Náhodná premenná a distribučná funkcia: jedna funkcia, ktorá o rozdelení povie všetko

Nech Ω je neprázdna množina (priestor výsledkov náhodného pokusu, pozri diel Čo je pravdepodobnosť) a 2^Ω množina všetkých jej podmnožín. Systém 𝓕 ⊆ 2^Ω je σ-algebra práve vtedy, keď

1. Ω ∈ 𝓕;
2. ak A ∈ 𝓕, tak A^c = Ω ∖ A ∈ 𝓕;
3. ak A₁, A₂, … ∈ 𝓕, tak ⋃_i=1^∞ A_i ∈ 𝓕.

Nech 𝓕 ⊆ 2^Ω je σ-algebra; jej prvky nazývame javy. Funkcia P : 𝓕 → ℝ je pravdepodobnosť práve vtedy, keď spĺňa Kolmogorovove axiómy:

1. P(A) ≥ 0 pre každé A ∈ 𝓕;
2. P(Ω) = 1;
3. pre každú postupnosť A₁, A₂, … ∈ 𝓕 s A_i ∩ A_j = ∅ pre všetky i ≠ j platí P(⋃_i=1^∞ A_i) = ∑_i=1^∞ P(A_i).

Pravdepodobnostný priestor je trojica

(Ω, 𝓕, P),

kde Ω je neprázdna množina, 𝓕 ⊆ 2^Ω je σ-algebra a P : 𝓕 → ℝ je pravdepodobnosť. Z axióm vyplýva 0 ≤ P(A) ≤ 1 pre každé A ∈ 𝓕, takže P zobrazuje do [0, 1].

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor. Náhodná premenná je funkcia X : Ω → ℝ, ktorá spĺňa

∀x ∈ ℝ :   {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ∈ 𝓕.

Funkcia X je teda náhodná premenná práve vtedy, keď pre každé reálne x je množina výsledkov, pri ktorých X vyjde najviac x, jav. Namiesto {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} píšeme skrátene {X ≤ x} a namiesto P({X ≤ x}) len P(X ≤ x); obdobne {X = x}, {X ∈ B} atď.

Zápis {S ≤ 3} je skratka za {ω ∈ Ω : S(ω) ≤ 3} — množinu výsledkov, ktoré funkcia S pošle na číslo najviac 3 (hovorí sa jej vzor intervalu (−∞, 3]).

Pri dvoch kockách je javom každá množina výsledkov, takže podmienka z definície je splnená automaticky.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor a X : Ω → ℝ náhodná premenná. Označme 𝓑 borelovskú σ-algebru na ℝ — najmenšiu σ-algebru podmnožín ℝ, ktorá obsahuje všetky intervaly (−∞, x], x ∈ ℝ (obsahuje potom aj všetky ostatné intervaly, jednobodové množiny a ich spočítateľné zjednotenia). Z definície náhodnej premennej vyplýva {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ 𝓕 pre každé B ∈ 𝓑. Rozdelenie náhodnej premennej X je funkcia P_X : 𝓑 → [0, 1],

P_X(B) = P(X ∈ B) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B})   pre B ∈ 𝓑.

P_X je pravdepodobnosť na (ℝ, 𝓑), t. j. (ℝ, 𝓑, P_X) je pravdepodobnostný priestor. Rozdelenie teda každej množine čísel B priradí pravdepodobnosť, že hodnota X padne do B.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor a X diskrétna náhodná premenná (definícia v časti Diskrétne a spojité premenné), t. j. existuje najviac spočítateľná množina H ⊆ ℝ s P(X ∈ H) = 1. Pravdepodobnostná funkcia premennej X je funkcia p_X : ℝ → [0, 1],

p_X(x) = P(X = x) = P({ω ∈ Ω : X(ω) = x}).

Rozdelenie je ňou určené celé: pre každé B ∈ 𝓑 platí P(X ∈ B) = ∑_{x ∈ B ∩ H} p_X(x) — sčítame cez možné hodnoty, ktoré ležia v B (javy {X = x} sú nezlučiteľné a je ich najviac spočítateľne veľa, takže to vyplýva z aditivity).

Súčet s = a + b dajú dvojice (a, s − a) s oboma číslami medzi 1 a 6. Pre s ≤ 7 ich je s − 1, pre s ≥ 7 ich je 13 − s; dokopy

Počet šestiek N: žiadna šestka znamená 5 možností na každej kocke, 5 · 5 = 25; práve jedna šestka 2 · 5 = 10 (šestka na prvej alebo na druhej, na tej druhej jedno z 5 iných čísel); dve šestky 1. Kontrola: 25 + 10 + 1 = 36.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor a X : Ω → ℝ náhodná premenná. Distribučná funkcia premennej X je funkcia F_X : ℝ → [0, 1],

F_X(x) = P(X ≤ x) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x})   pre x ∈ ℝ.

Pravdepodobnosť na pravej strane existuje, pretože podľa definície náhodnej premennej je {X ≤ x} ∈ 𝓕. Hodnota F_X(x) je teda pravdepodobnosť, že X vyjde najviac x. Kde je jasné, o ktorú premennú ide, píšeme len F.

Nech X a Y sú náhodné premenné (môžu byť definované aj na rôznych pravdepodobnostných priestoroch) s rozdeleniami P_X, P_Y a distribučnými funkciami F_X, F_Y. Potom

(∀B ∈ 𝓑 : P_X(B) = P_Y(B))   ⇔   (∀x ∈ ℝ : F_X(x) = F_Y(x)).

Dve náhodné premenné teda majú rovnaké rozdelenie práve vtedy, keď majú rovnakú distribučnú funkciu.

Nech X je náhodná premenná a F = F_X : ℝ → [0, 1] jej distribučná funkcia. Potom

1. F je neklesajúca: ∀x, y ∈ ℝ : x ≤ y ⇒ F(x) ≤ F(y);
2. lim_x→−∞ F(x) = 0 a lim_x→+∞ F(x) = 1;
3. F je sprava spojitá: ∀x ∈ ℝ : lim_y→x⁺ F(y) = F(x).

A naopak: ak je G : ℝ → ℝ ľubovoľná funkcia s vlastnosťami 1–3, tak existuje pravdepodobnostný priestor a na ňom náhodná premenná X taká, že F_X = G.

Nech X je náhodná premenná s distribučnou funkciou F a a, b ∈ ℝ, a < b. Potom

P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a),

kde {a < X ≤ b} = {ω ∈ Ω : a < X(ω) ≤ b}. Dôkaz je pod rozborom vzorca nižšie.

Nech X je náhodná premenná s distribučnou funkciou F a x ∈ ℝ. Označme F(x⁻) = lim_y→x⁻ F(y) limitu zľava (existuje, pretože F je neklesajúca a ohraničená). Potom F(x⁻) = P(X < x) a

P(X = x) = F(x) − F(x⁻).

Dôkaz. Pre y < x je F(x) − F(y) = P(y < X ≤ x); keď y rastie k x, intervaly sa zmršťujú na jediný bod {x} a ich pravdepodobnosti klesajú k P(X = x) (spojitosť pravdepodobnosti, vyplýva zo spočítateľnej aditivity). ∎

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor a X : Ω → ℝ náhodná premenná. X je diskrétna práve vtedy, keď existuje najviac spočítateľná (konečná alebo spočítateľná) množina H = {x₁, x₂, …} ⊆ ℝ navzájom rôznych čísel taká, že

P(X ∈ H) = ∑_i P(X = x_i) = 1.

Diskrétna premenná teda s pravdepodobnosťou 1 nadobúda len hodnoty z nejakého konečného alebo spočítateľného zoznamu.

Nech X je náhodná premenná s distribučnou funkciou F_X : ℝ → [0, 1]. X je spojitá práve vtedy, keď je F_X spojitá v každom bode, t. j.

∀x ∈ ℝ :   lim_y→x F_X(y) = F_X(x).

Podľa vety o výške skoku je potom P(X = x) = F_X(x) − F_X(x⁻) = 0 pre každé x ∈ ℝ. (Niektoré učebnice hovoria „spojitá“ len premennej, ktorá má hustotu — tá je témou budúceho dielu; taká premenná je spojitá aj v tomto zmysle.)

Nech a, b ∈ ℝ, a < b, a X je náhodná premenná s distribučnou funkciou F. X má rovnomerné rozdelenie na intervale [a, b] práve vtedy, keď pre každé x ∈ ℝ

F(x) = 0   pre x < a,    F(x) = x − a/b − a   pre a ≤ x ≤ b,    F(x) = 1   pre x > b.

Pravdepodobnosť, že X padne do podintervalu [a, b], je teda jeho dĺžka delená dĺžkou [a, b].

Jav {X = 3} leží v každom intervale (3 − ε, 3], nech je ε > 0 akokoľvek malé. Pravdepodobnosť podmnožiny nemôže byť väčšia:

Jediné číslo, ktoré je ≥ 0 a zároveň menšie než každé kladné ε/10, je nula.

Nech n ∈ ℕ, n ≥ 1, a x₁, …, x_n ∈ ℝ sú namerané hodnoty (môžu sa opakovať). Pre konečnú množinu M označuje |M| počet jej prvkov. Empirická distribučná funkcia týchto hodnôt je funkcia F̂_n : ℝ → [0, 1],

F̂_n(x) = |{i ∈ {1, …, n} : x_i ≤ x}|/n   pre x ∈ ℝ.

F̂_n(x) je teda podiel nameraných hodnôt, ktoré sú najviac x.

Simulácia dala (zoradené, zaokrúhlené na stotiny minúty) 0,03; 2,81; 4,26; 5,27; 6,13; 6,27; 7,21; 9,68; 9,81; 9,95.

Medzi 7,21 a 9,68 nepadlo žiadne meranie, schodisko tam stojí na 0,7, zatiaľ čo skutočná F stúpa ďalej — preto je odchýlka najväčšia práve tam.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor, F distribučná funkcia a X₁, X₂, … : Ω → ℝ náhodné premenné, ktoré

1. majú všetky distribučnú funkciu F: F_Xi = F pre každé i ≥ 1;
2. sú nezávislé: pre každé n ≥ 1 a všetky x₁, …, x_n ∈ ℝ platí P(X₁ ≤ x₁, …, X_n ≤ x_n) = F(x₁) · … · F(x_n) (porov. nezávislé javy v diele Podmienená pravdepodobnosť).

Pre n ≥ 1 a ω ∈ Ω nech F̂_n je empirická distribučná funkcia hodnôt X₁(ω), …, X_n(ω) a

D_n = sup_{x ∈ ℝ} |F̂_n(x) − F(x)|.

Potom P(lim_n→∞ D_n = 0) = 1, t. j. s pravdepodobnosťou 1 platí D_n → 0 pre n → ∞.

Ako rýchlo, hovorí nerovnosť Dvoreckého, Kiefera a Wolfowitza (1956) s konštantou 2, ktorú dokázal P. Massart (1990): za rovnakých predpokladov pre každé n ≥ 1 a každé ε > 0 platí

P(D_n > ε) ≤ 2 exp(−2nε²).

Nech F : ℝ → [0, 1] je distribučná funkcia (nejakej náhodnej premennej). Kvantilová funkcia (zovšeobecnená inverzia F) je funkcia F⁻¹ : (0, 1) → ℝ,

F⁻¹(u) = min {x ∈ ℝ : F(x) ≥ u}   pre u ∈ (0, 1).

Minimum existuje: množina {x ∈ ℝ : F(x) ≥ u} je neprázdna (pretože F(x) → 1 > u pre x → +∞), zdola ohraničená (pretože F(x) → 0 < u pre x → −∞) a vďaka monotónnosti a spojitosti F sprava je to interval tvaru [c, ∞), ktorý svoje infimum c obsahuje.

Pre u ∈ (0, 1) je hodnota F⁻¹(u) u-kvantil rozdelenia s distribučnou funkciou F; F⁻¹(0,5) je medián. Kvantil je teda najmenšie číslo, pre ktoré je pravdepodobnosť „najviac toľko“ aspoň u.

Nech F : ℝ → [0, 1] je distribučná funkcia, F⁻¹ : (0, 1) → ℝ jej kvantilová funkcia a U : Ω → (0, 1) náhodná premenná s rovnomerným rozdelením na [0, 1] (hodnoty 0 a 1 majú pravdepodobnosť 0, takže ich smieme vynechať). Potom X = F⁻¹ ∘ U, t. j. X(ω) = F⁻¹(U(ω)), je náhodná premenná a

F_X(x) = F(x)   pre každé x ∈ ℝ.

Dôkaz. Z definície minima a monotónnosti F vyplýva F⁻¹(u) ≤ x ⇔ u ≤ F(x). Preto P(X ≤ x) = P(U ≤ F(x)) = F(x), pretože pri rovnomernom U je P(U ≤ t) = t. ∎