Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro

El regulador y la realimentación, fuzzificación, inferencia y defuzzificación, centroide, bisectriz y media de los máximos, el regulador de Takagi–Sugeno, superficies de control y un regulador difuso que mantiene la barra sobre el carro.

14 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 35 de 52

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Qué te llevarás

Cómo un regulador difuso convierte una medición en una acción: fuzzificación, inferencia y defuzzificación.
En qué se diferencian los reguladores de Mamdani y de Sugeno, y por qué el centroide no alcanza los extremos del rango.
Cómo nueve reglas mantienen la barra sobre el carro — y por qué para mantener también el carro necesitan además un término lineal.

Conviene conocer antes: Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES

En 1974, Ebrahim Mamdani estaba en un laboratorio de Londres frente a una pequeña máquina de vapor que no había manera de controlar con los métodos clásicos. Un operador con experiencia, en cambio, la manejaba sin problemas, siguiendo reglas como «si la presión es algo alta y sube, quita un poco de vapor». Mamdani y su estudiante Sedrak Assilian escribieron esas reglas con lógica difusa y las dejaron controlar la máquina. Funcionó. Diez años después, los reguladores difusos controlaban hornos de cemento, y unos años más tarde el metro y las lavadoras. En la entrega anterior aprendimos a evaluar reglas; ahora construiremos con ellas un regulador que dé un único número — y lo pondremos a equilibrar una barra.

Continúa las entregas Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES y Neuroevolución, de donde tomaremos prestado el péndulo invertido sobre un carro.

1. El regulador y la realimentación

Definición — regulador

Un regulador es una aplicación u = R(x) del estado medido del sistema x a la acción de control u. En lazo cerrado, la acción se refleja en el sistema, este cambia, se vuelve a medir y el regulador vuelve a actuar — típicamente entre decenas y miles de veces por segundo.

Dicho de forma sencilla

El termostato mide la temperatura y enciende la calefacción; la temperatura cambia y el termostato la vuelve a medir. El regulador es la regla «qué hacer cuando veo esto». La teoría de control clásica lo diseña a partir de las ecuaciones del sistema. Un regulador difuso lo arma con reglas tal como las diría una persona con experiencia.

Definición — lazo cerrado en tiempo discreto

El ordenador mide y actúa en pasos de duración Δt. El estado x_k en el paso k evoluciona según las ecuaciones del movimiento del sistema F y la acción del regulador:

u_k = R(x_k), x_k+1 = F(x_k, u_k), k = 0, 1, 2, …

El regulador, por tanto, no ve el futuro ni las ecuaciones F — solo la medición actual. En el péndulo del final de la entrega, Δt = 0,02 s, así que un minuto de control son 3 000 pasos del lazo.

2. Los tres pasos de un regulador difuso

Regulador difuso de un ventilador paso a paso

La fuzzificación convierte las mediciones nítidas en grados de pertenencia: 27 °C es «agradable» en 0,2 y «cálido» en 0,83, una humedad del 60 % es «húmedo» en 0,67.
La inferencia evalúa las reglas como mostró la entrega anterior: cada regla tiene una fuerza y recorta su consecuente; los consecuentes se unen con el máximo.
La defuzzificación convierte el conjunto difuso resultante en un único número, que va al motor.

Ejemplo — fuzzificación de 27 °C y 60 %

Los términos de la entrega anterior: agradable es un trapecio (10, 17, 23, 28), cálido un triángulo (22, 28, 34), caluroso un trapecio (30, 36, 40, 40); seco es un trapecio (0, 0, 30, 50), húmedo (40, 70, 100, 100). En el flanco descendente del trapecio (a, b, c, d) es μ(x) = (d − x) / (d − c), en el ascendente (x − a) / (b − a).

agradable(27) = (28 − 27) / (28 − 23) = 1/5 = 0,2,
cálido(27) = (27 − 22) / (28 − 22) = 5/6 ≈ 0,83 (27 está en el flanco ascendente),
frío(27) = caluroso(27) = 0 — 27 queda fuera de sus soportes,
húmedo(60) = (60 − 40) / (70 − 40) = 2/3 ≈ 0,67, seco(60) = 0 (el soporte termina en 50).

La inferencia según Mamdani es una sola fórmula, que compone el conjunto difuso de salida a partir de los consecuentes recortados:

μ_out(y) = max_i min( α_i, μ_{B_i}(y) ), α_i = T(μ_{A_i1}(x₁), …, μ_{A_in}(x_n))

μ_out(y): el conjunto difuso de salida — para cada valor posible de la salida y dice cuánto lo apoyan las reglas; es una función entera, no un número, por eso después tiene que venir todavía la defuzzificación (en la figura de abajo es el área verde)
α_i: la fuerza de la i-ésima regla — la t-norma T (aquí el mínimo) une las condiciones «y»; una regla no puede cumplirse más que su condición más débil
μ_{B_i}(y): el consecuente de la regla, por ejemplo «rápido» — la forma que tendría la salida si la regla se cumpliera por completo
min: el recorte — el consecuente solo puede estar apoyado en la medida en que se cumple el antecedente; así una regla débil da una «meseta» baja
max_i: la unión de las reglas — las reglas se entienden como alternativas («o»), así que un valor y está apoyado tanto como lo apoya la regla más fuerte

Ejemplo — el conjunto de salida del ventilador

Fuerzas de las reglas: R1 (frío o agradable → lento) tiene α₁ = max(0; 0,2) = 0,2; R2 (cálido y seco → medio) min(0,83; 0) = 0; R3 (cálido y húmedo → rápido) min(5/6; 2/3) = 2/3; R4 (caluroso → rápido) 0.

Lento es un trapecio (0, 0, 20, 45), recortado a la altura 0,2: una meseta de 0,2 hasta y = 40 (ahí el flanco descendente (45 − y)/25 baja a 0,2) y después la caída a cero en 45. Rápido es un trapecio (55, 80, 100, 100), recortado en 2/3: el flanco (y − 55)/25 alcanza 2/3 en y = 55 + 25 · 2/3 ≈ 71,67. Resultado:

μ_out(y) = 0,2 en [0; 40], (45 − y)/25 en [40; 45], 0 en [45; 55], (y − 55)/25 en [55; 71,67] y 2/3 en [71,67; 100].

El regulador completo como pseudocódigo, con el eje de salida dividido en una rejilla:

def mamdani(vstup, pravidla, mrizka):        # mrizka = 0; 0,1; …; 100
    sily = []
    for r in pravidla:                          # 1. fuzzificación + fuerza de la regla:
        sily.append(min(                        #    «y» = mínimo, «o» = máximo
            max(mu(t, vstup[prom]) for t in terminy)
            for prom, terminy in r.kdyz))
    vystup = [max(min(a, r.pak(y)) for a, r in zip(sily, pravidla))
              for y in mrizka]                  # 2. recorte y unión con el máximo
    citatel = sum(y * m for y, m in zip(mrizka, vystup))
    jmenovatel = sum(vystup)                    # 3. defuzzificación por centroide
    return citatel / jmenovatel if jmenovatel > 0 else 50

3. Defuzzificación

Definición — métodos de defuzzificación

Para un conjunto difuso de salida con función de pertenencia μ en el intervalo de salidas:

Centroide (centro de gravedad): y* = ∫ y μ(y) dy / ∫ μ(y) dy.
Bisectriz: el y* para el que el área bajo μ a la izquierda es igual que a la derecha.
Media de los máximos: el promedio de los puntos en los que μ alcanza su máximo.

Dicho de forma sencilla

El conjunto resultante es como un montoncito de arena echado sobre el eje de velocidad. El centroide es el punto donde el montoncito quedaría en equilibrio sobre una tabla; la bisectriz lo divide en dos mitades iguales; la media de los máximos solo mira la parte más alta e ignora el resto.

y* = ∫ y · μ(y) dy / ∫ μ(y) dy

y*: la salida nítida — un único número que va al motor, porque el motor no entiende de conjuntos difusos
y: la posición en el eje de velocidad — el «brazo de palanca»; cada valor vota por sí mismo
μ(y): el peso del voto — los valores que las reglas apoyan más tiran del resultado con más fuerza (el área verde de la figura)
∫ μ(y) dy: el área total — al dividir por ella, la suma ponderada se convierte en un promedio ponderado; sin ella, el resultado crecería con el número de reglas que se disparan, no según hacia dónde apuntan

Es exactamente la fórmula del centro de gravedad de un cuerpo en física, solo que la masa la sustituye el grado de pertenencia.

Salida del ventilador para 27 °C y 60 % y tres métodos de defuzzificación centroidebisectrizmedia de los máximos

Para nuestra entrada, el centroide da 65,9 %, la bisectriz 75,3 % y la media de los máximos 85,9 %. La diferencia está en cuánto voto recibe la regla más débil, R1 («lento» con fuerza 0,2): el centroide la tiene en cuenta entera, la media de los máximos nada en absoluto. El centroide es el más usado, porque la salida cambia de forma continua. Pero tiene un defecto: nunca alcanza los extremos del rango. Aunque solo se dispare la regla «rápido», el centroide de su trapecio está en el 83 %, no en el 100 %.

Ejemplo — centroide, bisectriz y media de los máximos a mano

El conjunto de salida del apartado sobre los pasos se compone de rectángulos y triángulos, así que calculamos las integrales a partir de áreas y centroides conocidos (el centroide de un triángulo rectángulo está a un tercio de su lado vertical):

Tramo	Forma	Área	Centroide	Área · centroide
[0; 40]	rectángulo de altura 0,2	8	20	160
[40; 45]	triángulo, descendente	0,5	41,67	20,83
[55; 71,67]	triángulo, ascendente	5,56	66,11	367,28
[71,67; 100]	rectángulo de altura 2/3	18,89	85,83	1 621,30
total		32,94		2 169,41

Centroide: y* = 2 169,41 / 32,94 ≈ 65,85 %. El ordenador en src/fuzzyrizeni.js sustituye la integral por una suma en pasos de 0,1 % y obtiene 65,87 — ambos se redondean a 65,9 %.
Bisectriz: la mitad del área es 16,47. Hasta el punto 71,67 se acumulan 8 + 0,5 + 5,56 = 14,06, faltan 2,41; en la meseta de altura 2/3 eso son 2,41 / (2/3) ≈ 3,62 más allá, es decir, y* ≈ 75,3 %.
Media de los máximos: el máximo 2/3 se da en todo [71,67; 100], el promedio de los extremos es (71,67 + 100)/2 ≈ 85,8 %. El ordenador promedia los puntos de la rejilla desde 71,7 hacia arriba, por eso 85,9 %.

4. Takagi–Sugeno

Defuzzificar por centroide significa calcular una integral — en 1985, en el pequeño procesador de una lavadora o de una cámara, algo caro. Por eso Tomohiro Takagi y Michio Sugeno propusieron reglas que devuelven directamente un número.

Definición — regulador de Takagi–Sugeno

Una regla tiene la forma SI x₁ es A₁ y … y x_n es A_n, ENTONCES y = f(x₁, …, x_n). En el Sugeno de orden cero, f es una constante; en el de primer orden, una función lineal c₀ + c₁x₁ + … + c_nx_n.

La salida es el promedio ponderado de los consecuentes, y los pesos son las fuerzas de las reglas: y* = ∑_i α_i f_i / ∑_i α_i.

Dicho de forma sencilla

Cada regla no dice «la velocidad es rápida» (un conjunto difuso), sino «la velocidad es el 90 %» (un número). El resultado es el promedio de las propuestas de todas las reglas, ponderado por cuánto se cumple cada regla. Ninguna integral, solo unas cuantas multiplicaciones y una división.

Démosle al ventilador las mismas reglas, solo que con consecuentes constantes: lento = 15 %, medio = 50 %, rápido = 90 %. A 27 °C y 60 % de humedad, la salida es (0,2 · 15 + 2/3 · 90) / (0,2 + 2/3) = 63 / 0,867 ≈ 72,7 %.

y* = ∑_i α_i · f_i / ∑_i α_i

y*: la salida nítida — directamente, sin conjunto difuso de salida y sin defuzzificación
α_i: la fuerza de la regla, igual que en Mamdani — determina cuánto voto recibe la regla
f_i: la propuesta de la regla — un número (orden 0) o una función lineal de las entradas (orden 1); sustituye toda la forma de «rápido» por un único representante
∑_i: la suma de los votos de todas las reglas — las reglas que no se cumplen (α_i = 0) aportan cero
∑_i α_i: la normalización — los pesos α_i / ∑ α_k suman 1, así que el resultado es un promedio de las propuestas y no importa con qué fuerza se cumplen todas las reglas juntas

La integral del centroide se ha reducido aquí a una suma sobre las reglas — en lugar de mil puntos de la rejilla, cuatro términos.

Teorema — el Sugeno de orden cero alcanza los extremos

Si se cumple al menos una regla (∑ α_i > 0), la salida del Sugeno de orden cero está entre la menor y la mayor constante de las reglas que se cumplen: min f_i ≤ y* ≤ max f_i. Si solo se cumplen reglas con la misma constante c, entonces y* = c exactamente.

Demostración: sea λ_i = α_i / ∑_k α_k. Entonces λ_i ≥ 0, ∑ λ_i = 1 e y* = ∑ λ_i f_i es una combinación convexa, que no puede salir de [min f_i, max f_i]. Si todos los f_i con λ_i > 0 son iguales a c, entonces y* = c ∑ λ_i = c. ∎

El centroide de Mamdani no tiene esa garantía: incluso el consecuente «rápido» solo y a plena altura tiene el centroide en el 83 %, porque en el promedio entra también su flanco ascendente desde el 55 %.

5. La superficie de control

El regulador es una función de dos variables, así que se puede dibujar entero. Cada casilla es una combinación de temperatura y humedad, y el brillo dice lo rápido que gira el ventilador:

Superficies de control del ventilador: Mamdani y Sugeno

Ambas superficies se parecen — por debajo de 20 °C lento, con calor y humedad rápido — y pasan de forma continua, sin saltos. Se diferencian en los extremos. A 35 °C y 90 % de humedad, Sugeno da exactamente el 90 %, Mamdani solo el 82,2 %; con un fresco de 15 °C, Sugeno da el 15 %, Mamdani el 18,4 %. Ese es el defecto del centroide: el regulador de Mamdani nunca llega a los extremos. En el centro, donde las reglas se solapan, ambos se comportan a su vez de forma distinta, porque promedian propuestas con formas distintas.

Definición — superficie de control

La superficie de control de un regulador con dos entradas es la gráfica de la función R: [0; 40] °C × [0; 100] % → [0; 100] %, es decir, el conjunto {(T, h, R(T, h))}. La figura la evalúa en una rejilla de 41 temperaturas (cada 1 °C) × 26 humedades (cada 4 %).

Ejemplo — una esquina de la superficie: 35 °C y 90 %

caluroso(35) = (35 − 30) / (36 − 30) = 5/6 ≈ 0,83, cálido(35) = 0 (el triángulo termina en 34), agradable y frío son 0. Se cumple una sola regla, R4 (caluroso → rápido), con fuerza 0,83.

Sugeno: y* = 0,83 · 90 / 0,83 = 90 % — exactamente, según el teorema de arriba.
Mamdani: «rápido» recortado en 5/6 es un triángulo en [55; 75,83] (área ½ · 20,83 · 5/6 ≈ 8,68, centroide 55 + ⅔ · 20,83 ≈ 68,89) y un rectángulo en [75,83; 100] (área 24,17 · 5/6 ≈ 20,14, centroide 87,92). y* = (8,68 · 68,89 + 20,14 · 87,92) / (8,68 + 20,14) ≈ 82,2 %.

En la otra esquina, 15 °C y 30 %, agradable(15) = (15 − 10) / (17 − 10) ≈ 0,71 y solo se cumple R1; Sugeno da exactamente el 15 %, el centroide del «lento» recortado el 18,4 %.

6. El péndulo difuso

En la entrega sobre neuroevolución, la barra sobre el carro la equilibraba una red cuyos pesos había encontrado la evolución. Ahora probaremos reglas que escribiría una persona. Las entradas son el ángulo de la barra y su velocidad, ambas con tres términos — negativo, cero y positivo; la salida es una fuerza de −10 a +10 N, con un Sugeno de orden cero:

ángulo \ velocidad angular	cae a la izquierda	quieta	cae a la derecha
inclinada a la izquierda	−10 N	−5 N	0 N
vertical	−5 N	0 N	+5 N
inclinada a la derecha	0 N	+5 N	+10 N

Nueve reglas como «SI la barra está inclinada a la derecha Y cae a la derecha, ENTONCES empuja el carro con fuerza a la derecha». La lógica es la misma que con una escoba sobre la palma de la mano: la mano se mete debajo del palo hacia donde cae.

Definición — regulador difuso del péndulo

El estado es (x, ẋ, θ, θ̇) como en la entrega sobre neuroevolución, con paso de 0,02 s. Términos del ángulo θ (en grados): cero es un triángulo (−6, 0, 6), positivo un trapecio (0, 6, 90, 90) — crece de 0° a 6° y a partir de ahí vale 1 —, negativo de forma simétrica. Los términos de la velocidad angular θ̇ (°/s) tienen la misma forma con 40 en lugar de 6 (y 900 en lugar de 90).

La fuerza de la regla con los términos a (ángulo) y b (velocidad) es w_ab = min(μ_a(θ), μ_b(θ̇)), el consecuente c_ab es el número de la tabla y la fuerza sobre el carro es F = ∑ w_ab c_ab / ∑ w_ab, recortada a [−10; 10] N.

Ejemplo — la barra inclinada 2° y cayendo a 10 °/s hacia la derecha

Ángulo: cero(2) = (6 − 2)/6 = 2/3, positivo(2) = 2/6 = 1/3. Velocidad: cero(10) = (40 − 10)/40 = 0,75, positiva(10) = 10/40 = 0,25. Los términos negativos son 0, así que se cumplen cuatro reglas:

vertical y quieta: w = min(2/3; 0,75) = 2/3, consecuente 0 N,
vertical y cae a la derecha: w = min(2/3; 0,25) = 0,25, consecuente +5 N,
a la derecha y quieta: w = min(1/3; 0,75) = 1/3, consecuente +5 N,
a la derecha y cae a la derecha: w = min(1/3; 0,25) = 0,25, consecuente +10 N.

F = (2/3 · 0 + 0,25 · 5 + 1/3 · 5 + 0,25 · 10) / (2/3 + 0,25 + 1/3 + 0,25) = 5,417 / 1,5 ≈ 3,61 N hacia la derecha — el carro se mete debajo de la barra.

Regulador difuso del péndulo: los primeros 24 segundos

La barra se mantiene en pie — al cabo de unos segundos el ángulo es prácticamente nulo. Pero el carro se va desplazando poco a poco, porque las reglas no dicen nada del carro, y a los 22 segundos se sale del carril. Desde los tres inicios de la entrega sobre neuroevolución, el regulador aguantó 22, 12,9 y 15,7 s.

Lo arreglamos con un Sugeno de primer orden: a cada constante de la tabla le sumamos 1 · x + 2 · ẋ, donde x es la posición del carro y ẋ su velocidad. Ahora el regulador mantiene la barra desde los tres inicios durante un minuto entero, y el carro se aleja del centro como mucho 0,58 m. Lo interesante es el signo: cuando el carro se desplaza hacia la derecha, el regulador lo empuja todavía más a la derecha. Con eso la barra se inclina a la izquierda — y las reglas sobre la barra se llevan entonces el carro de vuelta. Los signos opuestos «intuitivos», que empujarían el carro directamente hacia el centro, tiran la barra en menos de cinco segundos. Las reglas de un operador con experiencia son valiosas precisamente porque codifican una experiencia que a un profano no se le ocurriría.

F = ∑ w_ab c_ab / ∑ w_ab + k_x x + k_v ẋ

F: la fuerza sobre el carro (antes de recortarla a ±10 N)
∑ w_ab c_ab / ∑ w_ab: el Sugeno de orden cero original — nueve reglas sobre la barra; mantiene la barra vertical, pero no sabe nada del carro
k_x x: la reacción a la posición del carro, k_x = 1 N/m — sin ella, el carro se saldría del carril impunemente; el signo positivo parece mandar el carro hacia fuera, pero así inclina la barra hacia dentro y las reglas sobre la barra devuelven luego el carro
k_v ẋ: la reacción a la velocidad del carro, k_v = 2 N·s/m — la amortiguación; solo con la posición (k_v = 0), el carro oscila alrededor del centro cada vez más y desde los tres inicios se sale del carril al cabo de 32 a 53 s

Por qué se puede sacar factor común la parte lineal: cada consecuente es c_ab + k_xx + k_vẋ con las mismas k, y el promedio ponderado de la constante k_xx + k_vẋ es ella misma (los pesos suman 1).

En el ejemplo de arriba, con el carro 0,3 m a la derecha y moviéndose a 0,1 m/s hacia la derecha, sale por tanto F = 3,61 + 1 · 0,3 + 2 · 0,1 ≈ 4,11 N.

7. ¿Mamdani o Sugeno?

	Mamdani	Sugeno
Consecuente de la regla	conjunto difuso («rápido»)	número o función lineal
Salida	defuzzificación, normalmente por centroide	promedio ponderado
Cálculo	integral sobre la salida	unas cuantas multiplicaciones
Legibilidad	reglas como frases	números en los consecuentes
Extremos del rango	el centroide no los alcanza	los alcanza
Aprendizaje a partir de datos	difícil	los parámetros de los consecuentes se pueden ajustar — ver ANFIS

Mamdani encaja donde las reglas las escriben y las leen personas. Sugeno, donde importa la velocidad de cálculo y donde queremos ajustar el regulador a partir de datos medidos — de eso trata la última entrega del módulo.

8. Reguladores difusos en la práctica

El horno de cemento de la empresa danesa F. L. Smidth fue, hacia 1980, una de las primeras aplicaciones industriales — el horno es difícil de modelar, pero los operadores lo controlaban por experiencia.
El metro de Sendai (1987) arranca y frena según reglas difusas; la marcha es más suave y el fabricante declaraba también un ahorro de energía.
Electrodomésticos. Hacia 1990, empresas japonesas ofrecían lavadoras que elegían el programa según la turbidez del agua y la cantidad de ropa, y cámaras con enfoque y estabilización de imagen difusos.
Hoy, la mayor parte del control industrial la llevan reguladores PID y el control predictivo. Las reglas difusas se usan más bien «por encima de ellos» — cambian los ajustes según el modo de funcionamiento — y allí donde vale más anotar rápido la experiencia que construir un modelo preciso.

9. Resumen

Un regulador difuso tiene tres pasos: fuzzificación, inferencia según las reglas y defuzzificación.
La defuzzificación convierte el conjunto difuso de salida en un número; para el ventilador, el centroide da 65,9 %, la bisectriz 75,3 % y la media de los máximos 85,9 %.
Sugeno tiene en los consecuentes números o funciones lineales, y la salida es un promedio ponderado — 72,7 % para la misma entrada, sin integral.
La superficie de control muestra todo el regulador de una vez; el centroide nunca alcanza los extremos del rango.
Nueve reglas sobre la barra la mantienen en pie, pero el carro se escapa; un Sugeno de primer orden con la posición y la velocidad del carro mantiene ambos durante un minuto entero.

¿Quieres probarlo tú mismo? Pide a un agente de IA que escriba un termostato difuso para una habitación simulada con retardo de la calefacción, y comprueba cuántas reglas bastan para que la temperatura no oscile.

¿Lo ves de otra manera? Escribe a support@coden-app.com.

Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro

1. El regulador y la realimentación

2. Los tres pasos de un regulador difuso

3. Defuzzificación

4. Takagi–Sugeno

5. La superficie de control

6. El péndulo difuso

7. ¿Mamdani o Sugeno?

8. Reguladores difusos en la práctica

9. Resumen

Un Agente en tu ordenador, controlado desde el móvil