Czym jest prawdopodobieństwo: od rzutu kostką do aksjomatów Kołmogorowa

Doświadczenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zdarzenia i działania na nich, prawdopodobieństwo klasyczne i częstościowe oraz aksjomaty, na których opiera się wszystko dalej — na przykładzie dwóch kostek.

12 minut Matěj Žalmánek 2026-10-15

Seria Podstawy AI Część 12 z 52

1. Mapa sztucznej inteligencji: co jest czym i jak to do siebie pasuje
2. Krótka historia sztucznej inteligencji: od Turinga do modeli językowych
3. Dane, model, trening, inferencja: podstawowe pojęcia na jednym przykładzie
4. Jak czytać zapis matematyczny: symbole, indeksy, sumy i kwantyfikatory
5. Zbiory i relacje: klocki, z których składają się definicje w AI
6. Funkcje i odwzorowania: dlaczego każdy model AI jest funkcją
7. Logika i dowody: reguły, według których rozumuje AI
8. Grafy i drzewa: struktura, na której opierają się przeszukiwanie i sieci neuronowe
9. Algebra liniowa dla uczenia maszynowego: wektory, macierze i dlaczego AI głównie mnoży
10. Pochodne, gradient i reguła łańcuchowa: jak model ustala, w którą stronę się uczyć
11. Spadek gradientu: jak uczy się model
12. Czym jest prawdopodobieństwo: od rzutu kostką do aksjomatów Kołmogorowa
13. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa: jak zmienić ocenę, gdy dowiesz się czegoś nowego
14. Zmienna losowa i dystrybuanta: jedna funkcja, która mówi o rozkładzie wszystko
15. Funkcja gęstości i funkcja prawdopodobieństwa: dlaczego zmienna ciągła ma w punkcie prawdopodobieństwo zero
16. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja: gdzie leży rozkład, jak jest szeroki i co z czym się wiąże
17. Przegląd rozkładów prawdopodobieństwa: Bernoulliego, dwumianowy, Poissona, jednostajny, normalny i wykładniczy
18. Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne: dlaczego średnie zachowują się tak przewidywalnie
19. Statystyka i estymacja parametrów: największa wiarygodność, MAP i przedziały ufności
20. Teoria informacji: entropia, entropia krzyżowa i dywergencja KL — skąd się biorą funkcje straty
21. Przeszukiwanie przestrzeni stanów: BFS, DFS, UCS i A* z animacjami
22. Gry i przeciwnik: minimax, przycinanie alfa-beta i Monte Carlo tree search
23. Spełnianie ograniczeń: backtracking, propagacja ograniczeń i AC-3 na sudoku i mapie czeskich krajów
24. Logika i systemy z bazą wiedzy: wnioskowanie w przód i wstecz, rezolucja i systemy ekspertowe
25. Planowanie: STRIPS, świat klocków, heurystyki z relaksacji i planowanie w agentach AI
26. Przeszukiwanie lokalne i symulowane wyżarzanie: komiwojażer przez czeskie miasta wojewódzkie
27. Algorytmy genetyczne: populacja, krzyżowanie, mutacja i selekcja na plecaku na wycieczkę
28. Strategie ewolucyjne i programowanie genetyczne: od reguły jednej piątej do prawa Keplera
29. Optymalizacja kolonią mrówek: jak ślad feromonowy znajduje krótką drogę
30. Optymalizacja rojem cząstek: bezwładność, własne doświadczenie i doświadczenie roju
31. Neuroewolucja: ewolucja wag i kształtu sieci neuronowych oraz algorytm NEAT
32. Zbiory rozmyte i funkcje przynależności: jak zapisać „trochę ciepło”
33. Logika rozmyta a prawdopodobieństwo: dlaczego „trochę ciepło” nie znaczy „prawdopodobnie ciepło”
34. Logika rozmyta: t-normy, implikacje i reguły JEŻELI–TO
35. Sterowanie rozmyte: Mamdani i Sugeno od wentylatora po wahadło na wózku
36. Klasteryzacja rozmyta: algorytm fuzzy c-means i punkty między skupieniami
37. Systemy neuro-rozmyte (ANFIS): reguły rozmyte, które uczą się z danych
38. Łańcuchy Markowa: macierz przejścia, rozkład stacjonarny i PageRank
39. Ukryte modele Markowa: algorytm Viterbiego i nieuczciwe kasyno
40. Sieci bayesowskie: dlaczego trawa jest mokra i co z tego wynika dla zraszacza
41. Filtr Kalmana: jak z niedokładnych pomiarów oszacować, gdzie jest samochód i jak szybko jedzie
42. Rodzaje uczenia maszynowego: nadzorowane, nienadzorowane, półnadzorowane i inne
43. Prompty, kontekst i RAG: jak dać modelowi właściwe informacje
44. Wariacyjne autoenkodery (VAE): nowe obrazki z ciągłej przestrzeni latentnej
45. Generatywne sieci przeciwstawne (GAN): fałszerz kontra detektyw
46. Modele dyfuzyjne: jak z czystego szumu powstaje obraz
47. Procesy decyzyjne Markowa: stany, akcje, nagrody i równania Bellmana
48. Q-learning i DQN: uczenie się wartości akcji od tabeli po sieć neuronową
49. Policy gradient i PPO: uczenie się bezpośrednio polityki
50. Jak działa agent AI: model językowy w pętli z narzędziami
51. Programowanie z agentami AI: zadanie, testy i kontrola
52. Ocena i bezpieczeństwo systemów AI: jak mierzyć i jak pilnować

Pełny program serii Gotowe: 52 z 83 tematów

Model językowy nie wybiera następnego słowa, tylko prawdopodobieństwa wszystkich słów. Klasyfikator nie mówi „to jest kot”, ale „z prawdopodobieństwem 0,93 to jest kot”. Całe uczenie maszynowe opiera się na liczeniu z niepewnością — a prawdopodobieństwo jest językiem, w którym mówi się o niepewności precyzyjnie.

W szkole prawdopodobieństwo definiuje się zwykle jako „liczbę przypadków sprzyjających podzieloną przez liczbę wszystkich”. To dobry początek, ale nie wystarczy. W tej części przejdziemy od doświadczenia losowego przez zdarzenia aż do precyzyjnej definicji, na której opiera się wszystko dalej. Wszystkie przykłady dotyczą dwóch kostek. Przyda ci się znajomość części o zbiorach — zdarzenia są bowiem zbiorami.

1. Doświadczenie losowe i przestrzeń zdarzeń elementarnych

Definicja — doświadczenie losowe

Doświadczenie losowe to proces, którego wyniku nie znamy z góry, ale wiemy, jakie wyniki może dać, i który da się (przynajmniej w myślach) powtarzać dowolnie wiele razy w tych samych warunkach.

Definicja — przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego. Jej elementy ω ∈ Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

2. Zdarzenia

Definicja — zdarzenie

Zdarzenie to podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych, A ⊆ Ω. Mówimy, że zdarzenie A zaszło, gdy wynik doświadczenia jest elementem A.

Definicja — zdarzenie pewne i niemożliwe

Zdarzenie pewne to cała przestrzeń Ω — zachodzi zawsze. Zdarzenie niemożliwe to zbiór pusty ∅ — nie zachodzi nigdy.

Siatka pokazuje wszystkie 36 wyników dwóch kostek; wiersz to pierwsza kostka, kolumna druga, a liczba w polu to suma oczek. Zaznaczone są dwa zdarzenia: A = „suma oczek wynosi 7” i B = „przynajmniej na jednej kostce wypadła szóstka”:

Zdarzenie A ma 6 wyników, zdarzenie B 11. Dwa wyniki, (1, 6) i (6, 1), należą do obu — na siatce są fioletowe.

3. Działania na zdarzeniach

Ponieważ zdarzenia są zbiorami, łączy się je tymi samymi działaniami co zbiory. Każde działanie ma jednak także naturalne znaczenie w słowach:

Definicja — suma zdarzeń

Suma A ∪ B to zdarzenie „zachodzi A lub B (albo oba)”.

Definicja — iloczyn zdarzeń

Iloczyn A ∩ B to zdarzenie „zachodzą A i B jednocześnie”.

Definicja — zdarzenie przeciwne

Zdarzenie przeciwne A^c = Ω ∖ A to zdarzenie „A nie zachodzi”.

Definicja — zdarzenia rozłączne

Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczające się), gdy nie mogą zajść jednocześnie: A ∩ B = ∅.

4. Prawdopodobieństwo klasyczne

Definicja — prawdopodobieństwo klasyczne (Laplace)

Jeśli Ω jest skończony i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to P(A) = |A| / |Ω|.

Haczyk tkwi w słowach „jednakowo prawdopodobne”. Przy dwóch kostkach sumy nie są jednakowo prawdopodobne — suma 2 wypada tylko jako (1, 1), suma 7 na sześć sposobów. Dlatego liczymy pary, a nie sumy. A w wielu prawdziwych sytuacjach jednakowo prawdopodobnych wyników w ogóle nie ma: jakie jest prawdopodobieństwo, że jutro będzie padać, albo że e-mail jest spamem? Tam definicja klasyczna nie pomoże.

5. Prawdopodobieństwo jako długoterminowa częstość

Definicja — częstość względna

Jeśli powtarzamy doświadczenie n razy, a zdarzenie A zachodzi n_A razy, to jego częstość względna wynosi n_A / n.

Przy małej liczbie prób częstość względna skacze w tę i z powrotem. Gdy jednak prób przybywa, stabilizuje się. Oto cztery niezależne symulacje rzutów monetą:

Pierwsza symulacja miała po 10 rzutach 70 % orłów, po 100 rzutach 40 %, po 1000 rzutach 49,4 % i po 10 000 rzutach 49,92 %. Prawdopodobieństwo można rozumieć jako liczbę, do której zbliża się częstość względna — dokładnie to sformułuje później prawo wielkich liczb. Tak szacuje się prawdopodobieństwa z prawdziwych danych: ile e-maili z danym słowem było spamem, ile razy po słowie „dzień” nastąpiło „dobry”.

6. Aksjomaty Kołmogorowa

Definicja klasyczna potrzebuje jednakowo prawdopodobnych wyników, częstościowa nieskończenie wielu prób. Andriej Kołmogorow w 1933 roku zdefiniował prawdopodobieństwo inaczej: nie mówi, jak je obliczyć, tylko jakie reguły musi spełniać. Każde z wcześniejszych ujęć jest wtedy tylko jednym ze sposobów spełnienia tych reguł.

Definicja — prawdopodobieństwo (aksjomaty Kołmogorowa)

Prawdopodobieństwo to funkcja P, która każdemu zdarzeniu A przypisuje liczbę P(A) i spełnia trzy aksjomaty:

• nieujemność: P(A) ≥ 0 dla każdego zdarzenia A,
• unormowanie: P(Ω) = 1,
• addytywność: dla parami rozłącznych zdarzeń A₁, A₂, … zachodzi P(A₁ ∪ A₂ ∪ …) = P(A₁) + P(A₂) + …

7. Reguły wynikające z aksjomatów

Twierdzenie — prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

P(A^c) = 1 − P(A). W szczególności P(∅) = 0 oraz 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Twierdzenie — prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Dla dowolnych zdarzeń A, B zachodzi P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

8. Prawdopodobieństwo w sztucznej inteligencji

• Klasyfikatory zwracają prawdopodobieństwa klas; softmax z części o klasyfikacji zapewnia, że są nieujemne i sumują się do 1 — dokładnie zgodnie z aksjomatami.
• Modele językowe to rozkłady prawdopodobieństwa nad następnym słowem. Pisząc tekst, losują z nich.
• Szacowanie z danych to częstość względna: model uczy się prawdopodobieństw, które „wyszły” w danych treningowych.
• Niepewność — dobry model wie, kiedy nie jest pewny. Prawdopodobieństwa 0,51 i 0,99 dają tę samą klasę, ale zupełnie inny poziom zaufania.

Następna część pokaże, jak zmienić prawdopodobieństwo, gdy dowiemy się czegoś nowego — prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa.

9. Podsumowanie

• Doświadczenie losowe ma przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω; zdarzenie to podzbiór Ω.
• Zdarzenia łączy się jak zbiory: suma to „lub”, iloczyn „i jednocześnie”, zdarzenie przeciwne „nie”.
• Prawdopodobieństwo klasyczne to sprzyjające podzielone przez możliwe — tylko dla jednakowo prawdopodobnych wyników.
• Częstość względna stabilizuje się wraz z liczbą prób; prawdopodobieństwo to liczba, do której się zbliża.
• Aksjomaty Kołmogorowa: nieujemność, P(Ω) = 1 i dodawanie dla zdarzeń rozłącznych. Wynikają z nich reguła dla zdarzenia przeciwnego i wzór na sumę zdarzeń.

Masz inne zdanie? Napisz na support@coden-app.com.