Функції й відображення: чому кожна модель у ШІ — це функція

Область визначення, образ, ін’єктивність, композиція, обернена функція, функції кількох змінних і опуклість — з графіками сигмоїди, ReLU й ландшафту похибки.

13 хвилин Matěj Žalmánek 2026-10-15

Серія Основи ШІ Частина 6 з 52

1. Мапа штучного інтелекту: що є що і як усе це пов’язано
2. Коротка історія штучного інтелекту: від Тюрінга до мовних моделей
3. Дані, модель, тренування, інференс: основні поняття на одному прикладі
4. Як читати математичний запис: символи, індекси, суми та квантори
5. Множини й відношення: конструктор, з якого складаються означення в ШІ
6. Функції й відображення: чому кожна модель у ШІ — це функція
7. Логіка й доведення: правила, за якими міркують у ШІ
8. Графи й дерева: структура, на якій тримаються пошук і нейронні мережі
9. Лінійна алгебра для машинного навчання: вектори, матриці й чому ШІ передусім множить
10. Похідні, градієнт і правило ланцюжка: як модель дізнається, у якому напрямку вчитися
11. Градієнтний спуск: як навчається модель
12. Що таке ймовірність: від кидка кубика до аксіом Колмогорова
13. Умовна ймовірність і теорема Баєса: як змінити оцінку, коли дізнаєтеся щось нове
14. Випадкова величина і функція розподілу: одна функція, яка каже про розподіл усе
15. Функція щільності та функція маси ймовірності: чому неперервна величина має в точці ймовірність нуль
16. Математичне сподівання, дисперсія і коваріація: де лежить розподіл, наскільки він широкий і що з чим пов’язано
17. Огляд розподілів ймовірностей: Бернуллі, біноміальний, Пуассона, рівномірний, нормальний і експоненційний
18. Закон великих чисел і центральна гранична теорема: чому середні поводяться так передбачувано
19. Статистика й оцінювання параметрів: максимальна правдоподібність, MAP і довірчі інтервали
20. Теорія інформації: ентропія, перехресна ентропія і KL-дивергенція — звідки беруться функції втрат
21. Пошук у просторі станів: BFS, DFS, UCS і A* з анімаціями
22. Ігри та суперник: мінімакс, альфа-бета відсікання і Monte Carlo tree search
23. Задоволення обмежень: бектрекінг, поширення обмежень і AC-3 на судоку та мапі чеських країв
24. Логіка й системи, засновані на знаннях: пряме і зворотне виведення, резолюція та експертні системи
25. Планування: STRIPS, світ кубиків, евристики з релаксації та планування в AI-агентах
26. Локальний пошук та імітація відпалу: комівояжер через обласні центри Чехії
27. Генетичні алгоритми: популяція, схрещування, мутація і добір на рюкзаку для походу
28. Еволюційні стратегії і генетичне програмування: від правила однієї п’ятої до закону Кеплера
29. Оптимізація мурашиною колонією: як феромоновий слід знаходить короткий шлях
30. Оптимізація роєм частинок: інерція, власний досвід і досвід рою
31. Нейроеволюція: еволюція ваг і форми нейронних мереж та алгоритм NEAT
32. Нечіткі множини й функції належності: як записати «трохи тепло»
33. Нечітка логіка та ймовірність: чому «трохи тепло» не означає «імовірно тепло»
34. Нечітка логіка: t-норми, імплікації та правила ЯКЩО–ТО
35. Нечітке керування: Мамдані та Суґено від вентилятора до маятника на візку
36. Нечітка кластеризація: алгоритм fuzzy c-means і точки між кластерами
37. Нейро-нечіткі системи (ANFIS): нечіткі правила, які навчаються з даних
38. Марковські ланцюги: матриця переходів, стаціонарний розподіл і PageRank
39. Приховані марковські моделі: алгоритм Вітербі й нечесне казино
40. Байєсівські мережі: чому трава мокра і що з цього випливає для дощувача
41. Фільтр Калмана: як за неточними вимірюваннями оцінити, де авто і як швидко воно їде
42. Види машинного навчання: з учителем, без учителя, з частковим залученням учителя та інші
43. Промпти, контекст і RAG: як дати моделі правильну інформацію
44. Варіаційні автокодувальники (VAE): нові зображення з неперервного латентного простору
45. Генеративні змагальні мережі (GAN): фальшувальник проти детектива
46. Дифузійні моделі: як із чистого шуму постає зображення
47. Марковські процеси ухвалення рішень: стани, дії, винагороди й рівняння Беллмана
48. Q-навчання і DQN: як навчитися цінності дій — від таблиці до нейронної мережі
49. Policy gradient і PPO: навчання безпосередньо політики
50. Як працює ШІ-агент: мовна модель у циклі з інструментами
51. Програмування з AI-агентами: завдання, тести й перевірка
52. Оцінювання і безпека систем ШІ: як вимірювати і як стежити

Повна програма серії Готово: 52 з 83 тем

Кожна модель у штучному інтелекті — це функція. Класифікатор спаму бере лист і повертає «спам» або «не спам», мовна модель бере текст і повертає ймовірності наступного слова, нейронна мережа — це функція, складена з тисяч менших функцій. А навчання — це не що інше, як пошук правильної функції.

Попередня частина закінчилася означенням функції як особливого відношення. Тут ми на нього спираємося: як функції виглядають, які мають властивості, як їх компонують і чому це важливо для ШІ.

1. Що таке функція

Означення — функція (відображення)

Функція f : X → Y ставить у відповідність кожному елементу x ∈ X рівно один елемент f(x) ∈ Y. Слово відображення означає те саме.

X — це область визначення, Y — кодомен (цільова множина). Образ функції — це множина значень, яких вона справді набуває: f(X) = {f(x) : x ∈ X} ⊆ Y.

Графік функції — це множина пар {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y.

Різницю між кодоменом і образом видно на сигмоїді σ : ℝ → ℝ: вона може повертати будь-яке дійсне число, але насправді повертає лише числа між 0 і 1. Тому з неї можна читати ймовірність.

2. Функції, які ви зустрінете в ШІ

Функцію однієї змінної найкраще зрозуміти з її графіка. Ці функції в штучному інтелекті трапляються знову і знову — як моделі, як функції активації нейронних мереж або як функції втрат:

лінійна: f(x) = ax + b

квадратична: x²

експонента: e^x

логарифм: ln x

сигмоїда: 1 / (1 + e^−x)

гіперболічний тангенс: tanh x

ReLU: max(0, x)

• Лінійна функція — найпростіша модель; лінійна регресія — це саме вона.
• Квадратична функція — основа середньоквадратичної похибки: штраф росте з квадратом відхилення.
• Експонента й логарифм взаємно обернені; логарифм перетворює множення на додавання, і тому ви знайдете його в кожній функції втрат, що спирається на ймовірність.
• Сигмоїда й tanh «стискають» будь-яке число в інтервал (0, 1), відповідно (−1, 1).
• ReLU пропускає додатні числа, а від’ємні обнуляє. Вона така проста, що довго не вірили, що вона працюватиме, — сьогодні це найпоширеніша функція активації.

3. Ін’єктивні, сюр’єктивні й бієктивні

Означення — ін’єкція, сюр’єкція і бієкція

f : X → Y — ін’єктивна, коли різні входи дають різні виходи: ∀x₁, x₂ : f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.

f — сюр’єктивна (відображення «на»), коли влучає в кожен елемент Y: ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f(x) = y, тобто f(X) = Y.

f — бієктивна (взаємно однозначна), коли вона водночас ін’єктивна й сюр’єктивна.

ін’єктивне ін’єктивне: так сюр’єктивне: ні

сюр’єктивне ін’єктивне: ні сюр’єктивне: так

бієктивне ін’єктивне: так сюр’єктивне: так

жодне ін’єктивне: ні сюр’єктивне: ні

У ШІ майже кожна модель неін’єктивна: класифікатор відправляє тисячі різних фото котів до одного класу «кіт». Інформація про те, яке саме це було фото, при цьому губиться — і це нормально, саме цього ми від класифікатора й хочемо. Натомість моделі стиснення (автокодувальники) намагаються бути «майже ін’єктивними», щоб зі стиснутої форми можна було знову відновити вхід.

4. Композиція функцій

Означення — композиція функцій

Для f : X → Y і g : Y → Z композиція g ∘ f : X → Z визначається як (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Композиція асоціативна, h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, але загалом не комутативна: g ∘ f ≠ f ∘ g.

Візьмімо f(x) = 2x + 1 і g(x) = x²:

Саме так побудована нейронна мережа. Кожен шар — це функція: лінійний крок, за яким іде функція активації, — а вся мережа є їхньою композицією: f = f₃ ∘ f₂ ∘ f₁. «Глибока» мережа — це просто довга композиція. А коли в наступних частинах ми вчитимемося диференціювати, ланцюгове правило казатиме, як диференціювати саме композиції функцій.

5. Обернена функція

Означення — обернена функція

Функція f⁻¹ : Y → X є оберненою до f : X → Y, коли f⁻¹(f(x)) = x для всіх x ∈ X і f(f⁻¹(y)) = y для всіх y ∈ Y.

Теорема. Обернена функція існує тоді й лише тоді, коли f бієктивна.

Експонента й логарифм — пара обернених функцій: ln(e^x) = x. Оберненою до сигмоїди є функція логіт, logit(p) = ln(p / (1 − p)), — вона з імовірності знову робить будь-яке дійсне число. Тому виходи мережі перед сигмоїдою або softmax називають «логітами».

6. Функції кількох змінних

Означення — функція кількох змінних

Функція f : ℝⁿ → ℝ ставить у відповідність вектору (x₁, …, x_n) одне число; функція f : ℝⁿ → ℝ^m ставить у відповідність вектору вектор (векторна функція).

Функцію двох змінних можна намалювати як карту: кожну точку (x, y) зафарбуємо відповідно до значення f(x, y). Ось функція Гіммельблау, класичний тест для алгоритмів оптимізації. Темні місця — долини з малим значенням, білі точки — чотири мінімуми, у яких функція дорівнює нулю:

Саме так уявіть собі функцію втрат моделі: вхід — її параметри, вихід — похибка. Тренування — це пошук найнижчої точки ландшафту, тільки замість двох вимірів ландшафт справжньої моделі має їх мільйони.

7. Монотонність і опуклість

Означення — зростаюча й опукла функція

f — зростаюча, коли x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). Зростаюча функція завжди ін’єктивна.

f — опукла, коли для всіх x₁, x₂ і t ∈ [0, 1] виконується f(tx₁ + (1 − t)x₂) ≤ t f(x₁) + (1 − t) f(x₂).

Теорема. Кожен локальний мінімум опуклої функції є водночас глобальним.

опукла: x², єдиний мінімум

неопукла: x⁴ − 3x² + x

Неопукла функція x⁴ − 3x² + x має два мінімуми: глобальний при x ≈ −1,30 зі значенням ≈ −3,51 і локальний при x ≈ 1,13 зі значенням ≈ −1,07. Хто почне шукати праворуч і весь час іде вниз, опиниться в гіршому. Функції втрат лінійної й логістичної регресії опуклі — тому їхнє тренування надійно знаходить найкращий розв’язок. Функції втрат нейронних мереж не опуклі, і про те, як із цим жити, буде частина про градієнтний спуск.

8. Функції у штучному інтелекті

Тепер усе машинне навчання можна висловити мовою функцій:

• Модель — це функція f_θ : X → Y з параметрами θ — ціле сімейство функцій, по одній для кожного вибору параметрів.
• Функція втрат L : Y × Y → ℝ каже, скільки коштує відповідь ŷ, коли правильна відповідь y.
• Навчання — це вибір однієї функції із сімейства: argmin за θ середніх втрат — функції параметрів, яку ми щойно малювали як ландшафт.
• Функції активації (сигмоїда, tanh, ReLU) роблять із лінійних шарів нелінійну мережу; без них композиція лінійних функцій знову була б лише лінійною функцією.

9. Підсумок

• Функція ставить у відповідність кожному входу рівно один вихід; образ — це те, куди вона справді влучає.
• Ін’єктивна функція не плутає два входи, сюр’єктивна покриває всю ціль, бієктивна має обернену.
• Композиція функцій — це конвеєр, а нейронна мережа — композиція шарів.
• Функція втрат — це ландшафт над простором параметрів; опуклий ландшафт має єдине дно, неопуклий може мати їх кілька.

Маєте іншу думку? Напишіть на support@coden-app.com.