Prehľad pravdepodobnostných rozdelení: Bernoulliho, binomické, Poissonovo, rovnomerné, normálne a exponenciálne

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor, X : Ω → ℝ je náhodná premenná a p ∈ [0, 1]. Pre x ∈ ℝ píšeme P(X = x) ako skratku za P({ω ∈ Ω : X(ω) = x}). Premenná X má Bernoulliho rozdelenie s parametrom p, píšeme X ~ Be(p), práve vtedy, keď

P(X = 1) = p   ∧   P(X = 0) = 1 − p.

Keďže p + (1 − p) = 1, nadobúda X s pravdepodobnosťou 1 len hodnoty 0 a 1: hodnotu 1 („úspech“) s pravdepodobnosťou p, hodnotu 0 („neúspech“) s pravdepodobnosťou 1 − p.

Pre p = 0,5 by vyšlo 0,25 — viac to pri premennej s hodnotami 0 a 1 nejde, pretože p(1 − p) je parabola s vrcholom v 0,5.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor, X : Ω → ℝ náhodná premenná, n ∈ ℕ, n ≥ 1, a p ∈ [0, 1]. Pre k ∈ {0, 1, …, n} označme

(n nad k) = n!/k! · (n − k)!

kombinačné číslo (počet k-prvkových podmnožín n-prvkovej množiny; m! = 1 · 2 · … · m a 0! = 1). Premenná X má binomické rozdelenie s parametrami n a p, píšeme X ~ Bi(n, p), práve vtedy, keď

∀k ∈ {0, 1, …, n} :   P(X = k) = (n nad k) · p^k · (1 − p)^n−k.

Podľa binomickej vety sa tieto pravdepodobnosti sčítajú na (p + 1 − p)ⁿ = 1, takže X s pravdepodobnosťou 1 nadobúda len hodnoty 0, 1, …, n. Bi(1, p) je to isté ako Be(p).

Farby zodpovedajú členom vzorca vyššie. Pri minci je p = 1 − p = 0,5, takže druhý a tretí člen dajú pre každé k rovnaké 1/1024 a o všetkom rozhoduje kombinačné číslo.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor, X : Ω → ℝ náhodná premenná a λ ∈ ℝ, λ > 0. Označme ℕ₀ = {0, 1, 2, …}. Premenná X má Poissonovo rozdelenie s parametrom λ, píšeme X ~ Po(λ), práve vtedy, keď

∀k ∈ ℕ₀ :   P(X = k) = e^−λ · λ^k/k!.

Keďže ∑_k=0^∞ λ^k/k! = e^λ, sčítajú sa tieto pravdepodobnosti na 1 a X s pravdepodobnosťou 1 nadobúda len hodnoty z ℕ₀.

Farby zodpovedajú členom vzorca vyššie. Každá ďalšia pravdepodobnosť je predchádzajúca krát λ/k. Kým je k < λ, rastie, potom klesá — pre celé λ sú preto dve najpravdepodobnejšie hodnoty λ − 1 a λ.

Nech λ ∈ ℝ, λ > 0, a k ∈ ℕ₀ sú pevné. Pre každé n ∈ ℕ, n > λ, nech X_n ~ Bi(n, λ/n) (podmienka n > λ zaručí λ/n ∈ [0, 1]). Potom

lim_n→∞ P(X_n = k) = e^−λ · λ^k/k!.

Dôkaz. Pre n ≥ k rozložíme binomickú pravdepodobnosť s p = λ/n na štyri činitele:

Nech P, Q : ℤ → [0, 1] sú dve rozdelenia pravdepodobnosti na množine celých čísel ℤ, t. j. ∑_{k ∈ ℤ} P(k) = ∑_{k ∈ ℤ} Q(k) = 1, a pre A ⊆ ℤ označme P(A) = ∑_{k ∈ A} P(k) a Q(A) = ∑_{k ∈ A} Q(k). Celková odchýlka (total variation distance) rozdelení P a Q je číslo

d(P, Q) = 1/2 · ∑_{k ∈ ℤ} |P(k) − Q(k)| ∈ [0, 1].

Platí d(P, Q) = max_{A ⊆ ℤ} |P(A) − Q(A)| a maximum sa nadobúda pre A = {k ∈ ℤ : P(k) > Q(k)}. Celková odchýlka je teda najväčší rozdiel, aký môžu obe rozdelenia dať pravdepodobnostiam tej istej udalosti. Polovica je tam preto, že čo jednému rozdeleniu pri niektorých k prebýva, to mu inde chýba — bez nej by sme každý rozdiel počítali dvakrát.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor, X : Ω → ℝ náhodná premenná a a, b ∈ ℝ, a < b. Premenná X má rovnomerné rozdelenie na intervale [a, b], píšeme X ~ R(a, b), práve vtedy, keď má hustotu f : ℝ → [0, ∞),

f(x) = 1/b − a pre x ∈ [a, b],   f(x) = 0 pre x ∉ [a, b].

T. j. pre každé x ∈ ℝ je P(X ≤ x) = ∫_−∞^x f(t) dt; pravdepodobnosť každého podintervalu [c, d] ⊆ [a, b] je potom d − c/b − a a závisí len od jeho dĺžky.

Pravdepodobnosť úseku je jeho dĺžka krát výška 1/b − a: že budete čakať dlhšie než 7 minút, je 10 − 7/10 = 0,3.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor, X : Ω → ℝ náhodná premenná, μ ∈ ℝ a σ ∈ ℝ, σ > 0. Pre y ∈ ℝ píšeme exp(y) = e^y. Premenná X má normálne (Gaussovo) rozdelenie s parametrami μ a σ², píšeme X ~ N(μ, σ²), práve vtedy, keď má hustotu f : ℝ → (0, ∞),

f(x) = 1/σ√2π · exp(−(x − μ)²/2σ²),   x ∈ ℝ.

Parameter μ je potom stredná hodnota a σ² rozptyl premennej X (σ je jej smerodajná odchýlka).

Farby zodpovedajú členom vzorca vyššie.

O dve σ ďalej je hustota e⁻² ≈ 7,4-krát nižšia. Hustota nie je pravdepodobnosť: medzi 175 a 176 cm meria približne 0,057 · 1 cm ≈ 5,7 % mužov.

Normálne rozdelenie N(0, 1), t. j. s parametrami μ = 0 a σ = 1, sa nazýva normované normálne rozdelenie. Jeho hustotu označujeme φ : ℝ → (0, ∞),

φ(z) = 1/√2π · exp(−z²/2),   z ∈ ℝ.

Štandardizácia. Nech μ ∈ ℝ, σ > 0 a X ~ N(μ, σ²). Potom náhodná premenná

Z = X − μ/σ   spĺňa   Z ~ N(0, 1).

Nech Z ~ N(0, 1) a φ je hustota normovaného normálneho rozdelenia. Distribučná funkcia normovaného normálneho rozdelenia je funkcia Φ : ℝ → (0, 1),

Φ(z) = P(Z ≤ z) = ∫_−∞^z φ(t) dt = ∫_−∞^z 1/√2π · exp(−t²/2) dt,   z ∈ ℝ.

Nech μ ∈ ℝ, σ > 0 a X ~ N(μ, σ²). Zo štandardizácie a zo symetrie φ(−t) = φ(t) potom pre každé x ∈ ℝ a každé k > 0 platí

P(X ≤ x) = Φ(x − μ/σ),   P(|X − μ| < kσ) = Φ(k) − Φ(−k) = 2Φ(k) − 1.

Vstup: funkcia f : [a, b] → ℝ (v každom bode vyčísliteľná), hranice a, b ∈ ℝ, a < b, a párne číslo n ∈ ℕ, n ≥ 2 (počet dielikov).

Výstup: číslo S_n ∈ ℝ, približná hodnota integrálu ∫_a^b f(x) dx.

Kroky:

1. Šírka dielika: h = b − a/n.
2. Deliace body: x_i = a + ih pre i = 0, 1, …, n (takže x₀ = a, x_n = b).
3. Na každej dvojici susedných dielikov [x_2j, x_2j+2], j = 0, …, n/2 − 1, nahradíme f parabolou prechádzajúcou tromi bodmi (x_2j, f(x_2j)), (x_2j+1, f(x_2j+1)), (x_2j+2, f(x_2j+2)) a sčítame plochy pod parabolami; vyjde S_n = h/3 · [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(x_n−1) + f(x_n)], t. j. vnútorné body s nepárnym indexom majú váhu 4, s párnym indexom váhu 2 a krajné body váhu 1.
4. Vrátime S_n.

Zastavenie: algoritmus skončí vždy, po vyčíslení f v n + 1 bodoch. Presnosť sa volí vopred počtom dielikov n; pre f so spojitou štvrtou deriváciou klesá chyba úmerne h⁴.

simpson(f, a, b, n):                     # n párne
    h ← (b − a) / n
    s ← f(a) + f(b)
    pre i = 1 … n − 1:
        s ← s + (4, ak je i nepárne, inak 2) · f(a + i·h)
    vráť s · h / 3

φ je hustota N(0, 1). Už s dvoma dielikmi je chyba len asi 1 percentuálny bod a ďalej klesá so štvrtou mocninou šírky dielika h — dvakrát viac dielikov ju zmenší zhruba šestnásťkrát.

Nech (Ω, 𝓕, P) je pravdepodobnostný priestor, X : Ω → ℝ náhodná premenná a λ ∈ ℝ, λ > 0. Premenná X má exponenciálne rozdelenie s parametrom (intenzitou) λ, píšeme X ~ Exp(λ), práve vtedy, keď má hustotu f : ℝ → [0, ∞),

f(x) = λ e^−λx pre x ≥ 0,   f(x) = 0 pre x < 0.

Ekvivalentne má X distribučnú funkciu F(x) = 1 − e^−λx pre x ≥ 0 a F(x) = 0 pre x < 0.

Nech λ > 0, X ~ Exp(λ) a s, t ∈ ℝ, s, t ≥ 0. Potom P(X > s) > 0, podmienená pravdepodobnosť nižšie je teda definovaná, a platí

P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

Dôkaz. P(X > x) = ∫_x^∞ λe^−λu du = e^−λx. Jav „X > s + t“ je časťou javu „X > s“, takže podľa definície podmienenej pravdepodobnosti