Нечіткі множини й функції належності: як записати «трохи тепло»

Чітка межа і парадокс купи, нечітка множина і ступінь належності, форми функцій належності, лінгвістична змінна, носій, ядро та α-перерізи, операції Заде і модифікатори «дуже» та «трохи» — на температурі від холоду до спеки.

12 хвилин Matěj Žalmánek 2026-10-15

Серія Основи ШІ Частина 32 з 52

1. Мапа штучного інтелекту: що є що і як усе це пов’язано
2. Коротка історія штучного інтелекту: від Тюрінга до мовних моделей
3. Дані, модель, тренування, інференс: основні поняття на одному прикладі
4. Як читати математичний запис: символи, індекси, суми та квантори
5. Множини й відношення: конструктор, з якого складаються означення в ШІ
6. Функції й відображення: чому кожна модель у ШІ — це функція
7. Логіка й доведення: правила, за якими міркують у ШІ
8. Графи й дерева: структура, на якій тримаються пошук і нейронні мережі
9. Лінійна алгебра для машинного навчання: вектори, матриці й чому ШІ передусім множить
10. Похідні, градієнт і правило ланцюжка: як модель дізнається, у якому напрямку вчитися
11. Градієнтний спуск: як навчається модель
12. Що таке ймовірність: від кидка кубика до аксіом Колмогорова
13. Умовна ймовірність і теорема Баєса: як змінити оцінку, коли дізнаєтеся щось нове
14. Випадкова величина і функція розподілу: одна функція, яка каже про розподіл усе
15. Функція щільності та функція маси ймовірності: чому неперервна величина має в точці ймовірність нуль
16. Математичне сподівання, дисперсія і коваріація: де лежить розподіл, наскільки він широкий і що з чим пов’язано
17. Огляд розподілів ймовірностей: Бернуллі, біноміальний, Пуассона, рівномірний, нормальний і експоненційний
18. Закон великих чисел і центральна гранична теорема: чому середні поводяться так передбачувано
19. Статистика й оцінювання параметрів: максимальна правдоподібність, MAP і довірчі інтервали
20. Теорія інформації: ентропія, перехресна ентропія і KL-дивергенція — звідки беруться функції втрат
21. Пошук у просторі станів: BFS, DFS, UCS і A* з анімаціями
22. Ігри та суперник: мінімакс, альфа-бета відсікання і Monte Carlo tree search
23. Задоволення обмежень: бектрекінг, поширення обмежень і AC-3 на судоку та мапі чеських країв
24. Логіка й системи, засновані на знаннях: пряме і зворотне виведення, резолюція та експертні системи
25. Планування: STRIPS, світ кубиків, евристики з релаксації та планування в AI-агентах
26. Локальний пошук та імітація відпалу: комівояжер через обласні центри Чехії
27. Генетичні алгоритми: популяція, схрещування, мутація і добір на рюкзаку для походу
28. Еволюційні стратегії і генетичне програмування: від правила однієї п’ятої до закону Кеплера
29. Оптимізація мурашиною колонією: як феромоновий слід знаходить короткий шлях
30. Оптимізація роєм частинок: інерція, власний досвід і досвід рою
31. Нейроеволюція: еволюція ваг і форми нейронних мереж та алгоритм NEAT
32. Нечіткі множини й функції належності: як записати «трохи тепло»
33. Нечітка логіка та ймовірність: чому «трохи тепло» не означає «імовірно тепло»
34. Нечітка логіка: t-норми, імплікації та правила ЯКЩО–ТО
35. Нечітке керування: Мамдані та Суґено від вентилятора до маятника на візку
36. Нечітка кластеризація: алгоритм fuzzy c-means і точки між кластерами
37. Нейро-нечіткі системи (ANFIS): нечіткі правила, які навчаються з даних
38. Марковські ланцюги: матриця переходів, стаціонарний розподіл і PageRank
39. Приховані марковські моделі: алгоритм Вітербі й нечесне казино
40. Байєсівські мережі: чому трава мокра і що з цього випливає для дощувача
41. Фільтр Калмана: як за неточними вимірюваннями оцінити, де авто і як швидко воно їде
42. Види машинного навчання: з учителем, без учителя, з частковим залученням учителя та інші
43. Промпти, контекст і RAG: як дати моделі правильну інформацію
44. Варіаційні автокодувальники (VAE): нові зображення з неперервного латентного простору
45. Генеративні змагальні мережі (GAN): фальшувальник проти детектива
46. Дифузійні моделі: як із чистого шуму постає зображення
47. Марковські процеси ухвалення рішень: стани, дії, винагороди й рівняння Беллмана
48. Q-навчання і DQN: як навчитися цінності дій — від таблиці до нейронної мережі
49. Policy gradient і PPO: навчання безпосередньо політики
50. Як працює ШІ-агент: мовна модель у циклі з інструментами
51. Програмування з AI-агентами: завдання, тести й перевірка
52. Оцінювання і безпека систем ШІ: як вимірювати і як стежити

Повна програма серії Готово: 52 з 83 тем

Скільки піщинок становлять купу? Мільйон — напевно. Одна — напевно ні. А якщо з купи забрати одну піщинку, це все ще купа — тож за цією логікою навіть одна піщинка була б купою. Цей парадокс знали ще давні греки, і він показує, що багато слів, якими ми говоримо про світ, не мають чіткої межі: високий, тепло, швидко, майже повно. Класична математика дає з ними раду погано, бо елемент або належить множині, або ні. 1965 року Лотфі Заде з Каліфорнійського університету в Берклі запропонував просте розв’язання: дозволити елементові належати множині трохи.

Цією частиною починається модуль про нечітку логіку. Вона продовжує частини Множини й відношення та Функції й відображення.

1. Чітка межа і її проблема

Означення — характеристична функція

Класична (чітка) множина A ⊆ X однозначно задається своєю характеристичною функцією χ_A : X → {0, 1}, де χ_A(x) = 1 для x ∈ A і 0 в іншому разі.

2. Нечітка множина

Означення — нечітка множина (Заде, 1965)

Нечітка множина A на універсумі X задається функцією належності μ_A : X → [0, 1]. Число μ_A(x) — це ступінь належності елемента x до A; формально A = {(x, μ_A(x)) : x ∈ X}.

Чітка множина — окремий випадок, коли μ_A набуває лише значень 0 і 1.

Важливо, чим ступінь належності не є: це не ймовірність. Якщо 25 °C — «тепло» на 0,5, це не означає, що з п’ятдесятивідсотковим шансом тепло. Температура відома точно; нечітке саме слово. Різниці між розмитістю слова і невизначеністю випадку присвячено наступну частину.

3. Форми функцій належності

Означення — звичні функції належності

• Трикутна з параметрами a < b < c: зростає лінійно від 0 в a до 1 в b і спадає до 0 в c.
• Трапецієподібна з параметрами a ≤ b ≤ c ≤ d: зростає від a до b, між b і c дорівнює 1, спадає до d.
• Гауссова: μ(x) = e^{−(x − m)2 / 2s2} — гладкий пагорб із центром m і шириною s.
• Сигмоїдна: μ(x) = 1 / (1 + e^{−a(x − c)}) — плавний перехід від 0 до 1 довкола точки c.

μ(x) = max( 0, min( (x − a) / (b − a), (c − x) / (c − b) ) )

(x − a) / (b − a)

ліве ребро — пряма, що в a має значення 0, а в b значення 1; ділення на довжину b − a гарантує, що вершина вийде рівно 1 незалежно від ширини

(c − x) / (c − b)

праве ребро — дзеркально: у b значення 1, у c значення 0

min

вибирає те ребро, яке саме нижче, — ліворуч від b праве ребро вище 1, праворуч від b ліве; тож мінімум «зрізає» вістря рівно в b

max(0, …)

поза інтервалом (a; c) ребра вийшли б від’ємними; але ступінь належності не може впасти нижче 0

def trojuhelnik(a, b, c):
    return lambda x: max(0.0, min((x - a) / (b - a), (c - x) / (c - b)))

def lichobeznik(a, b, c, d):
    def mu(x):
        if x < a or x > d:
            return 0.0
        if x < b:
            return (x - a) / (b - a)
        return 1.0 if x <= c else (d - x) / (d - c)
    return mu

teplo = trojuhelnik(22, 28, 34)
print(teplo(25), teplo(28), teplo(31))   # 0.5 1.0 0.5

4. Лінгвістична змінна

Означення — лінгвістична змінна (Заде, 1975)

Лінгвістична змінна — це змінна, значеннями якої є слова. Вона задається назвою (наприклад, «температура»), універсумом X (0–40 °C) і множиною термів (холодно, приємно, тепло, спекотно), кожен з яких є нечіткою множиною на X.

Наша температура має чотири терми: холодно — трапеція (0, 0, 6, 14), приємно — трапеція (10, 17, 23, 28), тепло — трикутник (22, 28, 34) і спекотно — трапеція (30, 36, 40, 40). Вертикальна лінія перескакує між прикладовими температурами:

• 12 °C — «холодно» на 0,25 і «приємно» на 0,29: прохолодна весна, коли не можна вирішити.
• 25 °C — «приємно» на 0,6 і «тепло» на 0,5.
• 31 °C — «тепло» на 0,5 і вже «спекотно» на 0,17.

Приклад — належності крок за кроком

На кожному ребрі досить співвідношення «скільки вже пройдено ребром» до «яка довжина ребра»:

12 °C, холодно (0, 0, 6, 14) на спадному ребрі: (14 − 12) / (14 − 6) = 2/8 = 0,25

12 °C, приємно (10, 17, 23, 28) на зростаючому ребрі: (12 − 10) / (17 − 10) = 2/7 ≈ 0,29

25 °C, приємно на спадному ребрі: (28 − 25) / (28 − 23) = 3/5 = 0,6

25 °C, тепло (22, 28, 34) на зростаючому ребрі: (25 − 22) / (28 − 22) = 3/6 = 0,5

31 °C, тепло на спадному ребрі: (34 − 31) / (34 − 28) = 3/6 = 0,5

31 °C, спекотно (30, 36, 40, 40) на зростаючому ребрі: (31 − 30) / (36 − 30) = 1/6 ≈ 0,17

Решта термів має за цих температур належність 0 — температура лежить поза їхнім носієм.

Зверніть увагу, що належності однієї температури не мусять у сумі давати 1 (для 25 °C це 1,1). Нечіткі множини — не частки одного цілого, а незалежні відповіді на запитання «чи холодно?», «чи приємно?»…

5. Носій, ядро та α-перерізи

Означення — носій, ядро, висота, α-переріз

• Носій (support) — це {x : μ_A(x) > 0}: елементи, що належать A хоча б трохи.
• Ядро (core) — це {x : μ_A(x) = 1}: елементи, що належать повністю.
• Висота — це sup_x μ_A(x); множина з висотою 1 — нормальна.
• α-переріз для α ∈ (0, 1] — це чітка множина A_α = {x : μ_A(x) ≥ α}. Нечітка множина опукла, якщо всі її α-перерізи є інтервалами.

Для «приємно» носій — відкритий інтервал (10; 28), ядро — [17; 23], а α-переріз на рівні 0,5 — інтервал [13,5; 25,5]. Множина нормальна (висота 1) і опукла — як усі наші терми. (Супремум sup в означенні висоти — це найменша верхня межа значень; для наших неперервних функцій на замкненому інтервалі це просто максимум.)

A_α = [ a + α (b − a) ;  d − α (d − c) ]

α

рівень перерізу (на рисунку бурштинова лінія) — скільки належності ми вимагаємо; що він вищий, то далі від країв треба відійти, і переріз звужується

a

лівий край носія — звідси піднімається ліве ребро; при α → 0 переріз починається саме тут

(b − a)

ширина лівого ребра — на ньому належність зростає від 0 до 1, тож рівня α вона досягає, пройшовши частку α цієї ширини

d

правий край носія — звідси відлік іде назад ліворуч

(d − c)

ширина правого ребра — дзеркально: від d проходимо ліворуч частку α цієї ширини

Приклад — α-перерізи терма «приємно» (10, 17, 23, 28)

α = 0,5: [10 + 0,5 · 7; 28 − 0,5 · 5] = [13,5; 25,5]

α = 0,8: [10 + 0,8 · 7; 28 − 0,8 · 5] = [15,6; 24]

α = 1: [10 + 7; 28 − 5] = [17; 23] = ядро

Перерізи вкладені один в одного: що вище α, то менший інтервал, і кожен вищий лежить усередині нижчого. Назад нечітка множина складається як μ_A(x) = sup {α : x ∈ A_α} — належність точки дорівнює найвищому перерізу, до якого вона ще потрапляє.

Коли функцію належності задано не формулою, а, скажімо, виміряними точками, α-переріз обчислюють на густій сітці. Саме так це робить програма, що малює рисунки в цій частині:

def alfa_rez(mu, alfa, od=0.0, do=40.0, kroku=4000):
    body = [od + i * (do - od) / kroku for i in range(kroku + 1)]
    uvnitr = [x for x in body if mu(x) >= alfa]
    return (uvnitr[0], uvnitr[-1]) if uvnitr else None   # для опуклої множини — інтервал

prijemne = lichobeznik(10, 17, 23, 28)
print(alfa_rez(prijemne, 0.5))    # (13.5, 25.5)

6. Доповнення, перетин і об’єднання

Означення — операції Заде

μ_¬A(x) = 1 − μ_A(x),   μ_{A ∩ B}(x) = min(μ_A(x), μ_B(x)),   μ_{A ∪ B}(x) = max(μ_A(x), μ_B(x)).

Для чітких множин ці формули дають саме класичні доповнення, перетин і об’єднання.

За 25 °C «приємно й тепло» дорівнює 0,5, а «приємно або тепло» — 0,6. Перетин сягає найбільше 0,545 близько 25,3 °C, де обидві криві перетинаються, — жодна температура не є і тим, і тим повністю.

μ_{P ∩ T}(x) = min( μ_P(x), μ_T(x) )

μ_P(x)

наскільки температура x — «приємно» (на рисунку зелена крива)

μ_T(x)

наскільки це «тепло» (бурштинова крива) — обидві належності обчислюються незалежно, кожна своєю функцією

min

«і водночас» може бути щонайбільше таким істинним, як слабша частина, — якби було більше, ми стверджували б про температуру більше, ніж витримує одне з двох слів; а для значень 0 і 1 min дає саме класичне «і»

Приклад — де перетин найвищий

Між 23 і 28 °C «приємно» спадає, а «тепло» зростає, тож мінімум найвищий там, де криві перетинаються:

(28 − x) / 5 = (x − 22) / 6

6 (28 − x) = 5 (x − 22)  ⇒  168 − 6x = 5x − 110  ⇒  x = 278/11 ≈ 25,27 °C

μ = (28 − 278/11) / 5 = 6/11 ≈ 0,545

Ліворуч від точки перетину нижче «тепло», праворуч — «приємно», тож мінімум там завжди спадає.

Тут нечіткі множини відрізняються від класичних у чомусь суттєвому. Для них справджуються майже всі відомі правила — комутативність, асоціативність, закони де Моргана, — але не закон виключеного третього. Перетин A ∩ ¬A не мусить бути порожнім: «приємно й водночас не приємно» за 13,5 °C має значення 0,5. Для розмитих слів це правильно: про температуру, яка приємна наполовину, можна водночас наполовину сказати, що вона не приємна. Інші варіанти перетину й об’єднання (так звані t-норми) з’являться в частині про нечітку логіку.

Теорема — закони де Моргана справджуються, виключене третє — ні

Для довільних нечітких множин A, B на X і кожного x ∈ X з операціями Заде справджується

1. ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B і ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B,
2. μ_{A ∩ ¬A}(x) ≤ ½ і μ_{A ∪ ¬A}(x) ≥ ½, причому рівність — тоді й лише тоді, коли μ_A(x) = ½.

Доведення. (1) Позначмо p = μ_A(x), q = μ_B(x) і без втрати загальності p ≤ q. Тоді 1 − min(p, q) = 1 − p, а оскільки 1 − p ≥ 1 − q, то й max(1 − p, 1 − q) = 1 − p. Другий закон — так само з переставленими min і max.

(2) Числа p і 1 − p у сумі дають 1, тож менше з них щонайбільше ½, а більше — щонайменше ½. ∎

Класичний закон виключеного третього вимагає A ∪ ¬A = X, тобто значення 1 всюди. Для нечіткої множини він справджується лише там, де μ_A дорівнює 0 або 1; найгірше — у точках із належністю ½: для «приємно» за 13,5 і 25,5 °C, де A ∩ ¬A і A ∪ ¬A мають значення 0,5.

Перевірка на числі: за 25 °C ¬(P ∩ T) = 1 − min(0,6; 0,5) = 0,5 і ¬P ∪ ¬T = max(0,4; 0,5) = 0,5.

7. Дуже тепло, трохи тепло

Означення — лінгвістичні модифікатори (Заде, 1972)

Концентрація («дуже»): μ_{дуже A}(x) = μ_A(x)². Розтягування («трохи», «більш-менш»): μ_{трохи A}(x) = √μ_A(x).

Означення — включення нечітких множин

Нечітка множина A є підмножиною B (A ⊆ B), якщо μ_A(x) ≤ μ_B(x) для кожного x ∈ X. Для чітких множин це звичайне включення: де χ_A = 1, там мусить бути й χ_B = 1.

μ(x)² ≤ μ(x) ≤ √μ(x)   для μ(x) ∈ [0, 1]

μ²

«дуже» (червона крива) — множення на число, не більше за 1, ніколи не збільшує, тож квадрат лежить під початковою кривою; найбільше забирає в середніх значень, нуль і одиницю лишає

μ

саме «тепло» (бурштинова крива) — вихідний терм, який модифікатори лише деформують; ні носій, ні ядро не змінюються

√μ

«трохи» (фіолетова крива) — корінь обернений до квадрата, тож піднімає те, що квадрат притискає: √0,25 = 0,5

Приклад — наскільки «дуже» звужує, а «трохи» розширює

α-переріз на рівні 0,5 для «тепло» (22, 28, 34) — це [25; 31]. Для модифікованих термів досить перевести рівень назад на початкове μ:

дуже тепло: μ² ≥ 0,5  ⇔  μ ≥ √0,5 ≈ 0,707  →  [22 + 0,707 · 6; 34 − 0,707 · 6] ≈ [26,24; 29,76]

трохи тепло: √μ ≥ 0,5  ⇔  μ ≥ 0,25  →  [22 + 0,25 · 6; 34 − 0,25 · 6] = [23,5; 32,5]

Інтервал «хоча б наполовину» має 6 °C для «тепло», близько 3,5 °C для «дуже тепло» і 9 °C для «трохи тепло».

8. Нечіткі множини на практиці

• Нечітке керування. Метро в японському Сендаї з 1987 року їздить із нечітким регулятором, який розганяє й гальмує плавніше, ніж людина. Близько 1990 року в Японії настала хвиля нечітких пральних машин, камер і кондиціонерів. Як такий регулятор працює, пояснить частина про нечітке керування.
• Обробка зображень і кластеризація. Піксель на межі двох областей може трохи належати обом; нечітка кластеризація відносить точки до кількох кластерів одночасно.
• Машинне навчання. М’які виходи класифікаторів або техніка label smoothing (замість упевненого «це кіт» — ціль «кіт на 0,9») не є нечіткими множинами в розумінні Заде, але поділяють із ними думку, що належність до класу не мусить бути лише 0 або 1.
• Мова. Мовні моделі щодня працюють зі словами на кшталт «доволі», «майже» чи «радше ні». Нечіткі множини — один із небагатьох інструментів, що надають таким словам точного, перевірного значення.

9. Підсумок

• Нечітка множина приписує кожному елементові ступінь належності з інтервалу [0, 1]; чітка множина — окремий випадок зі значеннями 0 і 1.
• Функції належності зазвичай мають форму трикутника, трапеції, гауссового пагорба або сигмоїди.
• Значеннями лінгвістичної змінної є слова — терми, які можуть перекриватися; 25 °C — «приємно» на 0,6 і «тепло» на 0,5.
• Носій, ядро та α-перерізи описують форму нечіткої множини чіткими множинами.
• Доповнення — це 1 − μ, перетин — мінімум, об’єднання — максимум; закон виключеного третього не справджується. Модифікатор «дуже» — це μ², «трохи» — √μ.

Хочете спробувати самі? Попросіть ШІ-агента намалювати функції належності для слів, якими ви описуєте власний день, — «рано», «пізно», «довго», — і спитайте кількох людей, де межу провели б вони.

Маєте іншу думку? Напишіть на support@coden-app.com.