Zbiory rozmyte i funkcje przynależności: jak zapisać „trochę ciepło”

Ostra granica i paradoks stosu, zbiór rozmyty i stopień przynależności, kształty funkcji przynależności, zmienna lingwistyczna, nośnik, jądro i α-przekroje, operacje Zadeha oraz modyfikatory „bardzo” i „trochę” — na temperaturze od zimna po gorąco.

12 minut Matěj Žalmánek 2026-10-15

Seria Podstawy AI Część 32 z 52

Pełny program serii Gotowe: 52 z 83 tematów

Czego się dowiesz

Czym jest zbiór rozmyty i dlaczego stopień przynależności nie jest prawdopodobieństwem.
Jak słowa takie jak „ciepło” czy „przyjemnie” zapisuje się funkcjami przynależności i jak się one nakładają.
Jak działają rozmyte przecięcie, suma i dopełnienie i dlaczego nie obowiązuje prawo wyłączonego środka.

Warto wiedzieć wcześniej: Zbiory i relacje: klocki, z których składają się definicje w AI, Funkcje i odwzorowania: dlaczego każdy model AI jest funkcją

Ile ziarenek piasku tworzy stos? Milion na pewno. Jedno na pewno nie. A kiedy ze stosu zabierzesz jedno ziarenko, nadal jest to stos — więc zgodnie z tą logiką nawet jedno ziarenko byłoby stosem. Ten paradoks znali już starożytni Grecy i pokazuje on, że wiele słów, którymi mówimy o świecie, nie ma ostrej granicy: wysoki, ciepło, szybko, prawie pełno. Klasyczna matematyka radzi sobie z nimi źle, bo element do zbioru albo należy, albo nie należy. W 1965 roku Lotfi Zadeh z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley zaproponował proste rozwiązanie: pozwolić, by element należał do zbioru trochę.

Ta część otwiera moduł o logice rozmytej. Nawiązuje do części Zbiory i relacje oraz Funkcje i odwzorowania.

1. Ostra granica i jej problem

Definicja — funkcja charakterystyczna

Klasyczny (ostry) zbiór A ⊆ X jest jednoznacznie wyznaczony przez swoją funkcję charakterystyczną χ_A : X → {0, 1}, gdzie χ_A(x) = 1 dla x ∈ A i 0 w przeciwnym razie.

Mówiąc prościej

Zbiór ostry to lista z jasnym tak i nie. Powiedzmy, że „ciepło” zaczyna się od 25 °C. Wtedy 25 °C to ciepło, a 24,9 °C już nie — choć różnicy nikt nie odczuje. Granica w jednym miejscu jest dowolna, a mała zmiana wejścia powoduje skok w wyniku.

„Ciepło” jako zbiór ostry i jako zbiór rozmyty ostry: od 25 °Crozmyty

2. Zbiór rozmyty

Definicja — zbiór rozmyty (Zadeh, 1965)

Zbiór rozmyty A w uniwersum X jest dany funkcją przynależności μ_A : X → [0, 1]. Liczba μ_A(x) to stopień przynależności elementu x do A; formalnie A = {(x, μ_A(x)) : x ∈ X}.

Zbiór ostry jest szczególnym przypadkiem, w którym μ_A przyjmuje tylko wartości 0 i 1.

Mówiąc prościej

Zamiast „należy, nie należy” każdy element dostaje liczbę od zera do jedynki: jak bardzo należy do zbioru. 28 °C to „ciepło” w pełni (1), 25 °C w połowie (0,5), 20 °C wcale (0). Pomiędzy przynależność zmienia się płynnie — żadnego skoku między 24,9 a 25.

Ważne jest, czym stopień przynależności nie jest: nie jest prawdopodobieństwem. Gdy 25 °C jest „ciepło” w stopniu 0,5, nie znaczy to, że z pięćdziesięcioprocentową szansą jest ciepło. Temperatura jest znana dokładnie; nieostre jest słowo. Różnicy między nieostrością słowa a niepewnością losu poświęcona jest następna część.

3. Kształty funkcji przynależności

Definicja — typowe funkcje przynależności

Trójkątna z parametrami a < b < c: rośnie liniowo od 0 w a do 1 w b i opada do 0 w c.
Trapezowa z parametrami a ≤ b ≤ c ≤ d: rośnie od a do b, między b a c wynosi 1, opada do d.
Gaussowska: μ(x) = e^{−(x − m)² / 2s²} — gładki pagórek o środku m i szerokości s.
Sigmoidalna: μ(x) = 1 / (1 + e^{−a(x − c)}) — płynne przejście od 0 do 1 wokół punktu c.

Mówiąc prościej

Kształt wybiera się według tego, co jest naturalne i co łatwo się liczy. W praktyce zdecydowanie najczęściej wygrywają trójkąty i trapezy: wystarczy kilka liczb, każdy je rozumie, a obliczenia są szybkie. Dokładny kształt zwykle ma mniejsze znaczenie, niż by się wydawało — ważne jest, gdzie funkcja się zaczyna, gdzie osiąga szczyt i gdzie się kończy.

μ(x) = max( 0, min( (x − a) / (b − a), (c − x) / (c − b) ) )

(x − a) / (b − a): lewe zbocze — prosta, która w a ma wartość 0, a w b wartość 1; dzielenie przez długość b − a sprawia, że szczyt wychodzi dokładnie 1 niezależnie od szerokości
(c − x) / (c − b): prawe zbocze — lustrzanie: w b wartość 1, w c wartość 0
min: wybiera to zbocze, które jest akurat niżej — na lewo od b prawe zbocze jest powyżej 1, na prawo od b lewe; minimum „ścina” więc szczyt dokładnie w b
max(0, …): poza przedziałem (a; c) zbocza wyszłyby ujemne; stopień przynależności nie może jednak spaść poniżej 0

Trójkąt jednym wyrażeniem — dokładnie tym, które liczy funkcja trojuhelnik poniżej. Dla „ciepło” (22, 28, 34) i 25 °C: min(3/6, 9/6) = 0,5.

def trojuhelnik(a, b, c):
    return lambda x: max(0.0, min((x - a) / (b - a), (c - x) / (c - b)))

def lichobeznik(a, b, c, d):
    def mu(x):
        if x < a or x > d:
            return 0.0
        if x < b:
            return (x - a) / (b - a)
        return 1.0 if x <= c else (d - x) / (d - c)
    return mu

teplo = trojuhelnik(22, 28, 34)
print(teplo(25), teplo(28), teplo(31))   # 0.5 1.0 0.5

4. Zmienna lingwistyczna

Definicja — zmienna lingwistyczna (Zadeh, 1975)

Zmienna lingwistyczna to zmienna, której wartościami są słowa. Jest dana nazwą (na przykład „temperatura”), uniwersum X (0–40 °C) i zbiorem termów (zimno, przyjemnie, ciepło, gorąco), z których każdy jest zbiorem rozmytym w X.

Mówiąc prościej

Słowa, którymi opisujemy temperaturę, nakładają się na siebie — i to jest w porządku. 25 °C to trochę „przyjemnie” i trochę „ciepło”, dokładnie tak, jak powiedziałby to człowiek.

Nasza temperatura ma cztery termy: zimno to trapez (0, 0, 6, 14), przyjemnie trapez (10, 17, 23, 28), ciepło trójkąt (22, 28, 34), a gorąco trapez (30, 36, 40, 40). Pionowa linia przeskakuje między przykładowymi temperaturami:

Zmienna lingwistyczna temperatura i przynależności trzech temperatur zimnoprzyjemnieciepłogorąco

12 °C to „zimno” w stopniu 0,25 i „przyjemnie” w stopniu 0,29 — chłodna wiosna, kiedy nie da się zdecydować.
25 °C to „przyjemnie” w stopniu 0,6 i „ciepło” w stopniu 0,5.
31 °C to „ciepło” w stopniu 0,5 i już także „gorąco” w stopniu 0,17.

Przykład — przynależności krok po kroku

Na każdym zboczu wystarczy stosunek „ile zbocza już przebyto” do „jak długie jest zbocze”:

12 °C, zimno (0, 0, 6, 14) na opadającym zboczu: (14 − 12) / (14 − 6) = 2/8 = 0,25

12 °C, przyjemnie (10, 17, 23, 28) na rosnącym zboczu: (12 − 10) / (17 − 10) = 2/7 ≈ 0,29

25 °C, przyjemnie na opadającym zboczu: (28 − 25) / (28 − 23) = 3/5 = 0,6

25 °C, ciepło (22, 28, 34) na rosnącym zboczu: (25 − 22) / (28 − 22) = 3/6 = 0,5

31 °C, ciepło na opadającym zboczu: (34 − 31) / (34 − 28) = 3/6 = 0,5

31 °C, gorąco (30, 36, 40, 40) na rosnącym zboczu: (31 − 30) / (36 − 30) = 1/6 ≈ 0,17

Pozostałe termy mają w tych temperaturach przynależność 0 — temperatura leży poza ich nośnikiem.

Zauważ, że przynależności jednej temperatury nie muszą sumować się do 1 (dla 25 °C dają 1,1). Zbiory rozmyte nie są udziałami jednej całości, lecz niezależnymi odpowiedziami na pytania „czy jest zimno?”, „czy jest przyjemnie?”…

5. Nośnik, jądro i α-przekroje

Definicja — nośnik, jądro, wysokość, α-przekrój

Nośnik (support) to {x : μ_A(x) > 0} — elementy, które należą do A przynajmniej trochę.
Jądro (core) to {x : μ_A(x) = 1} — elementy, które należą w pełni.
Wysokość to sup_x μ_A(x); zbiór o wysokości 1 jest normalny.
α-przekrój dla α ∈ (0, 1] to zbiór ostry A_α = {x : μ_A(x) ≥ α}. Zbiór rozmyty jest wypukły, gdy wszystkie jego α-przekroje są przedziałami.

Mówiąc prościej

α-przekrój to „jak surowi chcemy być”. Przekrój na poziomie 0,5 zawiera temperatury, które są przyjemne przynajmniej w połowie. Z α-przekrojów da się zbiór rozmyty z powrotem złożyć — to poziomice pagórka. I dzięki nim matematykę zbiorów ostrych można stosować także do zbiorów rozmytych: wystarczy ją zastosować osobno na każdym poziomie α.

Term „przyjemnie”: nośnik, jądro i α-przekrój dla α = 0,5 przyjemnie

Dla „przyjemnie” nośnik to przedział otwarty (10; 28), jądro [17; 23], a α-przekrój na poziomie 0,5 przedział [13,5; 25,5]. Zbiór jest normalny (wysokość 1) i wypukły — jak wszystkie nasze termy. (Supremum sup w definicji wysokości to najmniejsze ograniczenie górne wartości; dla naszych funkcji ciągłych na przedziale domkniętym jest to po prostu maksimum.)

A_α = [ a + α (b − a) ; d − α (d − c) ]

α: poziom przekroju (na rysunku bursztynowa linia) — ile przynależności wymagamy; im wyższy, tym dalej od brzegów trzeba odejść i przekrój się zwęża
a: lewy brzeg nośnika — stąd wznosi się lewe zbocze; przy α → 0 przekrój zaczyna się właśnie tutaj
(b − a): szerokość lewego zbocza — na nim przynależność rośnie od 0 do 1, więc poziom α osiąga po przebyciu ułamka α tej szerokości
d: prawy brzeg nośnika — stąd mierzy się z powrotem w lewo
(d − c): szerokość prawego zbocza — lustrzanie: od d przechodzimy w lewo ułamek α tej szerokości

α-przekrój trapezu (a, b, c, d) dla α ∈ (0, 1]: wystarczy rozwiązać (x − a)/(b − a) = α i (d − x)/(d − c) = α. Dla α = 1 wychodzi jądro [b; c].

Przykład — α-przekroje termu „przyjemnie” (10, 17, 23, 28)

α = 0,5: [10 + 0,5 · 7; 28 − 0,5 · 5] = [13,5; 25,5]

α = 0,8: [10 + 0,8 · 7; 28 − 0,8 · 5] = [15,6; 24]

α = 1: [10 + 7; 28 − 5] = [17; 23] = jądro

Przekroje są zagnieżdżone: im wyższe α, tym mniejszy przedział, a każdy wyższy leży wewnątrz niższego. Z powrotem zbiór rozmyty składa się jako μ_A(x) = sup {α : x ∈ A_α} — przynależność punktu to najwyższy przekrój, do którego jeszcze wpada.

Gdy funkcja przynależności nie jest dana wzorem, lecz na przykład zmierzonymi punktami, α-przekrój liczy się na gęstej siatce. Dokładnie tak robi to program, który rysuje obrazki w tej części:

def alfa_rez(mu, alfa, od=0.0, do=40.0, kroku=4000):
    body = [od + i * (do - od) / kroku for i in range(kroku + 1)]
    uvnitr = [x for x in body if mu(x) >= alfa]
    return (uvnitr[0], uvnitr[-1]) if uvnitr else None   # dla zbioru wypukłego przedział

prijemne = lichobeznik(10, 17, 23, 28)
print(alfa_rez(prijemne, 0.5))    # (13.5, 25.5)

6. Dopełnienie, przecięcie i suma

Definicja — operacje Zadeha

μ_¬A(x) = 1 − μ_A(x), μ_{A ∩ B}(x) = min(μ_A(x), μ_B(x)), μ_{A ∪ B}(x) = max(μ_A(x), μ_B(x)).

Dla zbiorów ostrych te wzory dają dokładnie klasyczne dopełnienie, przecięcie i sumę.

Mówiąc prościej

„Przyjemnie i zarazem ciepło” jest tak prawdziwe, jak prawdziwa jest słabsza z obu części; „przyjemnie lub ciepło” tak, jak ta silniejsza. Łańcuch jest tak mocny jak najsłabsze ogniwo, a gdy wystarczy jedno z dwojga, decyduje to lepsze.

Operacje na termach „przyjemnie” i „ciepło” przyjemnieciepło

Przy 25 °C „przyjemnie i ciepło” wynosi 0,5, a „przyjemnie lub ciepło” 0,6. Przecięcie osiąga najwyżej 0,545 w okolicy 25,3 °C, gdzie obie krzywe się krzyżują — żadna temperatura nie jest w pełni jednym i drugim.

μ_{P ∩ T}(x) = min( μ_P(x), μ_T(x) )

μ_P(x): jak bardzo temperatura x jest „przyjemnie” (na rysunku zielona krzywa)
μ_T(x): jak bardzo jest „ciepło” (bursztynowa krzywa) — obie przynależności liczy się niezależnie, każdą swoją funkcją
min: „i zarazem” może być najwyżej tak prawdziwe jak słabsza część — gdyby było bardziej, twierdzilibyśmy o temperaturze więcej, niż udźwignie jedno z obu słów; a dla wartości 0 i 1 min daje dokładnie klasyczne „i”

Suma to to samo z max (silniejsza z obu), dopełnienie 1 − μ odwraca skalę: co należy w pełni, nie należy wcale, a co w połowie, zostaje w połowie.

Przykład — gdzie przecięcie jest najwyższe

Między 23 a 28 °C przyjemnie maleje, a ciepło rośnie, więc minimum jest najwyższe tam, gdzie krzywe się przetną:

(28 − x) / 5 = (x − 22) / 6

6 (28 − x) = 5 (x − 22) ⇒ 168 − 6x = 5x − 110 ⇒ x = 278/11 ≈ 25,27 °C

μ = (28 − 278/11) / 5 = 6/11 ≈ 0,545

Na lewo od punktu przecięcia niższe jest ciepło, na prawo przyjemnie — minimum zawsze tam maleje.

Tutaj zbiory rozmyte różnią się od klasycznych w czymś zasadniczym. Obowiązują dla nich prawie wszystkie znane reguły — przemienność, łączność, prawa De Morgana — ale nie prawo wyłączonego środka. Przecięcie A ∩ ¬A nie musi być puste: „przyjemnie i zarazem nie jest przyjemnie” ma przy 13,5 °C wartość 0,5. Dla nieostrych słów to słuszne — o temperaturze, która jest przyjemna w połowie, można zarazem w połowie powiedzieć, że przyjemna nie jest. Inne możliwości przecięcia i sumy (tak zwane t-normy) pojawią się w części o logice rozmytej.

Twierdzenie — prawa De Morgana obowiązują, wyłączony środek nie

Dla dowolnych zbiorów rozmytych A, B w X i każdego x ∈ X przy operacjach Zadeha zachodzi

¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B oraz ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B,
μ_{A ∩ ¬A}(x) ≤ ½ oraz μ_{A ∪ ¬A}(x) ≥ ½, z równością wtedy i tylko wtedy, gdy μ_A(x) = ½.

Dowód. (1) Oznaczmy p = μ_A(x), q = μ_B(x) i bez straty ogólności p ≤ q. Wtedy 1 − min(p, q) = 1 − p, a ponieważ 1 − p ≥ 1 − q, także max(1 − p, 1 − q) = 1 − p. Drugie prawo tak samo z zamienionymi min i max.

(2) Liczby p i 1 − p sumują się do 1, więc mniejsza z nich wynosi najwyżej ½, a większa co najmniej ½. ∎

Klasyczne prawo wyłączonego środka wymaga A ∪ ¬A = X, czyli wartości 1 wszędzie. Dla zbioru rozmytego zachodzi tylko tam, gdzie μ_A wynosi 0 lub 1; najgorzej jest w punktach o przynależności ½ — dla „przyjemnie” przy 13,5 i 25,5 °C, gdzie A ∩ ¬A i A ∪ ¬A mają wartość 0,5.

Sprawdzenie na liczbie: przy 25 °C ¬(P ∩ T) = 1 − min(0,6; 0,5) = 0,5 oraz ¬P ∪ ¬T = max(0,4; 0,5) = 0,5.

7. Bardzo ciepło, trochę ciepło

Definicja — modyfikatory lingwistyczne (Zadeh, 1972)

Koncentracja („bardzo”): μ_{bardzo A}(x) = μ_A(x)². Dylatacja („trochę”, „mniej więcej”): μ_{trochę A}(x) = √μ_A(x).

Mówiąc prościej

Podniesienie do kwadratu liczby między 0 a 1 ją zmniejsza — i to tym bardziej, im jest mniejsza: 0,5 zmienia się w 0,25, ale 1 zostaje 1. „Bardzo ciepło” jest więc węższe i surowsze niż „ciepło”. Pierwiastek przeciwnie zbiór poszerza: 25 °C to „ciepło” w stopniu 0,5, „trochę ciepło” w stopniu 0,71, a „bardzo ciepło” tylko w stopniu 0,25.

Ciepło, bardzo ciepło i trochę ciepło trochę ciepło (√μ)ciepłobardzo ciepło (μ²)

Definicja — zawieranie się zbiorów rozmytych

Zbiór rozmyty A jest podzbiorem B (A ⊆ B), gdy μ_A(x) ≤ μ_B(x) dla każdego x ∈ X. Dla zbiorów ostrych to zwykła inkluzja: gdzie χ_A = 1, tam musi być też χ_B = 1.

μ(x)² ≤ μ(x) ≤ √μ(x) dla μ(x) ∈ [0, 1]

μ²: „bardzo” (czerwona krzywa) — mnożenie przez liczbę najwyżej 1 nigdy nie zwiększa, więc kwadrat leży pod pierwotną krzywą; najwięcej ujmuje przy wartościach średnich, zero i jedynkę zostawia
μ: samo „ciepło” (bursztynowa krzywa) — wyjściowy term, który modyfikatory tylko przekształcają; nośnik ani jądro się nie zmieniają
√μ: „trochę” (fioletowa krzywa) — pierwiastek jest odwrotnością kwadratu, więc podnosi to, co kwadrat spłaszcza: √0,25 = 0,5

Dlatego bardzo A ⊆ A ⊆ trochę A: „bardzo ciepło” jest zawsze ciepło, a co jest ciepło, jest przynajmniej trochę ciepło. Przez powtarzanie powstaje skala: „bardzo bardzo” to μ⁴.

Przykład — o ile „bardzo” zwęża, a „trochę” poszerza

α-przekrój na poziomie 0,5 dla „ciepło” (22, 28, 34) to [25; 31]. Dla zmodyfikowanych termów wystarczy przeliczyć poziom z powrotem na pierwotne μ:

bardzo ciepło: μ² ≥ 0,5 ⇔ μ ≥ √0,5 ≈ 0,707 → [22 + 0,707 · 6; 34 − 0,707 · 6] ≈ [26,24; 29,76]

trochę ciepło: √μ ≥ 0,5 ⇔ μ ≥ 0,25 → [22 + 0,25 · 6; 34 − 0,25 · 6] = [23,5; 32,5]

Przedział „przynajmniej w połowie” ma 6 °C dla „ciepło”, około 3,5 °C dla „bardzo ciepło” i 9 °C dla „trochę ciepło”.

8. Zbiory rozmyte w praktyce

Sterowanie rozmyte. Metro w japońskim Sendai jeździ od 1987 roku z regulatorem rozmytym, który rusza i hamuje płynniej niż człowiek. Około 1990 roku przyszła w Japonii fala rozmytych pralek, kamer i klimatyzatorów. Jak taki regulator działa, wyjaśni część o sterowaniu rozmytym.
Przetwarzanie obrazu i klasteryzacja. Piksel na granicy dwóch obszarów może należeć trochę do obu; klasteryzacja rozmyta przypisuje punkty do kilku skupień jednocześnie.
Uczenie maszynowe. Miękkie wyjścia klasyfikatorów czy technika label smoothing (zamiast pewnego „to jest kot” cel „kot w stopniu 0,9”) nie są zbiorami rozmytymi w sensie Zadeha, ale dzielą z nimi myśl, że przynależność do klasy nie musi wynosić tylko 0 albo 1.
Język. Modele językowe codziennie pracują ze słowami takimi jak „dość”, „prawie” czy „raczej nie”. Zbiory rozmyte są jednym z niewielu narzędzi, które takim słowom nadają precyzyjne, sprawdzalne znaczenie.

9. Podsumowanie

Zbiór rozmyty przypisuje każdemu elementowi stopień przynależności z przedziału [0, 1]; zbiór ostry jest szczególnym przypadkiem z wartościami 0 i 1.
Funkcje przynależności mają zwykle kształt trójkąta, trapezu, pagórka Gaussa albo sigmoidy.
Zmienna lingwistyczna ma jako wartości słowa — termy, które mogą się nakładać; 25 °C to „przyjemnie” w stopniu 0,6 i „ciepło” w stopniu 0,5.
Nośnik, jądro i α-przekroje opisują kształt zbioru rozmytego za pomocą zbiorów ostrych.
Dopełnienie to 1 − μ, przecięcie minimum, a suma maksimum; nie obowiązuje prawo wyłączonego środka. Modyfikator „bardzo” to μ², „trochę” √μ.

Chcesz to wypróbować? Poproś agenta AI, żeby narysował funkcje przynależności dla słów, którymi opisujesz własny dzień — „wcześnie”, „późno”, „długo” — i zapytaj kilka osób, gdzie one postawiłyby granicę.

Masz inne zdanie? Napisz na support@coden-app.com.

Zbiory rozmyte i funkcje przynależności: jak zapisać „trochę ciepło”

1. Ostra granica i jej problem

2. Zbiór rozmyty

3. Kształty funkcji przynależności

4. Zmienna lingwistyczna

5. Nośnik, jądro i α-przekroje

6. Dopełnienie, przecięcie i suma

7. Bardzo ciepło, trochę ciepło

8. Zbiory rozmyte w praktyce

9. Podsumowanie

Agent na twoim komputerze, sterowany z telefonu