i AC-3 na sudoku i mapie czeskich krajów
24. Logika i systemy z bazą wiedzy: wnioskowanie w przód i wstecz, rezolucja i systemy ekspertowe
25. Planowanie: STRIPS, świat klocków, heurystyki z relaksacji i planowanie w agentach AI
26. Przeszukiwanie lokalne i symulowane wyżarzanie: komiwojażer przez czeskie miasta wojewódzkie
27. Algorytmy genetyczne: populacja, krzyżowanie, mutacja i selekcja na plecaku na wycieczkę
28. Strategie ewolucyjne i programowanie genetyczne: od reguły jednej piątej do prawa Keplera
29. Optymalizacja kolonią mrówek: jak ślad feromonowy znajduje krótką drogę
30. Optymalizacja rojem cząstek: bezwładność, własne doświadczenie i doświadczenie roju
31. Neuroewolucja: ewolucja wag i kształtu sieci neuronowych oraz algorytm NEAT
32. Zbiory rozmyte i funkcje przynależności: jak zapisać „trochę ciepło”
33. Logika rozmyta a prawdopodobieństwo: dlaczego „trochę ciepło” nie znaczy „prawdopodobnie ciepło”
34. Logika rozmyta: t-normy, implikacje i reguły JEŻELI–TO
35. Sterowanie rozmyte: Mamdani i Sugeno od wentylatora po wahadło na wózku
36. Klasteryzacja rozmyta: algorytm fuzzy c-means i punkty między skupieniami
37. Systemy neuro-rozmyte (ANFIS): reguły rozmyte, które uczą się z danych
38. Łańcuchy Markowa: macierz przejścia, rozkład stacjonarny i PageRank
39. Ukryte modele Markowa: algorytm Viterbiego i nieuczciwe kasyno
40. Sieci bayesowskie: dlaczego trawa jest mokra i co z tego wynika dla zraszacza
41. Filtr Kalmana: jak z niedokładnych pomiarów oszacować, gdzie jest samochód i jak szybko jedzie
42. Rodzaje uczenia maszynowego: nadzorowane, nienadzorowane, półnadzorowane i inne
43. Prompty, kontekst i RAG: jak dać modelowi właściwe informacje
44. Wariacyjne autoenkodery (VAE): nowe obrazki z ciągłej przestrzeni latentnej
45. Generatywne sieci przeciwstawne (GAN): fałszerz kontra detektyw
46. Modele dyfuzyjne: jak z czystego szumu powstaje obraz
47. Procesy decyzyjne Markowa: stany, akcje, nagrody i równania Bellmana
48. Q-learning i DQN: uczenie się wartości akcji od tabeli po sieć neuronową
49. Policy gradient i PPO: uczenie się bezpośrednio polityki
50. Jak działa agent AI: model językowy w pętli z narzędziami
51. Programowanie z agentami AI: zadanie, testy i kontrola
52. Ocena i bezpieczeństwo systemów AI: jak mierzyć i jak pilnować

Pełny program serii Gotowe: 52 z 83 tematów

Stado szpaków nad wieczornym miastem przelewa się jak jedno żywe stworzenie — a przecież nie ma przywódcy. Każdy ptak obserwuje tylko kilku najbliższych sąsiadów. W 1995 roku psycholog społeczny James Kennedy i inżynier elektryk Russell Eberhart zadali sobie pytanie: co by było, gdyby ptaki oprócz położenia sąsiadów przekazywały sobie również to, gdzie znalazły najwięcej pożywienia? Z ich symulacji wyłonił się jeden z najprostszych i najczęściej używanych algorytmów optymalizacyjnych w ogóle — optymalizacja rojem cząstek (particle swarm optimization, PSO).

Nawiązuje do części Strategie ewolucyjne i programowanie genetyczne oraz Optymalizacja kolonią mrówek. Wypuścimy rój na tę samą funkcję Rastrigina co strategię ewolucyjną, z tym samym startem i budżetem.

1. Stada w przyrodzie i w komputerze

Już w 1987 roku Craig Reynolds pokazał, że do wiarygodnego ruchu stada wystarczą trzy lokalne reguły. Jego „boidy” unikają zderzeń z najbliższymi sąsiadami, wyrównują z nimi kierunek lotu i trzymają się środka grupy. Nikt nie steruje całością; kształt stada wyłania się z lokalnych reguł. Kennedy z Eberhartem dodali czwartą rzecz — pamięć dobrych miejsc — i z animacji powstał optymalizator.

Definicja — trzy reguły boidów (w uproszczeniu)

Reynolds opisał reguły słownie; dziś zapisuje się je zwykle tak. Boid i ma położenie x_i, prędkość v_i i sąsiedztwo S_i — boidy bliższe niż zadany promień. Do swojej prędkości dodaje ważoną sumę trzech wektorów:

• separacja −∑_{j ∈ Si} (x_j − x_i) / ‖x_j − x_i‖² — odpychanie, tym silniejsze, im bliżej jest sąsiad;
• wyrównanie v̄_i − v_i, gdzie v̄_i to średnia prędkość sąsiadów;
• spójność x̄_i − x_i, gdzie x̄_i to średnie położenie sąsiadów.

Każdy boid korzysta więc tylko z informacji ze swojego sąsiedztwa. Równania PSO poniżej mają ten sam kształt „prędkość ← prędkość + przyciąganie do celów”, tyle że celami nie są sąsiedzi, lecz najlepsze znalezione miejsca.

2. Algorytm

Definicja — optymalizacja rojem cząstek

Minimalizujemy f : ℝⁿ → ℝ. Rój tworzy N cząstek; cząstka i ma położenie x_i, prędkość v_i i swoje dotychczas najlepsze położenie p_i. Rój zna najlepsze położenie spośród wszystkich, g. W każdej iteracji dla każdej cząstki:

v_i ← w · v_i + c₁ r₁ (p_i − x_i) + c₂ r₂ (g − x_i),

x_i ← x_i + v_i,

gdzie r₁, r₂ to liczby losowe z [0, 1) losowane osobno dla każdej współrzędnej. Jeśli f(x_i) < f(p_i), aktualizuje się p_i, ewentualnie także g.

Typowe wartości (Clerc i Kennedy, 2002): w = 0,7298, c₁ = c₂ = 1,49618.

v_i ← w · v_i + c₁ r₁ (p_i − x_i) + c₂ r₂ (g − x_i)

v_i po lewej

nowa prędkość — o tyle cząstka przesunie się w tym kroku (x_i ← x_i + v_i); rój nie steruje położeniem bezpośrednio, lecz przez prędkość, i dzięki temu ruch jest płynny

w · v_i

bezwładność — część starej prędkości zostaje; w < 1 jednocześnie ją tłumi, aby ruch z czasem się uspokoił

c₁ r₁, c₂ r₂

siła przyciągania — c ustala średnią siłę, losowe r z [0, 1) za każdym razem inaczej ją skraca, więc cząstka nie ląduje dokładnie w celu i po drodze próbuje też miejsc dookoła

p_i − x_i

wektor od cząstki do jej najlepszego miejsca — im dalej, tym mocniej ciągnie ją z powrotem (jak sprężyna)

g − x_i

wektor do najlepszego miejsca roju — jedyny kanał, którym do cząstki dociera cudze doświadczenie

Definicja — ograniczenie prędkości

Po obliczeniu każda współrzędna prędkości zostaje przycięta do przedziału [−v_max, v_max]: v_id ← min(v_max, max(−v_max, v_id)). Nasza implementacja przyjmuje v_max = 5,12, czyli połowę szerokości przeszukiwanego kwadratu [−5,12; 5,12]² — cząstka nie przeleci w jednym kroku więcej niż pół mapy.

Przykład — jeden krok jednej cząstki

Cząstka stoi w x = (4,2; −3,8) z prędkością v = (0,5; 0,4). Jej najlepsze miejsce to p = (4,0; −3,1), najlepsze miejsce roju g = (1,1; −2,0). Wylosowano liczby r₁ = (0,6; 0,3) i r₂ = (0,5; 0,8). Pierwsza współrzędna:

• bezwładność 0,7298 · 0,5 = 0,365,
• poznawcza 1,49618 · 0,6 · (4,0 − 4,2) = −0,180,
• społeczna 1,49618 · 0,5 · (1,1 − 4,2) = −2,319,
• nowa prędkość 0,365 − 0,180 − 2,319 = −2,134, nowe położenie 4,2 − 2,134 = 2,066.

Druga współrzędna tak samo: 0,292 + 0,314 + 2,154 = 2,761, nowe położenie −3,8 + 2,761 = −1,039. Obie składowe prędkości są poniżej v_max, ograniczenie nie działa. Wartość funkcji (Rastrigina, zob. niżej) spadła z 45,90 do 6,51. Składowa społeczna jest tu największa, bo g jest daleko; poznawcza jest mała, bo p leży tuż obok cząstki.

import random

def pso(f, n, castic=40, iteraci=200, w=0.7298, c1=1.49618, c2=1.49618):
    x = [[random.uniform(-5, 5) for _ in range(n)] for _ in range(castic)]
    v = [[0.0] * n for _ in range(castic)]
    p = [xi[:] for xi in x]                              # najlepsze miejsce każdej cząstki
    g = min(p, key=f)[:]                                 # najlepsze miejsce roju
    for _ in range(iteraci):
        for i in range(castic):
            for d in range(n):
                v[i][d] = (w * v[i][d]
                           + c1 * random.random() * (p[i][d] - x[i][d])
                           + c2 * random.random() * (g[d] - x[i][d]))
                x[i][d] += v[i][d]
            if f(x[i]) < f(p[i]):
                p[i] = x[i][:]
                if f(p[i]) < f(g):
                    g = p[i][:]
    return g

Koszt algorytmu mierzy się liczbą ewaluacji f — w prawdziwych zadaniach każda jest droga (symulacja, trening modelu). Każda cząstka jest oceniana na starcie, a potem raz na iterację, łącznie N + N · T = 40 + 40 · 200 = 8 040 dla N = 40 cząstek i T = 200 iteracji. (Pseudokod powyżej wywołuje f dla przejrzystości wielokrotnie; prawdziwa implementacja zapamiętuje wartości f(p_i).)

3. Trzy siły

• Bezwładność w · v — cząstka nie chce gwałtownie zmieniać kierunku. Dzięki niej rój przelatuje nad płytkimi dołkami, zamiast wpadać do każdego.
• Składowa poznawcza c₁ r₁ (p − x) — własne doświadczenie: „tam było mi dobrze”. Utrzymuje różnorodność, bo każda cząstka pamięta coś innego.
• Składowa społeczna c₂ r₂ (g − x) — doświadczenie roju: „tam jest najlepsze, co ktokolwiek znalazł”. Ściąga rój w jedno miejsce.

W odróżnieniu od algorytmów genetycznych nikt tu nie umiera i nic się nie krzyżuje. Informacja rozchodzi się tylko dzięki temu, że cząstki widzą cudzy sukces. A w odróżnieniu od strategii ewolucyjnych cząstka ma prędkość — pęd, który niesie ją dalej, nawet gdy akurat się nie wiedzie.

4. Rój na funkcji Rastrigina

Funkcja Rastrigina z poprzedniej części: misa z regularną siatką dołków, minimum globalne w początku układu. 40 cząstek startuje wokół punktu (4,2; −3,8), gdzie f ≈ 45,9 — tam, gdzie startowała strategia ewolucyjna:

Definicja — funkcja Rastrigina

Dla x = (x₁, …, x_n) ∈ [−5,12; 5,12]ⁿ

f(x) = 10n + ∑_d=1ⁿ (x_d² − 10 cos(2πx_d)).

Minimum globalne to f(0, …, 0) = 0; minima lokalne leżą w pobliżu każdego punktu o współrzędnych całkowitych, w obrębie kwadratu jest ich w dwóch wymiarach 11 · 11 = 121.

f(x) = 10n + ∑_d (x_d² − 10 cos(2πx_d))

f(x)

wartość, którą rój minimalizuje — testowy krajobraz, którego minimum znamy, więc potrafimy rozpoznać sukces

10n

przesunięcie — w początku układu cosinus wynosi 1 i każda współrzędna daje −10; ten składnik to wyrównuje, aby minimum miało wartość dokładnie 0

∑_d

suma po współrzędnych — każda wnosi wkład niezależnie, więc liczba dołków rośnie z wymiarem wykładniczo (11ⁿ)

x_d²

misa — ogólne nachylenie ku początkowi układu; bez niej wszystkie dołki byłyby jednakowo głębokie i nie byłoby żadnego minimum globalnego

− 10 cos(2πx_d)

falowanie o okresie 1 — wydrąża dołek przy każdej liczbie całkowitej, a amplitudą 10 czyni je dość głębokimi, by metoda lokalna w nich utknęła

Przykład — wartość w punkcie startowym

Dla x = (4,2; −3,8): cos(2π · 4,2) = cos(8,4π) = cos(0,4π) ≈ 0,309 i cos(2π · (−3,8)) = cos(7,6π) = cos(1,6π) ≈ 0,309. Zatem

f = 20 + (17,64 − 3,090) + (14,44 − 3,090) = 20 + 14,550 + 11,350 ≈ 45,9.

Start leży na zboczu dołka przy (4; −4), gdzie f = 20 + (16 − 10) + (16 − 10) = 32; prawdziwe dno jest o włos bliżej początku układu, z wartością około 31,84. Wartość 31,9 po pierwszej iteracji (niżej) oznacza więc, że rój zjechał prawie na dno startowego dołka. Dalej w stronę minimum dostanie się tylko przez grzbiety między dołkami.

Po pierwszej iteracji najlepsze miejsce roju ma wartość 31,9. Potem dzieje się coś, czego strategia ewolucyjna nie robiła: rój się rozlatuje. Rozrzut cząstek rośnie z 0,7 do 1,3 w dziesiątej iteracji — cząstki przestrzeliwują swoje najlepsze miejsca i po drodze odkrywają nowe dołki. W 25. iteracji najlepsze miejsce ma wartość 1,06, jeden dołek obok minimum, a w 50. iteracji rój znajduje minimum globalne. Potem ściąga się wokół niego.

Definicja — rozrzut roju i udany przebieg

Rozrzut roju to pierwiastek ze średniego kwadratu odległości cząstek od ich środka ciężkości x̄ = (1/N) ∑_i x_i:

σ = √( (1/N) ∑_i=1^N ‖x_i − x̄‖² ).

Przebieg znalazł minimum globalne, jeśli na końcu f(g) < 0,01. Najbliższe minima lokalne mają wartość około 1 (dlatego 1,06 w 25. iteracji oznacza „sąsiedni dołek”), więc ten próg wyraźnie je odróżnia.

σ = √( (1/N) ∑_i ‖x_i − x̄‖² )

σ

jedna liczba mówiąca „jak bardzo rój się rozleciał” — w jednostkach współrzędnych, więc można ją porównać z odległością dołków (1)

(1/N) ∑_i

średnia po cząstkach — wynik nie zależy od wielkości roju

‖x_i − x̄‖²

kwadrat odległości od środka ciężkości — mierzymy od środka roju, a nie od minimum, bo interesuje nas kształt roju, a nie to, gdzie jest; kwadrat nadaje większą wagę odległym zwiadowcom, a pierwiastek przywraca potem pierwotne jednostki

Śledzenie tego samego przebiegu po iteracjach:

Przez cztery iteracje najlepsza wartość się nie rusza, a rój w tym czasie ściąga się do startowego dołka (w trzeciej iteracji σ wynosi tylko 0,53); potem bezwładność i przyciąganie do g znów go rozciągają, a najlepsza wartość spada dołek po dołku — 31,9, 25,6, 5,9, 1,06. Minimum zostaje znalezione w 50. iteracji, ale σ wynosi wtedy wciąż 0,96: rój skupia się wokół minimum dopiero później.

Ze stu przebiegów z różnymi ziarnami rój znalazł minimum globalne w 97 — przy budżecie 8 040 ewaluacji. Strategia ewolucyjna (15, 100) z 8 000 ewaluacji tego samego zadania odniosła sukces w 32 przypadkach. Gdy rój zamiast z rogu startuje rozproszony po całym kwadracie, udaje mu się we wszystkich stu.

5. Bezwładność i równowaga sił

Co się stanie, gdy zmienimy tylko bezwładność? Wykres pokazuje, jak daleko od siebie są cząstki (oś pionowa jest logarytmiczna):

Przy w = 0,4 rój zapada się w jeden punkt, zanim zdąży się rozejrzeć — utyka w dołku o wartości 24,9. Przy w = 0,9 pozostaje cały czas rozproszony: minimum znajduje, ale nigdy nie skupia się wokół niego i go nie dopracowuje. Ze stu przebiegów dla każdego ustawienia:

Bez składowej społecznej rój to tylko czterdziestu samotnych wspinaczy, którzy nic o sobie nie wiedzą — żaden nie wydostanie się z rogu. Bez poznawczej wszyscy gonią za jednym przywódcą i przez połowę czasu utykają razem z nim. Dopiero obie składowe razem dają równowagę między eksploracją a eksploatacją, którą spotkaliśmy już przy wyżarzaniu.

6. Dlaczego rój nie szaleje

Prędkość wciąż się sumuje. Dlaczego nie rośnie do nieskończoności? Odpowiedź daje analiza jednej cząstki, gdy na chwilę zapomnimy o losowości.

Twierdzenie — stabilność cząstki

Rozważmy jednowymiarową cząstkę ze stałymi p i g oraz, zamiast c₁r₁, c₂r₂, stałe liczby o sumie φ. Położenie podlega wtedy liniowej rekurencji

x_t+1 = (1 + w − φ) x_t − w x_t−1 + const

a cząstka jest zbieżna (do średniej ważonej p i g) wtedy i tylko wtedy, gdy |w| < 1 i 0 < φ < 2 (1 + w).

Dowód — skąd się biorą rekurencja i warunki

Bez losowości jednowymiarowy krok to v_t+1 = wv_t + φ₁(p − x_t) + φ₂(g − x_t) oraz x_t+1 = x_t + v_t+1. Oznaczmy φ = φ₁ + φ₂ i P = (φ₁p + φ₂g)/φ (średnia ważona obu najlepszych miejsc). Wtedy φ₁(p − x) + φ₂(g − x) = φ(P − x), a po podstawieniu v_t = x_t − x_t−1:

x_t+1 = (1 + w − φ) x_t − w x_t−1 + φP.

Odchylenie e_t = x_t − P spełnia tę samą rekurencję bez stałej, więc e_t = aλ₁^t + bλ₂^t, gdzie λ_1,2 to pierwiastki równania charakterystycznego λ² − (1 + w − φ)λ + w = 0. Cząstka zatrzymuje się w P wtedy i tylko wtedy, gdy |λ₁|, |λ₂| < 1. Dla równania kwadratowego λ² + aλ + b = 0 zachodzi to dokładnie wtedy, gdy |b| < 1 i 1 ± a + b > 0 (kryterium Jury’ego). Tutaj b = w, a = −(1 + w − φ):

• |w| < 1,
• 1 − (1 + w − φ) + w = φ > 0,
• 1 + (1 + w − φ) + w = 2(1 + w) − φ > 0. ∎

x_t+1 = (1 + w − φ) x_t − w x_t−1 + φP

x_t+1

następne położenie — zależy od dwóch poprzednich, bo prędkość jest różnicą dwóch położeń; dlatego cząstka zachowuje się jak drgające ciało, a nie jak kula tocząca się po zboczu

(1 + w − φ) x_t

bieżące położenie przesunięte bezwładnością (+w) i ściągnięte przyciąganiem (−φ) — pojedynek „lecieć dalej” z „wrócić”

− w x_t−1

pamięć poprzedniego kroku — ten składnik wnosi pęd; jego współczynnik w jest iloczynem pierwiastków, dlatego tłumienie wyznacza właśnie bezwładność

φP

kotwica — przyciąganie średniej ważonej p i g; wokół niej cząstka drga i w niej się zatrzymuje

Jak szybko się zatrzyma? Dla typowych φ oba pierwiastki wychodzą zespolone (cząstka drga) i mają tę samą wartość bezwzględną √w, bo ich iloczyn wynosi w. Amplituda odchylenia jest więc w każdej iteracji mnożona przez √w i spada o połowę po ln 2 / (−ln √w) iteracjach. Przy średnim φ = (c₁ + c₂)/2 = 1,49618 (losowe r ma średnią ½):

Dokładnie odpowiada to wykresowi rozrzutu powyżej: przy w = 0,4 rój skupia się w kilka iteracji, przy w = 0,9 drgania wygasają przez dziesiątki iteracji. To uproszczenie — prawdziwe r losuje się w każdym kroku, a p, g się zmieniają — ale rząd wielkości się zgadza. I uwaga: przy w = 0,4 granica 2(1 + w) = 2,8 jest mniejsza niż największe możliwe φ = c₁ + c₂ ≈ 2,99, więc wyjątkowo silne losowe przyciąganie rozkołysze cząstkę na jeden krok (tłumienie 1,280 > 1).

7. Kto kogo słyszy: topologia

Definicja — topologia roju

Topologia to graf, który określa, czyje najlepsze miejsca widzi cząstka. W topologii globalnej (gbest) każda widzi wszystkie, a g jest wspólne. W pierścieniowej (lbest) cząstki leżą w pierścieniu, a cząstka i widzi tylko i − 1, i oraz i + 1; zamiast g używa najlepszego miejsca swojego sąsiedztwa.

Formalnie każda cząstka i ma sąsiedztwo S(i) i w regule prędkości zamiast wspólnego g używa g_i = p_k, gdzie k = arg min_{j ∈ S(i)} f(p_j). Topologia globalna ma S(i) = {1, …, N}, pierścieniowa S(i) = {i − 1, i, i + 1} (indeksy modulo N). Ile iteracji trwa, zanim wiadomość o nowym znalezisku dotrze do wszystkich? W topologii globalnej jedna. W pierścieniu przesuwa się na iterację najwyżej o jednego sąsiada w każdą stronę, a najdalsza cząstka w pierścieniu 40 cząstek jest 20 miejsc dalej — wiadomość dotrze do niej najwcześniej po 20 iteracjach. Tak długo odległe części roju mogą badać na własną rękę.

W naszym dwuwymiarowym zadaniu pierścień znalazł minimum we wszystkich 100 przebiegach, topologia globalna w 97. Różnica jest wyraźniejsza w dziesięciu wymiarach, gdzie dołków jest astronomicznie wiele: po 2 000 iteracji topologia globalna skończyła średnio na wartości 5,84, pierścieniowa na 4,57. Minimum globalnego nie znalazła żadna — dziesięciowymiarowa funkcja Rastrigina jest dla 40 cząstek naprawdę trudna.

8. Uwaga na metafory

Twierdzenie — nie ma darmowych obiadów (Wolpert i Macready, 1997)

Uśrednione po wszystkich możliwych funkcjach celu na zbiorze skończonym wszystkie algorytmy, które nie oceniają tego samego punktu dwa razy, mają taką samą oczekiwaną skuteczność.

Dokładniej: niech X i Y będą zbiorami skończonymi, f : X → Y funkcją celu, a d_m^y ciągiem wartości, które algorytm zobaczy podczas m różnych ewaluacji. Wtedy dla dowolnych dwóch algorytmów a₁, a₂

∑_f P(d_m^y | f, m, a₁) = ∑_f P(d_m^y | f, m, a₂),

gdzie sumuje się po wszystkich |Y|^|X| funkcjach. Każda miara skuteczności, która zależy tylko od zobaczonych wartości (na przykład najlepszej znalezionej), ma więc po wszystkich funkcjach taką samą średnią.

Po sukcesie mrówek i roju posypały się algorytmy „inspirowane naturą”: świetliki, kukułki, nietoperze, szare wilki, harmonia w zespole jazzowym. Kenneth Sörensen zwrócił uwagę w 2015 roku, że wiele z nich to stare pomysły w nowym kostiumie — metafora zastąpiła opis matematyczny i utrudniła porównanie. Dobre pytanie przy każdym nowym algorytmie nie brzmi więc „czym jest inspirowany”, lecz „co robi inaczej niż te znane i po czym to widać”.

9. Roje w praktyce

• Strojenie parametrów. PSO jest popularne tam, gdzie parametrów jest mało, gradientu nie znamy, a jedna ewaluacja to symulacja: nastawy regulatorów, kształt anten, sterowanie sieciami energetycznymi czy hiperparametry modeli uczenia maszynowego.
• Roboty w roju. Na Harvardzie w 2014 roku 1 024 małe roboty Kilobot ułożyły według lokalnych reguł zadane kształty — bez centralnego sterowania, tylko dzięki komunikacji z sąsiadami.
• A co z dronami na pokazach sztucznych ogni? Pokazy świetlne z tysiącami dronów to nie inteligencja roju: każdy dron leci po z góry obliczonej trasie z centralnego planu. Rój w prawdziwym sensie decyduje sam, według sąsiadów.

10. Podsumowanie

• Cząstka w PSO zmienia prędkość według bezwładności, własnego najlepszego miejsca i najlepszego miejsca roju.
• Na funkcji Rastrigina rój znalazł minimum w 97 na 100 przebiegów — strategia ewolucyjna z tym samym startem i budżetem w 32.
• Bezwładność decyduje, jak długo rój bada: przy małej zapada się przedwcześnie, duża nie pozwala mu dopracować wyniku. Bez składowej społecznej i bez poznawczej rój zawodzi.
• Cząstka jest jak tłumiona sprężyna; dla |w| < 1 i 0 < φ < 2(1 + w) się zatrzymuje.
• Topologia pierścieniowa rozprzestrzenia informację wolniej i w trudnych zadaniach bywa odporniejsza; a zgodnie z twierdzeniem o braku darmowych obiadów nie istnieje optymalizator najlepszy do wszystkiego.

Chcesz to wypróbować? Poproś agenta AI, żeby napisał PSO z wizualizacją roju, i daj mu własny krajobraz — na przykład funkcję z dwiema odległymi dolinami — a potem obserwuj, czy rój się podzieli.

Masz inne zdanie? Napisz na support@coden-app.com.