Fuzzy riadenie: Mamdani a Sugeno od ventilátora po kyvadlo na vozíku

Nech X je množina možných nameraných stavov sústavy (typicky X ⊆ ℝⁿ, kde n ≥ 1 je počet meraných veličín) a U množina prípustných akčných zásahov (typicky U ⊆ ℝ^m, m ≥ 1). Regulátor (bez vnútornej pamäte — také sú všetky regulátory v tomto diele) je zobrazenie

R : X → U,   x ↦ u = R(x),

ktoré každému nameranému stavu x ∈ X priradí práve jeden zásah u ∈ U. Regulátor teda rozhoduje len podľa súčasného merania. V uzavretej slučke (presne v ďalšej definícii) sa zásah prejaví na sústave, tá sa zmení, zmeria sa znova a regulátor znova zasiahne — typicky desiatky až tisíce ráz za sekundu.

Nech X a U sú množiny stavov a zásahov a R : X → U regulátor ako v predchádzajúcej definícii. Ďalej nech Δt > 0 je dĺžka kroku (počítač meria a zasahuje raz za Δt), F : X × U → X zobrazenie, ktoré zo stavu a zásahu na začiatku kroku určí stav na jeho konci (získa sa z pohybových rovníc sústavy), a x₀ ∈ X počiatočný stav. Uzavretá slučka v diskrétnom čase je dvojica postupností stavov (x_k)_{k ≥ 0} a zásahov (u_k)_{k ≥ 0} určená rekurziou

u_k = R(x_k),    x_k+1 = F(x_k, u_k),    k = 0, 1, 2, …

Stav x_k opisuje sústavu v čase k · Δt. Regulátor teda nevidí budúcnosť ani rovnice F — len súčasné meranie. Pri kyvadle na konci dielu je Δt = 0,02 s, takže minúta riadenia je 3 000 krokov slučky.

Termy z minulého dielu: príjemne je lichobežník (10, 17, 23, 28), teplo trojuholník (22, 28, 34), horúco lichobežník (30, 36, 40, 40); sucho je lichobežník (0, 0, 30, 50), vlhko (40, 70, 100, 100). Na klesajúcej hrane lichobežníka (a, b, c, d), t. j. pre c ≤ x ≤ d, je μ(x) = d − x/d − c, na rastúcej (a ≤ x ≤ b) je μ(x) = x − a/b − a; trojuholník (a, b, c) je lichobežník (a, b, b, c).

• príjemne(27) = 28 − 27/28 − 23 = 1/5 = 0,2,
• teplo(27) = 27 − 22/28 − 22 = 5/6 ≈ 0,83 (27 leží na rastúcej hrane),
• zima(27) = horúco(27) = 0 — 27 je mimo ich nosičov,
• vlhko(60) = 60 − 40/70 − 40 = 2/3 ≈ 0,67, sucho(60) = 0 (nosič končí v 50).

Sily pravidiel (farby podľa vzorca vyššie): R1 (zima alebo príjemne → pomaly) má α₁ = max(0; 0,2) = 0,2; R2 (teplo a sucho → stredne) α₂ = min(5/6; 0) = 0; R3 (teplo a vlhko → rýchlo) α₃ = min(5/6; 2/3) = 2/3; R4 (horúco → rýchlo) α₄ = 0.

Pomaly je lichobežník (0, 0, 20, 45), orezaný vo výške 0,2: plošinka 0,2 až po y = 40 (tam klesajúca hrana 45 − y/25 klesne na 0,2) a potom pokles k nule v 45. Rýchlo je lichobežník (55, 80, 100, 100), orezaný vo výške 2/3: hrana y − 55/25 dosiahne 2/3 v y = 55 + 25 · 2/3 ≈ 71,67. Výsledok:

μ_out(y) = 0,2 na [0; 40],   45 − y/25 na [40; 45],   0 na [45; 55],   y − 55/25 na [55; 71,67]   a   2/3 na [71,67; 100].

Nech [a, b] ⊂ ℝ, a < b, je interval možných výstupov a μ : [a, b] → [0, 1] funkcia príslušnosti výstupnej fuzzy množiny, ktorá je integrovateľná a má kladnú plochu, ∫_a^b μ(y) dy > 0 (aspoň jedno pravidlo platí). Defuzzifikácia je predpis, ktorý funkcii μ priradí jedno číslo y* ∈ [a, b]. Tri najbežnejšie:

1. Ťažisko (centroid): y*_T = ∫_a^b y · μ(y) dy/∫_a^b μ(y) dy.
2. Bisektor: číslo y*_B ∈ [a, b], pre ktoré ∫_a^y*_B μ(y) dy = ∫_y*B^b μ(y) dy. Také číslo existuje, pretože ľavá strana je spojitá neklesajúca funkcia hornej hranice, ktorá rastie od 0 po celú plochu; ak je μ v okolí riešenia nulová, nie je jediné.
3. Stred maxím: nech h = max_{y ∈ [a, b]} μ(y) a M = {y ∈ [a, b] : μ(y) = h} je množina bodov, v ktorých sa maximum nadobúda. y*_M je priemer bodov množiny M; ak je M = [m₁, m₂] interval (ako vo všetkých príkladoch tohto dielu), je y*_M = m₁ + m₂/2.

Ťažisko je teda vážený priemer všetkých výstupov s váhou μ, bisektor delí plochu pod μ na dve rovnaké polovice a stred maxím sa pozerá len na najviac podporené výstupy.

Výstupná množina z oddielu o krokoch sa skladá z obdĺžnikov a trojuholníkov, takže integrály vypočítame zo známych plôch a ťažísk (ťažisko pravouhlého trojuholníka leží v tretine od jeho zvislej strany):

Stĺpec „Plocha“ sčítaný dá menovateľ vzorca pre ťažisko, stĺpec „Plocha · ťažisko“ jeho čitateľ (farby podľa vzorca vyššie).

• Ťažisko: y* = 2 169,41/32,94 ≈ 65,85 %. Počítač v src/fuzzyrizeni.js integrál nahrádza súčtom po 0,1 % a dostane 65,87 — oboje sa zaokrúhli na 65,9 %.
• Bisektor: polovica plochy je 32,94/2 = 16,47. Po bod 71,67 sa nazbiera 8 + 0,5 + 5,56 = 14,06, chýba 2,41; na plošinke výšky 2/3 je to 2,41/2/3 ≈ 3,62 ďalej, teda y* ≈ 71,67 + 3,62 ≈ 75,3 %.
• Stred maxím: maximum 2/3 platí na celom [71,67; 100], priemer okrajov je 71,67 + 100/2 ≈ 85,8 %. Počítač priemeruje body mriežky od 71,7 vyššie, preto 85,9 %.

Nech n ≥ 1 je počet vstupov, r ≥ 1 počet pravidiel a T t-norma (tu minimum; pozri diel o fuzzy logike). Pre každé i = 1, …, r a j = 1, …, n nech A_ij je fuzzy množina na ℝ s funkciou príslušnosti μ_Aij : ℝ → [0, 1] a f_i : ℝⁿ → ℝ funkcia. i-te pravidlo má tvar

AK x₁ je A_i1 a … a x_n je A_in, TAK y = f_i(x₁, …, x_n).

Pre vstup x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝⁿ je sila i-teho pravidla α_i(x) = T(μ_Ai1(x₁), …, μ_Ain(x_n)) ∈ [0, 1]. Ak je ∑_i=1^r α_i(x) > 0, je výstup regulátora Takagi–Sugeno

y*(x) = ∑_i=1^r α_i(x) · f_i(x)/∑_i=1^r α_i(x).

Regulátor je

1. nultého rádu práve vtedy, keď každé f_i je konštantné: f_i(x) = c_i s c_i ∈ ℝ;
2. prvého rádu práve vtedy, keď každé f_i je afinné (v literatúre sa obvykle hovorí „lineárne“): f_i(x) = c_i0 + c_i1x₁ + … + c_inx_n s c_ij ∈ ℝ.

Výstup je teda vážený priemer návrhov f_i(x), váhami sú sily pravidiel.

Nech je daný regulátor Takagi–Sugeno nultého rádu s r ≥ 1 pravidlami, ktoré majú konštantné závery f₁, …, f_r ∈ ℝ, a nech x ∈ ℝⁿ je vstup, pre ktorý majú pravidlá sily α₁, …, α_r ∈ [0, 1] a ∑_i=1^r α_i > 0 (aspoň jedno pravidlo platí). Označme I = {i ∈ {1, …, r} : α_i > 0} množinu pravidiel, ktoré platia. Potom

1. min_{i ∈ I} f_i ≤ y*(x) ≤ max_{i ∈ I} f_i;
2. ak existuje c ∈ ℝ také, že f_i = c pre všetky i ∈ I, je y*(x) = c.

Dôkaz: označme λ_i = α_i/∑_k=1^r α_k. Potom λ_i ≥ 0, λ_i = 0 pre i ∉ I, ∑ λ_i = 1 a y* = ∑_{i ∈ I} λ_i f_i je konvexná kombinácia čísel f_i, i ∈ I. Odhadom f_i ≥ min_I f dostaneme y* ≥ min_I f · ∑ λ_i = min_I f, a rovnako zhora. Ak sa všetky f_i s i ∈ I rovnajú c, je y* = c ∑ λ_i = c. ∎

Ťažisko Mamdaniho takú záruku nemá: aj samotný záver „rýchlo“ v plnej výške má ťažisko 83 %, pretože do priemeru vstupuje aj jeho rastúca hrana od 55 %.

Nech X₁, X₂ ⊆ ℝ sú množiny hodnôt dvoch vstupov a R : X₁ × X₂ → ℝ regulátor s jedným výstupom. Riadiaca plocha regulátora R je graf funkcie R, t. j. množina

{(x₁, x₂, R(x₁, x₂)) : x₁ ∈ X₁, x₂ ∈ X₂} ⊆ ℝ³.

Pri ventilátore je x₁ = T ∈ [0; 40] teplota v °C, x₂ = h ∈ [0; 100] relatívna vlhkosť v % a R(T, h) ∈ [0; 100] otáčky v %. Obrázok ju vyčísľuje na mriežke 41 teplôt (po 1 °C) × 26 vlhkostí (po 4 %).

horúco(35) = 35 − 30/36 − 30 = 5/6 ≈ 0,83, teplo(35) = 0 (trojuholník končí v 34), príjemne aj zima sú 0. Platí jediné pravidlo R4 (horúco → rýchlo) so silou 5/6. Farby podľa vzorcov Sugena a ťažiska vyššie.

• Sugeno: y* = 5/6 · 90/5/6 = 90 % — presne, podľa vety vyššie.
• Mamdani: „rýchlo“ orezané v 5/6 je trojuholník na [55; 75,83] (plocha 1/2 · 20,83 · 5/6 ≈ 8,68, ťažisko 55 + 2/3 · 20,83 ≈ 68,89) a obdĺžnik na [75,83; 100] (plocha 24,17 · 5/6 ≈ 20,14, ťažisko 87,92). y* = 8,68 · 68,89 + 20,14 · 87,92/8,68 + 20,14 ≈ 82,2 %.

V druhom rohu, 15 °C a 30 %, je príjemne(15) = 15 − 10/17 − 10 = 5/7 ≈ 0,71 a platí len R1; Sugeno dá presne 15 %, ťažisko orezaného „pomaly“ 18,4 %.

Nech stav sústavy je (x, ẋ, θ, θ̇) ∈ ℝ⁴ ako v diele o neuroevolúcii: x je poloha vozíka (m), ẋ jeho rýchlosť (m/s), θ uhol tyče od zvislice (v stupňoch, kladný doprava) a θ̇ uhlová rýchlosť (°/s); krok slučky je Δt = 0,02 s. Nech L = {záporný, nula, kladný} je množina termov. Regulátor je určený týmito údajmi:

1. termy uhla θ: μ_nula je trojuholník (−6, 0, 6), μ_kladný lichobežník (0, 6, 90, 90) — rastie od 0° do 6° a ďalej je 1 —, μ_záporný zrkadlovo lichobežník (−90, −90, −6, 0);
2. termy uhlovej rýchlosti θ̇: rovnaké tvary so 40 namiesto 6 a 900 namiesto 90;
3. pre každú dvojicu termov a, b ∈ L (a pre uhol, b pre rýchlosť) pravidlo so silou w_ab = min(μ_a(θ), μ_b(θ̇)) a konštantným záverom c_ab ∈ {−10, −5, 0, 5, 10} N z tabuľky vyššie;
4. sila na vozík F(θ, θ̇) = max(−10, min(10, ∑_{a, b ∈ L} w_ab c_ab/∑_{a, b ∈ L} w_ab)) N, t. j. výstup Sugena nultého rádu orezaný na [−10; 10] N (keby boli všetky sily nulové, je F = 0).

Uhol: nula(2) = 6 − 2/6 = 2/3, kladný(2) = 2/6 = 1/3. Rýchlosť: nula(10) = 40 − 10/40 = 0,75, kladná(10) = 10/40 = 0,25. Záporné termy sú 0, takže platia štyri pravidlá (farby podľa vzorca Takagi–Sugeno vyššie: w hrá úlohu α_i, c úlohu f_i):

• zvislo a stojí: w = min(2/3; 0,75) = 2/3, záver 0 N,
• zvislo a padá doprava: w = min(2/3; 0,25) = 0,25, záver +5 N,
• doprava a stojí: w = min(1/3; 0,75) = 1/3, záver +5 N,
• doprava a padá doprava: w = min(1/3; 0,25) = 0,25, záver +10 N.

F = 2/3 · 0 + 0,25 · 5 + 1/3 · 5 + 0,25 · 10/2/3 + 0,25 + 1/3 + 0,25 = 5,417/1,5 ≈ 3,61 N

Sila je kladná, mieri teda doprava — vozík ide pod tyč.