Przegląd rozkładów prawdopodobieństwa: Bernoulliego, dwumianowy, Poissona, jednostajny, normalny i wykładniczy

Sześć najważniejszych rozkładów z definicjami, wartościami oczekiwanymi i wariancjami — deska Galtona, twierdzenie Poissona, reguła 68–95–99,7 i kiedy którego rozkładu użyć.

14 minut Matěj Žalmánek 2026-10-15

Seria Podstawy AI Część 17 z 52

1. Mapa sztucznej inteligencji: co jest czym i jak to do siebie pasuje
2. Krótka historia sztucznej inteligencji: od Turinga do modeli językowych
3. Dane, model, trening, inferencja: podstawowe pojęcia na jednym przykładzie
4. Jak czytać zapis matematyczny: symbole, indeksy, sumy i kwantyfikatory
5. Zbiory i relacje: klocki, z których składają się definicje w AI
6. Funkcje i odwzorowania: dlaczego każdy model AI jest funkcją
7. Logika i dowody: reguły, według których rozumuje AI
8. Grafy i drzewa: struktura, na której opierają się przeszukiwanie i sieci neuronowe
9. Algebra liniowa dla uczenia maszynowego: wektory, macierze i dlaczego AI głównie mnoży
10. Pochodne, gradient i reguła łańcuchowa: jak model ustala, w którą stronę się uczyć
11. Spadek gradientu: jak uczy się model
12. Czym jest prawdopodobieństwo: od rzutu kostką do aksjomatów Kołmogorowa
13. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa: jak zmienić ocenę, gdy dowiesz się czegoś nowego
14. Zmienna losowa i dystrybuanta: jedna funkcja, która mówi o rozkładzie wszystko
15. Funkcja gęstości i funkcja prawdopodobieństwa: dlaczego zmienna ciągła ma w punkcie prawdopodobieństwo zero
16. Wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja: gdzie leży rozkład, jak jest szeroki i co z czym się wiąże
17. Przegląd rozkładów prawdopodobieństwa: Bernoulliego, dwumianowy, Poissona, jednostajny, normalny i wykładniczy
18. Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne: dlaczego średnie zachowują się tak przewidywalnie
19. Statystyka i estymacja parametrów: największa wiarygodność, MAP i przedziały ufności
20. Teoria informacji: entropia, entropia krzyżowa i dywergencja KL — skąd się biorą funkcje straty
21. Przeszukiwanie przestrzeni stanów: BFS, DFS, UCS i A* z animacjami
22. Gry i przeciwnik: minimax, przycinanie alfa-beta i Monte Carlo tree search
23. Spełnianie ograniczeń: backtracking, propagacja ograniczeń i AC-3 na sudoku i mapie czeskich krajów
24. Logika i systemy z bazą wiedzy: wnioskowanie w przód i wstecz, rezolucja i systemy ekspertowe
25. Planowanie: STRIPS, świat klocków, heurystyki z relaksacji i planowanie w agentach AI
26. Przeszukiwanie lokalne i symulowane wyżarzanie: komiwojażer przez czeskie miasta wojewódzkie
27. Algorytmy genetyczne: populacja, krzyżowanie, mutacja i selekcja na plecaku na wycieczkę
28. Strategie ewolucyjne i programowanie genetyczne: od reguły jednej piątej do prawa Keplera
29. Optymalizacja kolonią mrówek: jak ślad feromonowy znajduje krótką drogę
30. Optymalizacja rojem cząstek: bezwładność, własne doświadczenie i doświadczenie roju
31. Neuroewolucja: ewolucja wag i kształtu sieci neuronowych oraz algorytm NEAT
32. Zbiory rozmyte i funkcje przynależności: jak zapisać „trochę ciepło”
33. Logika rozmyta a prawdopodobieństwo: dlaczego „trochę ciepło” nie znaczy „prawdopodobnie ciepło”
34. Logika rozmyta: t-normy, implikacje i reguły JEŻELI–TO
35. Sterowanie rozmyte: Mamdani i Sugeno od wentylatora po wahadło na wózku
36. Klasteryzacja rozmyta: algorytm fuzzy c-means i punkty między skupieniami
37. Systemy neuro-rozmyte (ANFIS): reguły rozmyte, które uczą się z danych
38. Łańcuchy Markowa: macierz przejścia, rozkład stacjonarny i PageRank
39. Ukryte modele Markowa: algorytm Viterbiego i nieuczciwe kasyno
40. Sieci bayesowskie: dlaczego trawa jest mokra i co z tego wynika dla zraszacza
41. Filtr Kalmana: jak z niedokładnych pomiarów oszacować, gdzie jest samochód i jak szybko jedzie
42. Rodzaje uczenia maszynowego: nadzorowane, nienadzorowane, półnadzorowane i inne
43. Prompty, kontekst i RAG: jak dać modelowi właściwe informacje
44. Wariacyjne autoenkodery (VAE): nowe obrazki z ciągłej przestrzeni latentnej
45. Generatywne sieci przeciwstawne (GAN): fałszerz kontra detektyw
46. Modele dyfuzyjne: jak z czystego szumu powstaje obraz
47. Procesy decyzyjne Markowa: stany, akcje, nagrody i równania Bellmana
48. Q-learning i DQN: uczenie się wartości akcji od tabeli po sieć neuronową
49. Policy gradient i PPO: uczenie się bezpośrednio polityki
50. Jak działa agent AI: model językowy w pętli z narzędziami
51. Programowanie z agentami AI: zadanie, testy i kontrola
52. Ocena i bezpieczeństwo systemów AI: jak mierzyć i jak pilnować

Pełny program serii Gotowe: 52 z 83 tematów

Rozkład możesz za każdym razem wymyślić od zera — ale nie musisz. Kilka sytuacji powtarza się w praktyce bez końca: tak/nie, liczba sukcesów, liczba zdarzeń na godzinę, czekanie, pomiar z błędem. Dla każdej z nich istnieje gotowy rozkład z kilkoma parametrami, policzoną wartością oczekiwaną i wariancją. Ta część to przegląd sześciu najważniejszych — a przede wszystkim tego, kiedy którego użyć.

Nawiązuje do części Funkcja gęstości i Wartość oczekiwana i wariancja.

1. Rozkład Bernoulliego

Definicja — rozkład Bernoulliego

Zmienna X ma rozkład Bernoulliego z parametrem p ∈ [0, 1], co zapisujemy X ~ Bern(p), jeśli

P(X = 1) = p,   P(X = 0) = 1 − p.

Wartość oczekiwana wynosi p, a wariancja p(1 − p) — jest największa dla p = 0,5, kiedy wynik jest najmniej przewidywalny.

2. Rozkład dwumianowy

Definicja — rozkład dwumianowy

Zmienna X ma rozkład dwumianowy z parametrami n ∈ ℕ i p ∈ [0, 1], X ~ B(n, p), jeśli

P(X = k) = (n po k) · p^k · (1 − p)^n−k,   k = 0, 1, …, n,

gdzie (n po k) = n! / (k! (n − k)!) to symbol Newtona.

Zmienna dwumianowa to suma n niezależnych zmiennych Bernoulliego, więc z liniowości jej wartość oczekiwana to np, a wariancja np(1 − p). Ładnie widać to na desce Galtona: kulka na każdym z dziesięciu kołków odbija się w lewo albo w prawo, każde odbicie to jedna próba Bernoulliego, a przegródka, do której wpadnie, to liczba odbić w prawo — B(10; 0,5).

Kulki gromadzą się pośrodku w kształt dzwonu — i ten kształt nie jest przypadkowy. Jak zobaczymy przy rozkładzie normalnym i w następnej części, suma wielu małych losowych wpływów zawsze daje dzwon.

3. Rozkład Poissona

Definicja — rozkład Poissona

Zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, X ~ Po(λ), jeśli

P(X = k) = e^−λ · λ^k / k!,   k = 0, 1, 2, …

Osobliwość rozkładu Poissona: wartość oczekiwana i wariancja są obie równe λ.

Twierdzenie — twierdzenie Poissona

Dla ustalonego λ > 0 i każdego k zachodzi lim_n→∞ P(B(n, λ/n) = k) = e^−λ λ^k / k!.

4. Rozkład jednostajny

Definicja — ciągły rozkład jednostajny

Zmienna X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], X ~ U(a, b), jeśli ma gęstość

f(x) = 1 / (b − a) dla a ≤ x ≤ b, w przeciwnym razie 0.

Wartość oczekiwana to środek przedziału (a + b) / 2, wariancja (b − a)² / 12. Na autobus czekasz więc średnio 5 minut z odchyleniem standardowym √(100/12) ≈ 2,89 minuty.

5. Rozkład normalny

Definicja — rozkład normalny

Zmienna X ma rozkład normalny (Gaussa) z wartością oczekiwaną μ i wariancją σ² > 0, X ~ N(μ, σ²), jeśli ma gęstość

f(x) = 1 / (σ√(2π)) · e^{−(x − μ)² / (2σ²)},   x ∈ ℝ.

Definicja — standardowy rozkład normalny

N(0, 1) nazywa się standardowym rozkładem normalnym. Jeśli X ~ N(μ, σ²), to Z = (X − μ) / σ ~ N(0, 1).

Dla rozkładu normalnego obowiązuje reguła 68–95–99,7: w odległości σ od średniej mieści się 68,27 % wartości, w odległości 2σ 95,45 %, a w odległości 3σ 99,73 %. Jeśli wzrost dorosłych mężczyzn ma średnią 175 cm i σ = 7 cm, to 95 % z nich mierzy od 161 do 189 cm. Nierówność Czebyszewa z poprzedniej części gwarantowała dla 2σ tylko 75 % — rozkład normalny jest znacznie bardziej „skupiony”.

Gęstość rozkładu normalnego nie ma funkcji pierwotnej wyrażalnej wzorem, więc powyższe procenty liczy się numerycznie — tutaj metodą Simpsona, czyli sumując bardzo wąskie paski pola.

6. Rozkład wykładniczy

Definicja — rozkład wykładniczy

Zmienna X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0, X ~ Exp(λ), jeśli ma gęstość

f(x) = λ e^−λx dla x ≥ 0, w przeciwnym razie 0.

Rozkład wykładniczy i rozkład Poissona opisują ten sam proces z dwóch stron. To, że w ciągu 4 minut nie przyjdzie żaden e-mail, ma według Poissona prawdopodobieństwo e⁻² ≈ 0,135 — a według rozkładu wykładniczego P(X > 4) = e^{−0,5 · 4}, czyli tę samą liczbę.

Twierdzenie — brak pamięci rozkładu wykładniczego

Dla X ~ Exp(λ) i s, t ≥ 0 zachodzi P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

7. Ściągawka: który rozkład kiedy

8. Rozkłady w sztucznej inteligencji

• Bernoulli i klasyfikacja binarna. Regresja logistyczna i sieć z jednym wyjściem przewidują parametr p rozkładu Bernoulliego — „z jakim prawdopodobieństwem to spam”. Funkcja straty (binarna entropia krzyżowa) to ujemny logarytm jego prawdopodobieństwa.
• Rozkład kategoryczny to Bernoulli dla więcej niż dwóch możliwości. Softmax na końcu modelu językowego zwraca właśnie jego parametry — prawdopodobieństwo każdego słowa w słowniku.
• Rozkład normalny jest wszędzie: początkowe wagi sieci losuje się z N(0, σ²), błąd średniokwadratowy odpowiada założeniu normalnego szumu, a modele dyfuzyjne generują obrazy, stopniowo odszumiając czysty N(0, 1).
• Dropout podczas uczenia wyłącza każdy neuron z prawdopodobieństwem Bernoulliego; rozkład jednostajny jest źródłem wszystkich liczb losowych.
• Rozkład Poissona i wykładniczy modelują ruch: ile żądań trafi do serwera, kiedy przyjdzie następne, ile GPU będzie potrzeba.

9. Podsumowanie

• Rozkład Bernoulliego to jedna próba tak/nie, dwumianowy — liczba sukcesów w n niezależnych próbach.
• Rozkład Poissona liczy zdarzenia w czasie i jest granicą dwumianowego dla wielu prób z małą szansą.
• Jednostajny daje tę samą gęstość całemu przedziałowi; wykładniczy mierzy czekanie i nie ma pamięci.
• Rozkład normalny to dzwon wyznaczony przez μ i σ; w ±σ, ±2σ i ±3σ leży 68,27 %, 95,45 % i 99,73 % wartości.
• Wybór rozkładu to wybór modelu: to, co opisuje dane, wyznacza też funkcję straty modelu.

Masz inne zdanie? Napisz na support@coden-app.com.