Sieci bayesowskie: dlaczego trawa jest mokra i co z tego wynika dla zraszacza

Rozkład łączny i jego faktoryzacja, sieć bayesowska i tabele prawdopodobieństw warunkowych, wnioskowanie przez wyliczanie, wyjaśnienie przez inną przyczynę, d-separacja i wnioskowanie przybliżone przez próbkowanie — na sieci pochmurno, zraszacz, deszcz, mokra trawa.

13 minut Matěj Žalmánek 2026-10-15

Seria Podstawy AI Część 40 z 52

1. Mapa sztucznej inteligencji: co jest czym i jak to do siebie pasuje
2. Krótka historia sztucznej inteligencji: od Turinga do modeli językowych
3. Dane, model, trening, inferencja: podstawowe pojęcia na jednym przykładzie
4. Jak czytać zapis matematyczny: symbole, indeksy, sumy i kwantyfikatory
5. Zbiory i relacje: klocki, z których składają się definicje w AI
6. Funkcje i odwzorowania: dlaczego każdy model AI jest funkcją
7. Logika i dowody: reguły, według których rozumuje AI
8. Grafy i drzewa: struktura, na której opierają się przeszukiwanie i sieci neuronowe
9. Algebra liniowa dla uczenia maszynowego: wektory, macierze i dlaczego AI głównie mnoży
10. Pochodne, gradient i reguła łańcuchowa: jak model ustala, w którą stronę się uczyć
11. Spadek gradientu: jak uczy się model
12. Czym jest prawdopodobieństwo: od rzutu kostką do aksjomatów Kołmogorowa
13. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa: jak zmienić ocenę, gdy dowiesz się czegoś nowego
14. Zmienna losowa i dystrybuanta: jedna funkcja, która mówi o rozkładzie wszystko
15. Funkcja gęstości i funkcja prawdopodobieństwa: dlaczego zmienna ciągła ma w punkcie prawdopodobieństwo zero
16. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja: gdzie leży rozkład, jak jest szeroki i co z czym się wiąże
17. Przegląd rozkładów prawdopodobieństwa: Bernoulliego, dwumianowy, Poissona, jednostajny, normalny i wykładniczy
18. Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne: dlaczego średnie zachowują się tak przewidywalnie
19. Statystyka i estymacja parametrów: największa wiarygodność, MAP i przedziały ufności
20. Teoria informacji: entropia, entropia krzyżowa i dywergencja KL — skąd się biorą funkcje straty
21. Przeszukiwanie przestrzeni stanów: BFS, DFS, UCS i A* z animacjami
22. Gry i przeciwnik: minimax, przycinanie alfa-beta i Monte Carlo tree search
23. Spełnianie ograniczeń: backtracking, propagacja ograniczeń i AC-3 na sudoku i mapie czeskich krajów
24. Logika i systemy z bazą wiedzy: wnioskowanie w przód i wstecz, rezolucja i systemy ekspertowe
25. Planowanie: STRIPS, świat klocków, heurystyki z relaksacji i planowanie w agentach AI
26. Przeszukiwanie lokalne i symulowane wyżarzanie: komiwojażer przez czeskie miasta wojewódzkie
27. Algorytmy genetyczne: populacja, krzyżowanie, mutacja i selekcja na plecaku na wycieczkę
28. Strategie ewolucyjne i programowanie genetyczne: od reguły jednej piątej do prawa Keplera
29. Optymalizacja kolonią mrówek: jak ślad feromonowy znajduje krótką drogę
30. Optymalizacja rojem cząstek: bezwładność, własne doświadczenie i doświadczenie roju
31. Neuroewolucja: ewolucja wag i kształtu sieci neuronowych oraz algorytm NEAT
32. Zbiory rozmyte i funkcje przynależności: jak zapisać „trochę ciepło”
33. Logika rozmyta a prawdopodobieństwo: dlaczego „trochę ciepło” nie znaczy „prawdopodobnie ciepło”
34. Logika rozmyta: t-normy, implikacje i reguły JEŻELI–TO
35. Sterowanie rozmyte: Mamdani i Sugeno od wentylatora po wahadło na wózku
36. Klasteryzacja rozmyta: algorytm fuzzy c-means i punkty między skupieniami
37. Systemy neuro-rozmyte (ANFIS): reguły rozmyte, które uczą się z danych
38. Łańcuchy Markowa: macierz przejścia, rozkład stacjonarny i PageRank
39. Ukryte modele Markowa: algorytm Viterbiego i nieuczciwe kasyno
40. Sieci bayesowskie: dlaczego trawa jest mokra i co z tego wynika dla zraszacza
41. Filtr Kalmana: jak z niedokładnych pomiarów oszacować, gdzie jest samochód i jak szybko jedzie
42. Rodzaje uczenia maszynowego: nadzorowane, nienadzorowane, półnadzorowane i inne
43. Prompty, kontekst i RAG: jak dać modelowi właściwe informacje
44. Wariacyjne autoenkodery (VAE): nowe obrazki z ciągłej przestrzeni latentnej
45. Generatywne sieci przeciwstawne (GAN): fałszerz kontra detektyw
46. Modele dyfuzyjne: jak z czystego szumu powstaje obraz
47. Procesy decyzyjne Markowa: stany, akcje, nagrody i równania Bellmana
48. Q-learning i DQN: uczenie się wartości akcji od tabeli po sieć neuronową
49. Policy gradient i PPO: uczenie się bezpośrednio polityki
50. Jak działa agent AI: model językowy w pętli z narzędziami
51. Programowanie z agentami AI: zadanie, testy i kontrola
52. Ocena i bezpieczeństwo systemów AI: jak mierzyć i jak pilnować

Pełny program serii Gotowe: 52 z 83 tematów

Rano wychodzisz z domu, a trawa jest mokra. Padało, czy działał zraszacz? A kiedy potem od sąsiada dowiesz się, że w nocy padało — czy to zmieni to, co myślisz o zraszaczu? Człowiek rozumuje tak bez zastanowienia. Maszyna też to potrafi, jeśli wie, co z czym się wiąże. Sieć bayesowska to obraz tych powiązań, z którego da się obliczyć odpowiedź na dowolne pytanie. Judea Pearl otrzymał za nią i za rozwiniętą na niej teorię przyczynowości Nagrodę Turinga w 2011 roku.

Ta część nawiązuje do części Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa oraz Grafy i drzewa.

1. Problem wielkiej tabeli

Pełna informacja o kilku zmiennych losowych to ich rozkład łączny — prawdopodobieństwo każdej kombinacji wartości. Dla czterech zmiennych tak/nie kombinacji jest 16, czyli 15 niezależnych liczb. Dla 37 zmiennych (tyle ma znana sieć medyczna ALARM do monitorowania pacjentów w znieczuleniu) byłoby to ponad 137 miliardów liczb, nawet gdyby wszystkie były tylko tak/nie. Takiej tabeli nikt nie zbuduje, nie przechowa ani nie oszacuje z danych. Ratuje nas to, że większość zmiennych wiąże się ze sobą tylko pośrednio.

Definicja — rozkład łączny i liczba jego parametrów

Rozkład łączny dyskretnych zmiennych X₁, …, X_n to funkcja P(x₁, …, x_n) = P(X₁ = x₁, …, X_n = x_n), która jest nieujemna i po wszystkich kombinacjach wartości sumuje się do 1. Dla n zmiennych tak/nie ma 2ⁿ wartości; ostatnią obliczymy z pozostałych (suma wynosi 1), więc niezależnych parametrów jest 2ⁿ − 1.

Obliczenie. 2⁴ − 1 = 15; 2³⁷ − 1 = 137 438 953 471.

Twierdzenie — reguła łańcuchowa

Dla dowolnych zmiennych i każdej kombinacji wartości o dodatnim prawdopodobieństwie zachodzi

P(x₁, …, x_n) = P(x₁) · P(x₂ | x₁) · P(x₃ | x₁, x₂) ⋯ P(x_n | x₁, …, x_n−1) = ∏_i=1ⁿ P(x_i | x₁, …, x_i−1).

Dowód: z definicji prawdopodobieństwa warunkowego P(x₁, …, x_n) = P(x_n | x₁, …, x_n−1) · P(x₁, …, x_n−1). To samo stosujemy do drugiego czynnika i tak dalej, aż zostanie P(x₁). ∎

Reguła łańcuchowa niczego nie oszczędza: ostatni czynnik nadal zależy od wszystkich poprzednich zmiennych, więc to tylko inny zapis tej samej olbrzymiej tabeli. Oszczędność przyjdzie, gdy niektóre warunki pominiemy.

2. Sieć bayesowska

Definicja — sieć bayesowska

Sieć bayesowska nad zmiennymi X₁, …, X_n to skierowany graf acykliczny, którego wierzchołkami są zmienne, wraz z tabelą prawdopodobieństw warunkowych P(X_i | rodzice(X_i)) dla każdego wierzchołka. Sieć wyznacza rozkład łączny

P(x₁, …, x_n) = ∏_i P(x_i | rodzice(X_i)).

Dlaczego sieć może zapisać tylko P(x_i | rodzice), a nie całą historię jak reguła łańcuchowa? Bo zakłada o grafie warunkowe niezależności.

Definicja — niezależność warunkowa

Zmienne A i C są warunkowo niezależne przy E, piszemy A ⊥ C | E, gdy dla wszystkich wartości a, c, e z P(c, e) > 0 zachodzi

P(a | c, e) = P(a | e)

P(a | c, e)

co wiemy o A, gdy znamy E i dodatkowo C

P(a | e)

co wiemy o A z samego E; równość mówi, że C już nic nie dodaje — cały związek A z C prowadzi przez E

Twierdzenie — faktoryzacja to reguła łańcuchowa plus lokalne niezależności

Uporządkujmy zmienne topologicznie (każdy rodzic przed swoimi dziećmi). Jeśli każda zmienna X_i przy znanych rodzicach jest warunkowo niezależna od wszystkich zmiennych, które nie są jej potomkami (lokalny warunek Markowa), to P(x₁, …, x_n) = ∏_i P(x_i | rodzice(X_i)).

Dowód: w regule łańcuchowej w porządku topologicznym stoi P(x_i | x₁, …, x_i−1). Wśród X₁, …, X_i−1 są wszyscy rodzice X_i i żaden jego potomek (potomek jest w porządku dopiero za nim). Zgodnie z warunkiem Markowa możemy wszystkie pozostałe usunąć z warunku i zostaje P(x_i | rodzice(X_i)). ∎

Zachodzi to też odwrotnie: każdy rozkład dany iloczynem tabel spełnia lokalny warunek Markowa. Dlatego sieć bayesowską można zdefiniować dowolnym z tych dwóch sposobów.

Nasza sieć: gdy jest pochmurno, bardziej prawdopodobny jest deszcz, a mniej prawdopodobne, że ktoś włączy zraszacz. Zarówno deszcz, jak i zraszacz sprawiają, że trawa jest mokra. Liczby pochodzą z popularnego przykładu Kevina Murphy’ego:

Sieć ma 1 + 2 + 2 + 4 = 9 liczb zamiast 15. Przy czterech zmiennych to mała oszczędność, przy setkach olbrzymia: jeśli każdy wierzchołek ma najwyżej k rodziców, liczba liczb rośnie z n liniowo (n · 2^k), a nie wykładniczo (2ⁿ). Prawdopodobieństwo sytuacji „pochmurno, zraszacz nie działał, padało, trawa mokra” wynosi 0,5 · 0,9 · 0,8 · 0,9 = 0,324.

P(z, p, d, t) = P(z) · P(p | z) · P(d | z) · P(t | p, d)

P(z)

pochmurno nie ma rodziców, jego tabela to jedna liczba; w przykładzie 0,5

P(p | z)

zraszacz zależy tylko od chmur — tu nic nie różni się od reguły łańcuchowej; w przykładzie nie działał przy pochmurnym niebie: 1 − 0,1 = 0,9

P(d | z)

reguła łańcuchowa chciałaby P(d | z, p); sieć zakłada, że przy znanym niebie zraszacz nic nie mówi o deszczu, więc p wypada z warunku; w przykładzie 0,8

P(t | p, d)

reguła łańcuchowa chciałaby P(t | z, p, d); trawa „wie” o chmurach tylko przez deszcz i zraszacz, więc wypada z; w przykładzie (zraszacz nie, deszcz tak) 0,9

3. Wnioskowanie: od skutku do przyczyny

Definicja — wnioskowanie przez wyliczanie

Prawdopodobieństwo zapytania Q przy obserwacjach E = e wynosi

P(Q | e) = ∑_y P(Q, e, y) / ∑_{q, y} P(q, e, y),

gdzie sumuje się po wszystkich wartościach y pozostałych (ukrytych) zmiennych, a każdy składnik jest iloczynem z faktoryzacji sieci.

P(Q | e) = ∑_y P(Q, e, y) / ∑_{q, y} P(q, e, y)

e

obserwacje (dowody) — wartości, które zaobserwowaliśmy (u nas mokra trawa); we wszystkich sumowanych światach są ustalone

∑_y

zmiennych ukrytych (u nas pochmurno i zraszacz) nie znamy i nas nie interesują, więc sumujemy wszystkie ich możliwości — marginalizacja; światy wzajemnie się wykluczają, więc prawdopodobieństwa się dodają

P(Q, e, y)

prawdopodobieństwo jednego pełnego świata, w którym zachodzą zapytanie i obserwacje — iloczyn liczb z tabel według faktoryzacji

∑_{q, y} P(q, e, y)

= P(e), waga wszystkich światów zgodnych z obserwacjami; dzielenie to definicja prawdopodobieństwa warunkowego P(Q | e) = P(Q, e) / P(e) i gwarantuje, że P(Q | e) + P(¬Q | e) = 1

Przykład — P(deszcz | mokra trawa) przez wyliczanie

Obserwacja to T = tak, zapytanie D, ukryte są Z i P. Światów z mokrą trawą jest 2³ = 8; każdy to iloczyn P(z) · P(p | z) · P(d | z) · P(t | p, d):

deszcz	pochmurno	zraszacz	iloczyn	P(świat)
tak	tak	tak	0,5 · 0,1 · 0,8 · 0,99	0,0396
tak	nie	tak	0,5 · 0,5 · 0,2 · 0,99	0,0495
tak	tak	nie	0,5 · 0,9 · 0,8 · 0,9	0,3240
tak	nie	nie	0,5 · 0,5 · 0,2 · 0,9	0,0450
nie	tak	tak	0,5 · 0,1 · 0,2 · 0,9	0,0090
nie	nie	tak	0,5 · 0,5 · 0,8 · 0,9	0,1800
nie	tak	nie	0,5 · 0,9 · 0,2 · 0	0,0000
nie	nie	nie	0,5 · 0,5 · 0,8 · 0	0,0000

Pierwsze cztery wiersze (padało) dają P(D, T) = 0,4581, wszystkie osiem P(T) = 0,6471. Ostatnie dwa wiersze są zerowe: bez deszczu i bez zraszacza trawa nie jest mokra. Zatem

P(D | T) = 0,4581 / 0,6471 = 0,708.

def dotaz(Q, dukazy, sit):
    citatel = jmenovatel = 0.0
    for svet in vsechna_prirazeni(sit):              # 2^n pełnych światów
        if any(svet[k] != v for k, v in dukazy.items()):
            continue                                 # niezgodny z obserwacjami
        p = 1.0
        for uzel in sit:                             # faktoryzacja sieci
            p *= P(uzel, svet[uzel], svet[rodice(uzel)])
        jmenovatel += p                              # → P(e)
        if svet[Q]:
            citatel += p                             # → P(Q, e)
    return citatel / jmenovatel

Z góry (bez żadnej obserwacji) prawdopodobieństwo deszczu wynosi 0,5, a zraszacza 0,3. Mokra trawa podnosi oba: P(deszcz | mokra trawa) = 0,708 i P(zraszacz | mokra trawa) = 0,430. Deszcz jest bardziej prawdopodobnym wyjaśnieniem, bo pada częściej, niż działa zraszacz. Mokra trawa podnosi też prawdopodobieństwo, że było pochmurno — z 0,5 do 0,576 —, choć trawa i chmury nie są ze sobą bezpośrednio powiązane. Informacja płynie przez sieć pod prąd strzałek.

4. Wyjaśnienie przez inną przyczynę

Teraz dowiadujemy się, że w nocy naprawdę padało. Co się stanie ze zraszaczem?

Prawdopodobieństwo zraszacza spada z 0,430 do 0,194. Deszcz już wyjaśnił mokrą trawę, więc dla zraszacza nie zostaje powód. I odwrotnie: gdy wiemy, że działał zraszacz, prawdopodobieństwo deszczu spada z 0,708 do 0,320. To zjawisko nazywa się wyjaśnieniem przez inną przyczynę (explaining away). Dwie przyczyny, które z góry wiązały się ze sobą tylko słabo, zaczynają się nawzajem „wypierać”, gdy tylko zaobserwujemy ich wspólny skutek. A gdybyśmy wiedzieli, że nie padało, zraszacz musiałby działać: P(zraszacz | mokra trawa, brak deszczu) = 1, bo w naszej sieci trawa sama z siebie mokra być nie może.

Przykład — wyjaśnienie przez inną przyczynę w liczbach

Z tabeli w poprzednim przykładzie: światy, w których padało, działał zraszacz i trawa jest mokra, mają łącznie P(P, D, T) = 0,0396 + 0,0495 = 0,0891. Dlatego

P(P | T, D) = P(P, D, T) / P(D, T) = 0,0891 / 0,4581 = 0,194,

P(D | T, P) = P(P, D, T) / P(P, T) = 0,0891 / 0,2781 = 0,320.

Formalnie wyjaśnienie przez inną przyczynę to nierówność P(P | T, D) < P(P | T): potwierdzenie jednej przyczyny obniża prawdopodobieństwo drugiej (0,194 < 0,430).

5. Co można odczytać z sieci: d-separacja

Graf mówi nie tylko, jak liczyć — mówi też, które zmienne są od siebie niezależne, i to bez jednej liczby. Wszystkie możliwości składają się z trzech podstawowych kształtów:

• Łańcuch A → B → C: A i C są powiązane, ale gdy znamy B, już nie. (Pochmurno → deszcz → mokra trawa: kto wie, czy padało, temu chmury nic o trawie nie powiedzą.)
• Rozwidlenie A ← B → C: wspólna przyczyna czyni A i C zależnymi; gdy ją znamy, zależność znika. (Zraszacz i deszcz z góry wiążą się przez chmury: P(zraszacz | deszcz) = 0,18, ale P(zraszacz | brak deszczu) = 0,42. Gdy wiemy, czy jest pochmurno, są niezależne.)
• Zderzenie A → B ← C: przyczyny są niezależne, dopóki nie zaobserwujemy wspólnego skutku — wtedy stają się zależne. To jest wyjaśnienie przez inną przyczynę.

Definicja — d-separacja

Ścieżka w grafie (bez względu na kierunek strzałek) jest zablokowana przez zbiór E, gdy leży na niej łańcuch lub rozwidlenie ze środkiem w E albo zderzenie, którego środek ani żaden jego potomek nie należy do E. Zmienne A i C są d-separowane przez zbiór E, gdy E blokuje wszystkie ścieżki między nimi. Wtedy w każdym rozkładzie, który sieć wyznacza, są warunkowo niezależne przy E.

W naszej sieci pochmurno i mokra trawa są d-separowane, gdy znamy zarówno zraszacz, jak i deszcz — obliczenie to potwierdza: prawdopodobieństwo pochmurnego nieba w ogóle nie zależy wtedy od trawy.

Przykład — trzy kształty sprawdzone obliczeniem

• Rozwidlenie zraszacz ← pochmurno → deszcz. Bez znajomości nieba: P(P | D) = 0,18 ≠ P(P) = 0,3, zależne. Przy znanym niebie: P(P | Z, D) = 0,1 = P(P | Z), czyli P ⊥ D | Z.
• Zderzenie zraszacz → mokra trawa ← deszcz. Przy znanym niebie P i D są niezależne (P(P | Z, D) = P(P | Z, ¬D) = 0,1), ale gdy tylko zaobserwujemy trawę, już nie: P(P | Z, D, T) = 0,109, natomiast P(P | Z, ¬D, T) = 1.
• D-separacja pochmurnego nieba i mokrej trawy przez zbiór {P, D}: obie ścieżki Z → P → T i Z → D → T to łańcuchy ze znanym środkiem, więc są zablokowane. I rzeczywiście: P(Z | P, D) = 0,444 i P(Z | P, D, T) = 0,444; P(Z | P, ¬D) = 0,048 i P(Z | P, ¬D, T) = 0,048.

6. Wnioskowanie przybliżone przez próbkowanie

Wnioskowanie przez wyliczanie przechodzi przez wszystkie kombinacje zmiennych ukrytych — w ogólnej sieci wykładniczo wiele. Dokładne wnioskowanie w sieciach bayesowskich jest NP-trudne. Dla dużych sieci prawdopodobieństwa się więc szacuje symulacją.

Algorytmy — próbkowanie z odrzucaniem i ważenie wiarygodnością

Próbkowanie z odrzucaniem: generuj światy z sieci (od przyczyn do skutków, według tabel), odrzuć te, które nie zgadzają się z obserwacjami, i wśród pozostałych oblicz odsetek, w którym zachodzi zapytanie.

Ważenie wiarygodnością: obserwacji nie losuj, tylko je ustal; każdy wygenerowany świat zważ iloczynem prawdopodobieństw obserwacji przy wartościach ich rodziców. Oszacowanie to ważony odsetek.

def zamitani(Q, dukazy, n, sit):
    prijato = ano = 0
    for _ in range(n):
        svet = {}
        for uzel in sit:                             # od przyczyn do skutków
            svet[uzel] = nahoda() < P(uzel, True, svet[rodice(uzel)])
        if any(svet[k] != v for k, v in dukazy.items()):
            continue                                 # do kosza
        prijato += 1
        ano += svet[Q]
    return ano / prijato

def vazena(Q, dukazy, n, sit):
    s = s_ano = 0.0
    for _ in range(n):
        svet, w = {}, 1.0
        for uzel in sit:
            p = P(uzel, True, svet[rodice(uzel)])
            if uzel in dukazy:                       # obserwacji nie losujemy…
                svet[uzel] = dukazy[uzel]
                w *= p if dukazy[uzel] else 1 - p    # …ale ważymy, jak jest prawdopodobna
            else:
                svet[uzel] = nahoda() < p
        s += w
        s_ano += w * svet[Q]
    return s_ano / s

P̂(Q | e) = ∑_k w_k [Q zachodzi w próbce k] / ∑_k w_k,   w_k = ∏_j P(e_j | rodzice_k)

w_k

waga próbki (na zielono jak krzywa ważenia wiarygodnością na wykresie) — iloczyn prawdopodobieństw wszystkich obserwacji e_j przy wartościach ich rodziców, które wypadły w próbce k: obserwacji nie losowaliśmy, tylko je narzuciliśmy, więc musimy uwzględnić, jak prawdopodobne byłyby przy pozostałych wylosowanych wartościach — inaczej oszacowanie byłoby obciążone

[Q zachodzi w próbce k]

1, gdy w próbce zachodzi zapytanie, w przeciwnym razie 0 — liczymy tylko wagę próbek, w których padało

∑_k w_k

całkowita waga; dzieląc przez nią, robimy z sumy odsetek, tak samo jak dzielenie przez P(e) przy wyliczaniu. Dzięki temu nie przeszkadza, że wagi nie sumują się do 1

Przykład — wagi przy obserwacji „trawa jest mokra”

Jedyna obserwacja to T = tak, jej rodzicami są zraszacz i deszcz. Waga próbki to więc po prostu P(T = tak | p, d) z tabeli mokrej trawy:

• zraszacz i deszcz: w = 0,99,
• tylko jedno z nich: w = 0,9,
• żadne: w = 0 — taka próbka nigdzie się nie przyczyni, tak samo jak odrzucanie by ją wyrzuciło.

Od nieba waga nie zależy: pochmurno nie jest rodzicem trawy.

Przy stu próbkach odrzucanie dało oszacowanie 0,686 i wykorzystało tylko 70 z nich — pozostałe 30 miało suchą trawę i poszło do kosza. Przy 10 000 próbek (z których zostało 6 524) oszacowanie wynosi 0,703, blisko dokładnej wartości 0,708. Błąd maleje jak 1/√N, jak mówi centralne twierdzenie graniczne: dla dziesięć razy dokładniejszego oszacowania potrzeba sto razy więcej próbek.

σ_P̂ = √(p(1 − p) / N_przyj),   N_przyj ≈ N · P(e)

p(1 − p)

wariancja jednej próbki typu tak/nie (rozkład zero-jedynkowy z prawdopodobieństwem p); największa jest dla p = 0,5, kiedy pojedyncza próbka jest najmniej przewidywalna

N_przyj

liczba próbek, które naprawdę się liczą; przy odrzucaniu tylko te, które przeszły, a stanowią one średnio odsetek P(e) — przy rzadkiej obserwacji prawie żadne. Wariancja średniej z N niezależnych próbek jest N razy mniejsza

Przykład — jakiego błędu się spodziewać

Dokładnie p = 0,708 i P(e) = P(T) = 0,6471, więc z 10 000 próbek spodziewamy się około 6 471 przyjętych (w rzeczywistości było ich 6 524).

• N_przyj = 70: σ = √(0,708 · 0,292 / 70) = 0,054; rzeczywisty błąd |0,686 − 0,708| = 0,022.
• N_przyj = 6 524: σ = 0,0056; rzeczywisty błąd 0,0050.

Oba rzeczywiste błędy są mniejsze niż jedno odchylenie standardowe — zgodnie z tym, że mniej więcej dwie trzecie oszacowań wpada w ±σ (rozkład normalny według centralnego twierdzenia granicznego).

7. Sieci bayesowskie w praktyce

• Diagnostyka. Sieci medyczne (ALARM, QMR-DT z setkami chorób i tysiącami objawów) oraz diagnostyka awarii maszyn i sieci: z zaobserwowanych objawów wywnioskować najbardziej prawdopodobną przyczynę — i zaproponować, co zmierzyć dalej.
• Uczenie z danych. Tabele da się oszacować z danych przez zliczanie (metodą największej wiarygodności z części o statystyce), nawet gdy niektórych wartości brakuje — algorytmem EM, krewnym algorytmu Bauma–Welcha z poprzedniej części.
• Przyczynowość. Pearl pokazał, że sieć czytana jako graf przyczyn potrafi odpowiadać także na pytania „co by się stało, gdybyśmy interweniowali” — sami włączyli zraszacz — czego z samych korelacji odczytać się nie da. Na tym opiera się dzisiejsze wnioskowanie przyczynowe w epidemiologii i ekonomii.
• Krewni. Naiwny klasyfikator bayesowski to sieć bayesowska z jedną przyczyną i wieloma niezależnymi skutkami. Ukryte modele Markowa z poprzedniej części to sieć bayesowska rozwinięta w czasie.

8. Podsumowanie

• Sieć bayesowska to skierowany graf acykliczny z tabelami P(X | rodzice); rozkład łączny to iloczyn tych tabel. Nasza sieć potrzebuje 9 liczb zamiast 15.
• Wnioskowanie działa też pod prąd strzałek: mokra trawa podnosi prawdopodobieństwo deszczu do 0,708, a zraszacza do 0,430.
• Wyjaśnienie przez inną przyczynę: gdy wiemy, że padało, prawdopodobieństwo zraszacza spada do 0,194.
• D-separacja odczytuje niezależności wprost z grafu — łańcuch i rozwidlenie obserwacja zamyka, zderzenie otwiera.
• Dokładne wnioskowanie jest w ogólności NP-trudne; próbkowanie daje oszacowania z błędem malejącym jak 1/√N.

Chcesz to wypróbować na własnej skórze? Poproś agenta AI, żeby zbudował sieć bayesowską dla awarii twojego samochodu lub komputera („nie odpala — akumulator czy rozrusznik?”), i sprawdź, jak zmienia się podejrzenie, gdy dodajesz obserwacje.

Masz inne zdanie? Napisz na support@coden-app.com.