Zmienna losowa i dystrybuanta: jedna funkcja, która mówi o rozkładzie wszystko

Czym jest zmienna losowa, rozkład i dystrybuanta, czym różnią się zmienne dyskretne od ciągłych i jak oszacować dystrybuantę z danych.

12 minut Matěj Žalmánek 2026-10-15

Seria Podstawy AI Część 14 z 52

1. Mapa sztucznej inteligencji: co jest czym i jak to do siebie pasuje
2. Krótka historia sztucznej inteligencji: od Turinga do modeli językowych
3. Dane, model, trening, inferencja: podstawowe pojęcia na jednym przykładzie
4. Jak czytać zapis matematyczny: symbole, indeksy, sumy i kwantyfikatory
5. Zbiory i relacje: klocki, z których składają się definicje w AI
6. Funkcje i odwzorowania: dlaczego każdy model AI jest funkcją
7. Logika i dowody: reguły, według których rozumuje AI
8. Grafy i drzewa: struktura, na której opierają się przeszukiwanie i sieci neuronowe
9. Algebra liniowa dla uczenia maszynowego: wektory, macierze i dlaczego AI głównie mnoży
10. Pochodne, gradient i reguła łańcuchowa: jak model ustala, w którą stronę się uczyć
11. Spadek gradientu: jak uczy się model
12. Czym jest prawdopodobieństwo: od rzutu kostką do aksjomatów Kołmogorowa
13. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa: jak zmienić ocenę, gdy dowiesz się czegoś nowego
14. Zmienna losowa i dystrybuanta: jedna funkcja, która mówi o rozkładzie wszystko
15. Funkcja gęstości i funkcja prawdopodobieństwa: dlaczego zmienna ciągła ma w punkcie prawdopodobieństwo zero
16. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja: gdzie leży rozkład, jak jest szeroki i co z czym się wiąże
17. Przegląd rozkładów prawdopodobieństwa: Bernoulliego, dwumianowy, Poissona, jednostajny, normalny i wykładniczy
18. Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne: dlaczego średnie zachowują się tak przewidywalnie
19. Statystyka i estymacja parametrów: największa wiarygodność, MAP i przedziały ufności
20. Teoria informacji: entropia, entropia krzyżowa i dywergencja KL — skąd się biorą funkcje straty
21. Przeszukiwanie przestrzeni stanów: BFS, DFS, UCS i A* z animacjami
22. Gry i przeciwnik: minimax, przycinanie alfa-beta i Monte Carlo tree search
23. Spełnianie ograniczeń: backtracking, propagacja ograniczeń i AC-3 na sudoku i mapie czeskich krajów
24. Logika i systemy z bazą wiedzy: wnioskowanie w przód i wstecz, rezolucja i systemy ekspertowe
25. Planowanie: STRIPS, świat klocków, heurystyki z relaksacji i planowanie w agentach AI
26. Przeszukiwanie lokalne i symulowane wyżarzanie: komiwojażer przez czeskie miasta wojewódzkie
27. Algorytmy genetyczne: populacja, krzyżowanie, mutacja i selekcja na plecaku na wycieczkę
28. Strategie ewolucyjne i programowanie genetyczne: od reguły jednej piątej do prawa Keplera
29. Optymalizacja kolonią mrówek: jak ślad feromonowy znajduje krótką drogę
30. Optymalizacja rojem cząstek: bezwładność, własne doświadczenie i doświadczenie roju
31. Neuroewolucja: ewolucja wag i kształtu sieci neuronowych oraz algorytm NEAT
32. Zbiory rozmyte i funkcje przynależności: jak zapisać „trochę ciepło”
33. Logika rozmyta a prawdopodobieństwo: dlaczego „trochę ciepło” nie znaczy „prawdopodobnie ciepło”
34. Logika rozmyta: t-normy, implikacje i reguły JEŻELI–TO
35. Sterowanie rozmyte: Mamdani i Sugeno od wentylatora po wahadło na wózku
36. Klasteryzacja rozmyta: algorytm fuzzy c-means i punkty między skupieniami
37. Systemy neuro-rozmyte (ANFIS): reguły rozmyte, które uczą się z danych
38. Łańcuchy Markowa: macierz przejścia, rozkład stacjonarny i PageRank
39. Ukryte modele Markowa: algorytm Viterbiego i nieuczciwe kasyno
40. Sieci bayesowskie: dlaczego trawa jest mokra i co z tego wynika dla zraszacza
41. Filtr Kalmana: jak z niedokładnych pomiarów oszacować, gdzie jest samochód i jak szybko jedzie
42. Rodzaje uczenia maszynowego: nadzorowane, nienadzorowane, półnadzorowane i inne
43. Prompty, kontekst i RAG: jak dać modelowi właściwe informacje
44. Wariacyjne autoenkodery (VAE): nowe obrazki z ciągłej przestrzeni latentnej
45. Generatywne sieci przeciwstawne (GAN): fałszerz kontra detektyw
46. Modele dyfuzyjne: jak z czystego szumu powstaje obraz
47. Procesy decyzyjne Markowa: stany, akcje, nagrody i równania Bellmana
48. Q-learning i DQN: uczenie się wartości akcji od tabeli po sieć neuronową
49. Policy gradient i PPO: uczenie się bezpośrednio polityki
50. Jak działa agent AI: model językowy w pętli z narzędziami
51. Programowanie z agentami AI: zadanie, testy i kontrola
52. Ocena i bezpieczeństwo systemów AI: jak mierzyć i jak pilnować

Pełny program serii Gotowe: 52 z 83 tematów

W części Czym jest prawdopodobieństwo pracowaliśmy ze zdarzeniami: „suma oczek wynosi 7”, „wypadła szóstka”. Zwykle jednak nie interesuje nas, czy coś zaszło, ale ile: ile minut poczekamy na autobus, ile będzie kosztować akcja, jaką temperaturę pokaże termometr. Do tego matematyka ma zmienną losową — i funkcję, która mówi o niej absolutnie wszystko.

1. Zmienna losowa

Definicja — zmienna losowa

Niech (Ω, 𝓕, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienna losowa to funkcja X : Ω → ℝ taka, że dla każdego x ∈ ℝ zbiór {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} jest zdarzeniem, tzn. należy do 𝓕.

Na jednym doświadczeniu może być określonych kilka zmiennych. Rzut dwiema kostkami ma 36 wyników; S(ω) to suma oczek na obu kostkach, N(ω) liczba szóstek. Wynikowi (3, 6) S przypisuje liczbę 9, a N liczbę 1. Rysunek pokazuje S jako funkcję: każde pole po lewej niesie swoją wartość, a słupek po prawej pokazuje, ile pól przypada na tę wartość.

2. Rozkład zmiennej losowej

Definicja — rozkład zmiennej losowej

Rozkład zmiennej losowej X to prawdopodobieństwo na ℝ, które zbiorowi wartości B przypisuje P_X(B) = P(X ∈ B) = P({ω : X(ω) ∈ B}).

Gdy znamy rozkład, pierwotne wyniki ω przestają mieć znaczenie. Dwie zupełnie różne gry mogą mieć zmienne o tym samym rozkładzie — i w obliczeniach są wtedy nie do odróżnienia.

3. Dystrybuanta

Definicja — dystrybuanta

Dystrybuanta zmiennej losowej X to funkcja F_X : ℝ → [0, 1],

F_X(x) = P(X ≤ x).

Dla sumy oczek dystrybuanta jest schodkami. Między wartościami nic się nie zmienia — F(7,5) to nadal 21/36, bo suma 7,5 nie może wypaść. W każdej możliwej wartości funkcja podskakuje dokładnie o prawdopodobieństwo tej wartości: przy siódemce o 6/36. Pełny punkt pokazuje, ile funkcja w miejscu skoku wynosi; puste kółko — do czego zbliżała się z lewej strony.

Twierdzenie — dystrybuanta wyznacza rozkład

Dwie zmienne losowe mają ten sam rozkład wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą dystrybuantę.

4. Własności dystrybuanty

Twierdzenie — własności dystrybuanty

Każda dystrybuanta F

1. jest niemalejąca: x ≤ y ⇒ F(x) ≤ F(y);
2. ma granice lim_x→−∞ F(x) = 0 i lim_x→+∞ F(x) = 1;
3. jest prawostronnie ciągła: lim_y→x⁺ F(y) = F(x).

I odwrotnie: każda funkcja o tych trzech własnościach jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.

Twierdzenie — prawdopodobieństwo przedziału

Dla a < b zachodzi P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

5. Zmienne dyskretne i ciągłe

Definicja — dyskretna zmienna losowa

Zmienna losowa X jest dyskretna, gdy istnieje skończony lub przeliczalny zbiór wartości {x₁, x₂, …} taki, że ∑_i P(X = x_i) = 1.

Definicja — ciągła zmienna losowa

Zmienna losowa X jest ciągła, gdy jej dystrybuanta F_X jest ciągła. Wtedy P(X = x) = 0 dla każdego x ∈ ℝ.

Przykład: autobus jeździ co 10 minut, a ty przychodzisz na przystanek w losowej chwili. Czas oczekiwania X jest ciągły i jednakowo prawdopodobny w dowolnym miejscu między 0 a 10 minutami, więc F(x) = x/10 dla 0 ≤ x ≤ 10. To, że poczekasz co najwyżej 3 minuty, ma prawdopodobieństwo F(3) = 0,3; że poczekasz od 3 do 5 minut — F(5) − F(3) = 0,2. Ale to, że poczekasz dokładnie 3 minuty — ani o miliardową część sekundy dłużej — ma prawdopodobieństwo 0. Jak z tym liczyć i co pokazuje funkcja gęstości, to temat następnej części.

6. Dystrybuanta empiryczna

Definicja — dystrybuanta empiryczna

Dla zmierzonych wartości x₁, …, x_n dystrybuanta empiryczna to

F̂_n(x) = (liczba takich i, że x_i ≤ x) / n.

Zasymulowaliśmy 10, 100 i 1 000 oczekiwań na autobus. Przerywana prosta to prawdziwa dystrybuanta x/10, kolorowe schodki to dystrybuanty empiryczne z danych:

Przy dziesięciu pomiarach oszacowanie różni się od rzeczywistości nawet o 0,268, przy stu o 0,085, a przy tysiącu już tylko o 0,025. To, że wraz z przybywaniem danych dystrybuanta empiryczna przylega do prawdziwej, mówi twierdzenie Glivenki–Cantellego — matematyczna gwarancja, że rozkładu da się nauczyć z danych.

7. Zmienne losowe w sztucznej inteligencji

• Dane to zmienne losowe. Wiek klienta, cena mieszkania, jasność piksela — model uczenia maszynowego zakłada, że dane treningowe są wartościami zmiennych losowych o jakimś nieznanym rozkładzie, i próbuje ten rozkład (lub jego część) z nich oszacować.
• Generowanie liczb losowych z dowolnego rozkładu. Komputer potrafi przede wszystkim wylosować liczbę U z rozkładu jednostajnego między 0 a 1. Bierzemy najmniejsze x, dla którego F(x) ≥ U, i dostajemy wartość o rozkładzie F. Dla U = 0,6 i sumy oczek: F(7) ≈ 0,583 to jeszcze za mało, F(8) = 26/36 ≈ 0,722 już wystarcza — wypada 8. Tak samo model językowy wybiera kolejne słowo.
• Kwantyle i mediana. Mediana to wartość, w której F po raz pierwszy osiąga 0,5: dla sumy oczek jest to 7. Gdy o serwerze pisze się „95 % żądań otrzymuje odpowiedź w ciągu 200 ms”, oznacza to F(200 ms) ≥ 0,95.
• Modele generatywne (modele dyfuzyjne, VAE) zaczynają od losowego szumu — wektora zmiennych losowych o znanym rozkładzie — i uczą się przekształcać go w obraz lub tekst.

8. Podsumowanie

• Zmienna losowa to funkcja, która wynikowi doświadczenia przypisuje liczbę.
• Rozkład mówi, jak prawdopodobieństwo dzieli się między wartości; dystrybuanta F(x) = P(X ≤ x) wyznacza go w całości.
• F jest niemalejąca, biegnie od 0 do 1, jest prawostronnie ciągła i P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).
• Zmienna dyskretna ma schodkową F; ciągła ma F bez skoków, a każda pojedyncza wartość ma prawdopodobieństwo 0.
• Dystrybuanta empiryczna szacuje F z danych i wraz ze wzrostem liczby pomiarów coraz bardziej się do niej zbliża.

Masz inne zdanie? Napisz na support@coden-app.com.