Čo je pravdepodobnosť: od hodu kockou ku Kolmogorovovým axiómam

Náhodný pokus, priestor výsledkov, javy a operácie s nimi, klasická a početnostná pravdepodobnosť a axiómy, na ktorých stojí všetko ďalšie — na príklade dvoch kociek.

12 minút Matěj Žalmánek 2026-10-15

Séria Základy AI Diel 12 z 52

Celá osnova série Hotovo: 52 z 83 tém

Čo si odnesiete

Čo je náhodný pokus, priestor výsledkov a jav — a prečo sú javy množiny.
Ako počíta klasická pravdepodobnosť a prečo sa relatívna početnosť s počtom pokusov ustáli.
Tri Kolmogorovove axiómy a pravidlá, ktoré z nich vyplývajú: opačný jav a zjednotenie.

Čo sa hodí vedieť vopred: Množiny a relácie: stavebnica, z ktorej sa skladajú definície v AI

Jazykový model nevyberá ďalšie slovo, ale pravdepodobnosti všetkých slov. Klasifikátor nehovorí „je to mačka“, ale „s pravdepodobnosťou 0,93 je to mačka“. Celé strojové učenie je postavené na počítaní s neistotou — a pravdepodobnosť je jazyk, ktorým sa o neistote hovorí presne.

V škole sa pravdepodobnosť väčšinou definuje ako „počet priaznivých prípadov delený počtom všetkých“. To je dobrý začiatok, ale nestačí. V tomto diele pôjdeme od náhodného pokusu cez javy až k presnej definícii, na ktorej stojí všetko ďalšie. Všetky príklady sú na dvoch kockách. Pomôže vám poznať diel o množinách — javy sú totiž množiny.

1. Náhodný pokus a priestor výsledkov

Definícia — náhodný pokus

Náhodný pokus je dej, ktorý spĺňa tri podmienky:

jeho výsledok nie je vopred jednoznačne určený — z podmienok pokusu ho nevieme vypočítať;
množina všetkých výsledkov, ktoré môžu nastať, je vopred známa;
dá sa (aspoň v myšlienkach) ľubovoľne veľakrát opakovať za rovnakých podmienok a jednotlivé opakovania sa navzájom neovplyvňujú.

Je to východiskový pojem, ktorý matematika ďalej nerozkladá: v teórii ho zastupuje jeho priestor výsledkov (ďalšia definícia) a všetko ostatné sa definuje pomocou neho.

Laicky povedané

Hod kockou, hod mincou, vytiahnutie karty, ale aj „ktorý e-mail príde ako ďalší“ alebo „aké slovo napíše človek“. Nevieme, čo padne, ale vieme, čo padnúť môže.

Definícia — priestor výsledkov

Nech je daný náhodný pokus. Jeho priestor výsledkov je neprázdna množina Ω, ktorej prvky zodpovedajú možným výsledkom pokusu tak, že

každý možný výsledok pokusu zodpovedá nejakému prvku ω ∈ Ω (zoznam je úplný),
každý výsledok zodpovedá práve jednému prvku Ω — dva rôzne prvky nemôžu nastať zároveň (výsledky sa navzájom vylučujú).

Prvky ω ∈ Ω nazývame elementárne výsledky.

Laicky povedané

Priestor výsledkov je úplný zoznam všetkého, čo sa môže stať. Pri jednej kocke je to Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pri dvoch kockách, ktoré rozlíšime (prvá a druhá), sú to všetky dvojice (prvá, druhá), teda Ω = {1, …, 6} × {1, …, 6} = {(a, b) : a, b ∈ {1, …, 6}} — 6 · 6 = 36 výsledkov.

2. Javy

Definícia — jav

Nech Ω je priestor výsledkov náhodného pokusu. Jav je ľubovoľná množina A taká, že A ⊆ Ω.

Nech pokus skončil výsledkom ω ∈ Ω. Hovoríme, že jav A nastal práve vtedy, keď ω ∈ A, a že nenastal práve vtedy, keď ω ∉ A.

Laicky povedané

Jav je otázka, na ktorú sa dá po pokuse odpovedať áno, alebo nie: „padol súčet 7?“ Ako množinu ho zapíšeme vymenovaním výsledkov, pri ktorých je odpoveď áno: {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.

Definícia — istý a nemožný jav

Nech Ω je priestor výsledkov. Istý jav je jav Ω (celý priestor výsledkov). Nemožný jav je jav ∅ (prázdna množina).

Pre každý výsledok ω ∈ Ω platí ω ∈ Ω a ω ∉ ∅ — istý jav teda nastane pri každom výsledku pokusu a nemožný jav pri žiadnom.

Laicky povedané

„Súčet je medzi 2 a 12“ je istý jav — inak to dopadnúť nemôže. „Súčet je 13“ je nemožný jav.

Na mriežke je všetkých 36 výsledkov dvoch kociek; riadok je prvá kocka, stĺpec druhá a číslo v políčku je súčet. Vyfarbené sú dva javy: A = „súčet je 7“ = {(a, b) ∈ Ω : a + b = 7} a B = „aspoň na jednej kocke padla šestka“ = {(a, b) ∈ Ω : a = 6 ∨ b = 6}:

36 výsledkov hodu dvoma kockami len A (súčet 7): 6 len B (aspoň jedna šestka): 11 A aj B zároveň: 2

Jav A má 6 výsledkov, jav B 11. Dva výsledky, (1, 6) a (6, 1), patria do oboch — v mriežke sú fialové.

3. Operácie s javmi

Keďže javy sú množiny, skladajú sa rovnakými operáciami ako množiny. Každá operácia má ale aj prirodzený význam v slovách. Vo všetkých definíciách tejto časti je Ω priestor výsledkov a ∨ znamená „alebo“ (aspoň jedno z tvrdení platí), ∧ „a zároveň“:

Definícia — zjednotenie javov

Nech Ω je priestor výsledkov a A, B ⊆ Ω sú javy. Zjednotenie javov A a B je jav

A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B}.

Jav A ∪ B teda nastane práve vtedy, keď nastane A, alebo nastane B, alebo nastanú oba.

Laicky povedané

„Padol súčet 7, alebo aspoň jedna šestka“ — v mriežke všetky vyfarbené políčka dohromady, je ich 15.

Definícia — prienik javov

Nech Ω je priestor výsledkov a A, B ⊆ Ω sú javy. Prienik javov A a B je jav

A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B}.

Jav A ∩ B teda nastane práve vtedy, keď nastanú A aj B zároveň.

Laicky povedané

„Súčet je 7 a zároveň padla šestka“ — to ide len ako (1, 6) alebo (6, 1), v mriežke dve fialové políčka.

Definícia — opačný jav

Nech Ω je priestor výsledkov a A ⊆ Ω je jav. Opačný jav (doplnok) k javu A je jav

A^c = Ω ∖ A = {ω ∈ Ω : ω ∉ A}.

Jav A^c teda nastane práve vtedy, keď A nenastane.

Laicky povedané

Opačný jav k „aspoň jedna šestka“ je „žiadna šestka“ — v mriežke všetky políčka mimo posledného riadka a stĺpca, 5 · 5 = 25.

Definícia — nezlučiteľné javy

Nech Ω je priestor výsledkov a A, B ⊆ Ω sú javy. Javy A a B sú nezlučiteľné (disjunktné) práve vtedy, keď

A ∩ B = ∅,

t. j. neexistuje výsledok ω ∈ Ω, pri ktorom by nastali oba. Javy A₁, A₂, … ⊆ Ω (konečne či spočítateľne veľa) sú navzájom nezlučiteľné práve vtedy, keď A_i ∩ A_j = ∅ pre všetky i ≠ j.

Laicky povedané

„Súčet je 7“ a „padol dublet“ (obe kocky rovnako) nemôžu nastať zároveň — súčet dvoch rovnakých čísel je vždy párny.

4. Klasická pravdepodobnosť

Definícia — klasická pravdepodobnosť (Laplace)

Nech Ω je konečná neprázdna množina elementárnych výsledkov, ktoré sú rovnako možné (žiadny nemá dôvod nastávať častejšie než iný). Pre konečnú množinu M označme |M| počet jej prvkov. Klasická pravdepodobnosť javu A ⊆ Ω je číslo

P(A) = |A|/|Ω|.

Laicky povedané

Keď má každý výsledok rovnakú šancu, stačí spočítať, koľko výsledkov je „za“, a vydeliť počtom všetkých. Súčet 7 má 6 priaznivých výsledkov z 36, takže P(A) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167 (farby zodpovedajú členom vzorca nižšie).

P(A) = |A|/|Ω|

P(A): pravdepodobnosť javu — číslo medzi 0 a 1, ktorým meriame, akú veľkú časť možností jav zaberá
|A|: počet priaznivých výsledkov (prvkov množiny A) — počítame výsledky, nie „druhy“ výsledkov; preto je pri kockách potrebné rozlíšiť prvú a druhú
|Ω|: počet všetkých výsledkov — delením z počtu urobíme podiel, takže istý jav dostane 1 a výsledok nezávisí od toho, aký veľký je priestor

Platí len vtedy, keď sú všetky výsledky v Ω rovnako možné — inak by sa každý započítal rovnakou váhou neprávom.

Háčik je v slovách „rovnako možné“. Pri súčte dvoch kociek nie sú rovnako možné súčty — súčet 2 padne len ako (1, 1), súčet 7 šiestimi spôsobmi. Preto počítame dvojice, nie súčty. A pri mnohých skutočných javoch rovnako možné výsledky vôbec nemáme: aká je pravdepodobnosť, že zajtra bude pršať, alebo že e-mail je spam? Tam klasická definícia nepomôže.

Príklad — pravdepodobnosti všetkých súčtov dvoch kociek

Súčet s padne tými dvojicami (a, b), pre ktoré b = s − a a obe čísla sú od 1 do 6, teda max(1, s − 6) ≤ a ≤ min(6, s − 1). Takých a je 6 − |s − 7| — rozdelenie je súmerné okolo 7, takže súčty s a 14 − s majú rovnako výsledkov:

súčet `s`	2, 12	3, 11	4, 10	5, 9	6, 8	7
\|`A`_s\|	1	2	3	4	5	6
`P`(`A`_s)	0,028	0,056	0,083	0,111	0,139	0,167

Kontrola: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 — každý výsledok má práve jeden súčet, takže javy „súčet s“ rozdelia Ω na nezlučiteľné časti. Keby sme za rovnako možné brali súčty, dostal by každý 1/11 ≈ 0,091 — súčet 2 by potom padal 36/11 ≈ 3,3-krát častejšie, než v skutočnosti padá, a súčet 7 takmer o polovicu menej často (0,091 namiesto 0,167).

5. Pravdepodobnosť ako dlhodobá početnosť

Definícia — relatívna početnosť

Nech Ω je priestor výsledkov náhodného pokusu, A ⊆ Ω jav a n ∈ ℕ, n ≥ 1. Pokus opakujme n-krát za rovnakých podmienok a nech ω₁, …, ω_n ∈ Ω sú výsledky jednotlivých opakovaní. Označme

n_A = |{i ∈ {1, …, n} : ω_i ∈ A}|

počet opakovaní, v ktorých jav A nastal (zrejme 0 ≤ n_A ≤ n). Relatívna početnosť javu A v týchto n opakovaniach je číslo

f_n(A) = n_A/n ∈ [0, 1].

Laicky povedané

Relatívna početnosť je to, čo skutočne vyšlo: hodili ste mincou desaťkrát, sedemkrát padol líc — relatívna početnosť je 7/10 = 0,7.

Pri malom počte pokusov skáče relatívna početnosť sem a tam. Keď však pokusov pribúda, ustáli sa. Tu sú štyri nezávislé simulácie hodov mincou:

Relatívna početnosť lícov sa s počtom hodov ustáli okolo 0,5

Prvá simulácia mala po 10 hodoch 70 % lícov, po 100 hodoch 40 %, po 1000 hodoch 49,4 % a po 10 000 hodoch 49,92 %. Pravdepodobnosť sa dá chápať ako číslo, ku ktorému sa relatívna početnosť blíži — presne to neskôr sformuluje zákon veľkých čísel. Takto sa odhadujú pravdepodobnosti zo skutočných dát: koľko e-mailov s daným slovom bolo spam, koľkokrát po slove „dobrý“ nasledovalo „deň“.

Simulácia na obrázku je jednoduchý algoritmus — opakovať pokus a priebežne počítať relatívnu početnosť:

def relativni_cetnost(pokus, jev, n):
    n_A = 0
    for _ in range(n):
        vysledek = pokus()          # napr. náhodne líc, alebo rub
        if jev(vysledek):           # nastal jav A?
            n_A += 1
    return n_A / n                  # odhad P(A)

Príklad — aké veľké kolísanie je normálne

Bez dôkazu (odvodíme ho v diele o rozptyle a o limitných vetách): relatívna početnosť javu s pravdepodobnosťou p sa po n nezávislých pokusoch typicky líši od p zhruba o

σ_n = √p(1 − p)/n

σ_n: smerodajná odchýlka relatívnej početnosti — „typická“ vzdialenosť od p; asi v dvoch tretinách opakovaní je odchýlka menšia
p(1 − p): rozptyl jedného pokusu — najväčší pre p = ½ (minca), nulový pre istý alebo nemožný jav, kde nemá čo kolísať
n: počet pokusov — náhodné odchýlky jednotlivých pokusov sa v priemere čiastočne vyrušia, preto kolísanie klesá; pod odmocninou, takže desaťkrát presnejší odhad stojí stokrát viac pokusov

minca, p = 1/2: σ_n = √0,5 · 0,5/n = 0,5/√n

n = 10: 0,158, n = 100: 0,05, n = 1000: 0,016, n = 10 000: 0,005

prvá simulácia sa od 0,5 líšila o 0,2; 0,1; 0,006; 0,0008 (tie isté n)

Odchýlky simulácie sú rovnakého rádu ako σ_n; po 100 hodoch je to s 0,1 dvojnásobok — nezvyčajné, ale nijako výnimočné.

6. Kolmogorovove axiómy

Klasická definícia potrebuje rovnako možné výsledky, početnostná nekonečne veľa pokusov. Andrej Kolmogorov v roku 1933 definoval pravdepodobnosť inak: nehovorí, ako ju vypočítať, len aké pravidlá musí spĺňať. Každý z predchádzajúcich pohľadov je potom len jedným zo spôsobov, ako pravidlá naplniť.

Definícia — pravdepodobnosť (Kolmogorovove axiómy)

Nech Ω je priestor výsledkov a 𝓕 systém javov, ktorým chceme priradiť pravdepodobnosť (𝓕 je množina podmnožín Ω s vlastnosťami σ-algebry, pozri definíciu pravdepodobnostného priestoru nižšie). Pravdepodobnosť je funkcia P : 𝓕 → ℝ, ktorá spĺňa tieto tri axiómy:

nezápornosť: pre každé A ∈ 𝓕 platí P(A) ≥ 0;
normovanosť: P(Ω) = 1;
(spočítateľná) aditivita: pre každú postupnosť javov A₁, A₂, … ∈ 𝓕, ktoré sú navzájom nezlučiteľné (A_i ∩ A_j = ∅ pre i ≠ j), platí P(⋃_i=1^∞ A_i) = ∑_i=1^∞ P(A_i).

Pre konečne veľa javov A₁, …, A_m vyplýva aditivita z axiómy 3 voľbou A_m+1 = A_m+2 = … = ∅ (na to je potrebné P(∅) = 0, odvodené nižšie).

Laicky povedané

Tri rozumné pravidlá. Pravdepodobnosť nie je nikdy záporná. Niečo sa stať musí, takže celý priestor má pravdepodobnosť 1. A keď sa dve veci navzájom vylučujú, šanca, že nastane jedna alebo druhá, je súčet ich šancí. Všetko ostatné z toho už vyplýva.

Definícia — pravdepodobnostný priestor

Nech Ω je neprázdna množina. Systém 𝓕 podmnožín Ω (t. j. 𝓕 ⊆ 2^Ω, kde 2^Ω je množina všetkých podmnožín Ω) je σ-algebra práve vtedy, keď

Ω ∈ 𝓕;
ak A ∈ 𝓕, potom A^c = Ω ∖ A ∈ 𝓕;
ak A₁, A₂, … ∈ 𝓕, potom ⋃_i=1^∞ A_i ∈ 𝓕.

Pravdepodobnostný priestor je trojica (Ω, 𝓕, P), kde Ω je priestor výsledkov, 𝓕 ⊆ 2^Ω je σ-algebra (jej prvky sú javy) a P : 𝓕 → ℝ je pravdepodobnosť, t. j. spĺňa Kolmogorovove axiómy. Z axióm a viet nižšie vyplýva, že P nadobúda len hodnoty z [0, 1].

Ak je Ω konečný, berie sa zvyčajne 𝓕 = 2^Ω (každá podmnožina je jav) — pri dvoch kockách je javov 2³⁶ ≈ 6,9 · 10¹⁰. Pri nespočítateľných Ω (napríklad „náhodné číslo z intervalu [0, 1]“) to nejde: všetkým podmnožinám intervalu nemožno priradiť pravdepodobnosť v súlade s axiómami, a 𝓕 preto musí byť menšia σ-algebra.

Definícia — rozdelenie pravdepodobnosti na konečnom priestore

Nech Ω je konečná neprázdna množina. Rozdelenie pravdepodobnosti na Ω je funkcia p : Ω → ℝ, ktorá spĺňa

p(ω) ≥ 0 pre každé ω ∈ Ω,
∑_{ω ∈ Ω} p(ω) = 1.

Pravdepodobnosť javu A ⊆ Ω je potom definovaná ako súčet cez výsledky, ktoré doň patria (pre A = ∅ je súčet prázdny a rovná sa 0):

P(A) = ∑_{ω ∈ A} p(ω)

P(A): pravdepodobnosť javu — množiny výsledkov
∑_{ω ∈ A}: súčet len cez výsledky, pri ktorých jav nastane — jav je zjednotenie svojich jednoprvkových javov {ω}, tie sú nezlučiteľné, a aditivita teda dovoľuje sčítavať
p(ω): pravdepodobnosť jedného výsledku — nemusí byť pre všetky rovnaká; tým sa definícia zbavuje požiadavky „rovnako možných“ výsledkov

Takto definované P spĺňa všetky tri axiómy: súčet nezáporných čísel je nezáporný, súčet cez celé Ω je 1 a súčet cez zjednotenie disjunktných množín je súčet čiastkových súčtov.

Veta — klasická pravdepodobnosť je špeciálny prípad

Nech Ω je konečná neprázdna množina a p(ω) = 1/|Ω| pre všetky ω ∈ Ω. Potom p je rozdelenie pravdepodobnosti a pre každý jav A ⊆ Ω platí P(A) = |A|/|Ω|.

Dôkaz. p(ω) = 1/|Ω| > 0 a ∑_{ω ∈ Ω} 1/|Ω| = |Ω| · 1/|Ω| = 1, takže p je rozdelenie. Ďalej P(A) = ∑_{ω ∈ A} 1/|Ω| = |A| · 1/|Ω| = |A|/|Ω| — presne Laplaceov vzorec. Klasická pravdepodobnosť teda axiómy spĺňa. ∎

Falošná kocka, na ktorej šestka padá s pravdepodobnosťou 0,25 a ostatné čísla každé s 0,15, je tiež rozdelenie (5 · 0,15 + 0,25 = 1) — len už nie klasické: P(párne číslo) = 0,15 + 0,15 + 0,25 = 0,55, nie 3/6.

Laicky povedané

Rozdelenie pravdepodobnosti je tabuľka „výsledok → šanca“, v ktorej sú čísla nezáporné a dajú dohromady 1. Šanca javu je súčet riadkov, pri ktorých nastane. Presne takú tabuľku vracia jazykový model pre ďalšie slovo — len má desaťtisíce riadkov.

7. Pravidlá, ktoré z axióm vyplývajú

Veta — pravdepodobnosť opačného javu

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor a A ∈ 𝓕. Potom P(A^c) = 1 − P(A). Špeciálne P(∅) = 0 a 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dôkaz. A a A^c sú nezlučiteľné a A ∪ A^c = Ω. Z aditivity a normovanosti P(A) + P(A^c) = P(Ω) = 1. Pre A = Ω je A^c = ∅, takže P(∅) = 1 − 1 = 0. A keďže P(A^c) ≥ 0 (nezápornosť), je P(A) = 1 − P(A^c) ≤ 1. ∎

Laicky povedané

Často je jednoduchšie spočítať opak. „Aspoň jedna šestka“ má opak „žiadna šestka“, ktorý má 25 výsledkov z 36. Takže P(aspoň jedna šestka) = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,306.

Veta — pravdepodobnosť zjednotenia

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor a A, B ∈ 𝓕 ľubovoľné javy. Potom P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Dôkaz. Rozdelíme na nezlučiteľné časti: A ∪ B = A ∪ (B ∖ A) a B = (B ∖ A) ∪ (A ∩ B). Z aditivity P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∖ A) a P(B ∖ A) = P(B) − P(A ∩ B). Dosadením dostaneme vzorec. ∎

Laicky povedané

Keď sčítate javy, ktoré sa prekrývajú, započítate spoločnú časť dvakrát — a raz ju musíte odčítať. Pre súčet 7 alebo šestku: 6/36 + 11/36 − 2/36 = 15/36 (farby podľa vzorca nižšie). Presne toľko vyfarbených políčok je v mriežke.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B): šanca, že nastane aspoň jeden z javov — v príklade 15/36 (súčet 7 alebo šestka)
P(A): všetky výsledky z A, vrátane spoločných — 6/36
P(B): všetky výsledky z B, opäť vrátane spoločných — 11/36; spoločné výsledky sú teraz započítané druhýkrát
P(A ∩ B): oprava dvojitého započítania — spoločné výsledky (1, 6) a (6, 1) odčítame raz, 2/36. Pri nezlučiteľných javoch je nula a zostane prostá aditivita

6/36 + 11/36 − 2/36 = 15/36 ≈ 0,417.

8. Pravdepodobnosť v umelej inteligencii

Klasifikátory vracajú pravdepodobnosti tried; softmax z dielu o klasifikácii zaistí, že sú nezáporné a dajú súčet 1 — presne podľa axióm.
Jazykové modely sú rozdelenia pravdepodobnosti nad ďalším slovom. Pri písaní textu z neho losujú.
Odhad z dát je relatívna početnosť: model sa učí pravdepodobnosti, ktoré „vyšli“ v trénovacích dátach.
Neistota — dobrý model vie, keď si nie je istý. Pravdepodobnosti 0,51 a 0,99 dávajú rovnakú triedu, ale úplne inú mieru dôvery.

Ako softmax z ľubovoľných skóre z₁, …, z_K (môžu byť aj záporné) urobí rozdelenie pravdepodobnosti na K triedach:

p_i = e^z_i/∑_k=1^K e^z_k

p_i: pravdepodobnosť triedy i — jeden riadok tabuľky rozdelenia
e^z_i: exponenciála skóre — je vždy kladná, tým je splnená nezápornosť; a zachová poradie, takže vyššie skóre dá vyššiu pravdepodobnosť
∑ e^z_k: súčet cez všetky triedy — delením sa čísla „preškálujú“ tak, aby dali dohromady 1; tým je splnená normovanosť

Aditivitu netreba riešiť zvlášť: pravdepodobnosť skupiny tried sa vypočíta súčtom, ako pri každom rozdelení na konečnom priestore.

skóre z = (2; 1; 0,1): e² ≈ 7,389, e¹ ≈ 2,718, e^0,1 ≈ 1,105, súčet ≈ 11,213

p ≈ (7,389/11,213; 2,718/11,213; 1,105/11,213) ≈ (0,659; 0,242; 0,099), 0,659 + 0,242 + 0,099 = 1

Ďalší diel ukáže, ako pravdepodobnosť zmeniť, keď sa dozvieme niečo nové — podmienenú pravdepodobnosť a Bayesovu vetu.

9. Zhrnutie

Náhodný pokus má priestor výsledkov Ω; jav je podmnožina Ω.
Javy sa skladajú ako množiny: zjednotenie je „alebo“, prienik „a zároveň“, opačný jav „nie“.
Klasická pravdepodobnosť je |A|/|Ω|, priaznivé delené možnými — len pre rovnako možné výsledky.
Relatívna početnosť sa s počtom pokusov ustáli; pravdepodobnosť je číslo, ku ktorému sa blíži.
Kolmogorovove axiómy: nezápornosť, P(Ω) = 1 a sčítanie pre nezlučiteľné javy. Z nich vyplýva pravidlo pre opačný jav aj vzorec pre zjednotenie.

Máte na to iný názor? Napíšte na support@coden-app.com.

Čo je pravdepodobnosť: od hodu kockou ku Kolmogorovovým axiómam

1. Náhodný pokus a priestor výsledkov

2. Javy

3. Operácie s javmi

4. Klasická pravdepodobnosť

5. Pravdepodobnosť ako dlhodobá početnosť

6. Kolmogorovove axiómy

7. Pravidlá, ktoré z axióm vyplývajú

8. Pravdepodobnosť v umelej inteligencii

9. Zhrnutie

Agent na vašom počítači, ovládaný z telefónu