Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»

El límite nítido y la paradoja del montón, conjunto difuso y grado de pertenencia, formas de las funciones de pertenencia, variable lingüística, soporte, núcleo y cortes α, operaciones de Zadeh y los modificadores «muy» y «algo» — con la temperatura, de frío a caluroso.

12 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 32 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

¿Cuántos granos de arena forman un montón? Un millón, seguro. Uno, seguro que no. Y si a un montón le quitas un grano, sigue siendo un montón — así que, según esa lógica, también un solo grano sería un montón. Esta paradoja ya la conocían los antiguos griegos y muestra que muchas de las palabras con las que hablamos del mundo no tienen un límite nítido: alto, cálido, rápido, casi lleno. Las matemáticas clásicas las manejan mal, porque un elemento o pertenece a un conjunto, o no pertenece. En 1965, Lotfi Zadeh, de la Universidad de California en Berkeley, propuso una solución sencilla: permitir que un elemento pertenezca a un conjunto un poco.

Con esta entrega empieza el módulo de lógica difusa. Continúa las entregas Conjuntos y relaciones y Funciones y aplicaciones.

1. El límite nítido y su problema

Definición — función característica

Un conjunto clásico (nítido) A ⊆ X queda determinado de forma única por su función característica χ_A : X → {0, 1}, donde χ_A(x) = 1 para x ∈ A y 0 en otro caso.

2. Conjunto difuso

Definición — conjunto difuso (Zadeh, 1965)

Un conjunto difuso A sobre el universo X está dado por una función de pertenencia μ_A : X → [0, 1]. El número μ_A(x) es el grado de pertenencia del elemento x a A; formalmente, A = {(x, μ_A(x)) : x ∈ X}.

Un conjunto nítido es el caso particular en que μ_A solo toma los valores 0 y 1.

Lo importante es lo que el grado de pertenencia no es: no es una probabilidad. Que 25 °C sea «cálido» en 0,5 no significa que haya un cincuenta por ciento de probabilidades de que haga calor. La temperatura se conoce con exactitud; lo impreciso es la palabra. La diferencia entre la vaguedad de una palabra y la incertidumbre del azar es el tema de la próxima entrega.

3. Formas de las funciones de pertenencia

Definición — funciones de pertenencia habituales

• Triangular con parámetros a < b < c: crece linealmente de 0 en a a 1 en b y baja a 0 en c.
• Trapezoidal con parámetros a ≤ b ≤ c ≤ d: crece de a a b, entre b y c vale 1, baja hasta d.
• Gaussiana: μ(x) = e^{−(x − m)2 / 2s2} — una colina suave con centro m y anchura s.
• Sigmoidal: μ(x) = 1 / (1 + e^{−a(x − c)}) — una transición suave de 0 a 1 alrededor del punto c.

μ(x) = max( 0, min( (x − a) / (b − a), (c − x) / (c − b) ) )

(x − a) / (b − a)

flanco izquierdo — una recta que vale 0 en a y 1 en b; dividir por la longitud b − a garantiza que el vértice salga exactamente 1, sea cual sea la anchura

(c − x) / (c − b)

flanco derecho — en espejo: en b vale 1, en c vale 0

min

elige el flanco que en ese momento está más bajo — a la izquierda de b el flanco derecho está por encima de 1, a la derecha de b lo está el izquierdo; así el mínimo «corta» el pico exactamente en b

max(0, …)

fuera del intervalo (a; c) los flancos saldrían negativos; pero el grado de pertenencia no puede bajar de 0

def trojuhelnik(a, b, c):
    return lambda x: max(0.0, min((x - a) / (b - a), (c - x) / (c - b)))

def lichobeznik(a, b, c, d):
    def mu(x):
        if x < a or x > d:
            return 0.0
        if x < b:
            return (x - a) / (b - a)
        return 1.0 if x <= c else (d - x) / (d - c)
    return mu

teplo = trojuhelnik(22, 28, 34)
print(teplo(25), teplo(28), teplo(31))   # 0.5 1.0 0.5

4. Variable lingüística

Definición — variable lingüística (Zadeh, 1975)

Una variable lingüística es una variable cuyos valores son palabras. Está dada por un nombre (por ejemplo, «temperatura»), un universo X (0–40 °C) y un conjunto de términos (frío, agradable, cálido, caluroso), cada uno de los cuales es un conjunto difuso sobre X.

Nuestra temperatura tiene cuatro términos: frío es un trapecio (0, 0, 6, 14), agradable un trapecio (10, 17, 23, 28), cálido un triángulo (22, 28, 34) y caluroso un trapecio (30, 36, 40, 40). La línea vertical salta entre las temperaturas de ejemplo:

• 12 °C es «frío» en 0,25 y «agradable» en 0,29 — una primavera fresca en la que no hay manera de decidirse.
• 25 °C es «agradable» en 0,6 y «cálido» en 0,5.
• 31 °C es «cálido» en 0,5 y ya también «caluroso» en 0,17.

Ejemplo — pertenencias paso a paso

En cada flanco basta la razón entre «cuánto se ha recorrido ya del flanco» y «cuánto mide el flanco»:

12 °C, frío (0, 0, 6, 14) en el flanco descendente: (14 − 12) / (14 − 6) = 2/8 = 0,25

12 °C, agradable (10, 17, 23, 28) en el flanco ascendente: (12 − 10) / (17 − 10) = 2/7 ≈ 0,29

25 °C, agradable en el flanco descendente: (28 − 25) / (28 − 23) = 3/5 = 0,6

25 °C, cálido (22, 28, 34) en el flanco ascendente: (25 − 22) / (28 − 22) = 3/6 = 0,5

31 °C, cálido en el flanco descendente: (34 − 31) / (34 − 28) = 3/6 = 0,5

31 °C, caluroso (30, 36, 40, 40) en el flanco ascendente: (31 − 30) / (36 − 30) = 1/6 ≈ 0,17

Los demás términos tienen pertenencia 0 en estas temperaturas — la temperatura queda fuera de su soporte.

Fíjate en que las pertenencias de una misma temperatura no tienen por qué sumar 1 (en 25 °C dan 1,1). Los conjuntos difusos no son partes de un todo, sino respuestas independientes a las preguntas «¿hace frío?», «¿es agradable?»…

5. Soporte, núcleo y cortes α

Definición — soporte, núcleo, altura, corte α

• El soporte (support) es {x : μ_A(x) > 0} — los elementos que pertenecen a A al menos un poco.
• El núcleo (core) es {x : μ_A(x) = 1} — los elementos que pertenecen por completo.
• La altura es sup_x μ_A(x); un conjunto de altura 1 es normal.
• El corte α para α ∈ (0, 1] es el conjunto nítido A_α = {x : μ_A(x) ≥ α}. Un conjunto difuso es convexo cuando todos sus cortes α son intervalos.

Para «agradable», el soporte es el intervalo abierto (10; 28), el núcleo [17; 23] y el corte α de nivel 0,5 el intervalo [13,5; 25,5]. El conjunto es normal (altura 1) y convexo — como todos nuestros términos. (El supremo sup de la definición de altura es la menor cota superior de los valores; para nuestras funciones continuas en un intervalo cerrado es simplemente el máximo).

A_α = [ a + α (b − a) ;  d − α (d − c) ]

α

nivel del corte (en la figura, la línea ámbar) — cuánta pertenencia exigimos; cuanto más alto, más hay que alejarse de los bordes, y el corte se estrecha

a

borde izquierdo del soporte — desde aquí sube el flanco izquierdo; con α → 0 el corte empieza justo aquí

(b − a)

anchura del flanco izquierdo — en él la pertenencia sube de 0 a 1, así que alcanza el nivel α tras recorrer la fracción α de esta anchura

d

borde derecho del soporte — desde aquí se mide hacia atrás, hacia la izquierda

(d − c)

anchura del flanco derecho — en espejo: desde d recorremos hacia la izquierda la fracción α de esta anchura

Ejemplo — cortes α del término «agradable» (10, 17, 23, 28)

α = 0,5: [10 + 0,5 · 7; 28 − 0,5 · 5] = [13,5; 25,5]

α = 0,8: [10 + 0,8 · 7; 28 − 0,8 · 5] = [15,6; 24]

α = 1: [10 + 7; 28 − 5] = [17; 23] = núcleo

Los cortes encajan unos dentro de otros: cuanto mayor es α, menor es el intervalo, y cada corte superior queda dentro del inferior. El conjunto difuso se recompone como μ_A(x) = sup {α : x ∈ A_α} — la pertenencia de un punto es el corte más alto en el que todavía cae.

Cuando la función de pertenencia no está dada por una fórmula, sino, por ejemplo, por puntos medidos, el corte α se calcula sobre una malla fina. Exactamente así lo hace el programa que dibuja las figuras de esta entrega:

def alfa_rez(mu, alfa, od=0.0, do=40.0, kroku=4000):
    body = [od + i * (do - od) / kroku for i in range(kroku + 1)]
    uvnitr = [x for x in body if mu(x) >= alfa]
    return (uvnitr[0], uvnitr[-1]) if uvnitr else None   # en un conjunto convexo, un intervalo

prijemne = lichobeznik(10, 17, 23, 28)
print(alfa_rez(prijemne, 0.5))    # (13.5, 25.5)

6. Complemento, intersección y unión

Definición — operaciones de Zadeh

μ_¬A(x) = 1 − μ_A(x),   μ_{A ∩ B}(x) = min(μ_A(x), μ_B(x)),   μ_{A ∪ B}(x) = max(μ_A(x), μ_B(x)).

Para conjuntos nítidos, estas fórmulas dan exactamente el complemento, la intersección y la unión clásicos.

A 25 °C, «agradable y cálido» vale 0,5 y «agradable o cálido» 0,6. La intersección alcanza como máximo 0,545 hacia los 25,3 °C, donde las dos curvas se cruzan — ninguna temperatura es ambas cosas por completo.

μ_{P ∩ T}(x) = min( μ_P(x), μ_T(x) )

μ_P(x)

cuánto es la temperatura x «agradable» (en la figura, la curva verde)

μ_T(x)

cuánto es «cálida» (la curva ámbar) — las dos pertenencias se calculan de forma independiente, cada una con su función

min

«y a la vez» puede ser como mucho tan verdadero como la parte más débil — si fuera más, afirmaríamos de la temperatura más de lo que soporta una de las dos palabras; y para los valores 0 y 1, min da exactamente el «y» clásico

Ejemplo — dónde es máxima la intersección

Entre 23 y 28 °C, agradable baja y cálido sube, así que el mínimo es máximo donde se cortan las curvas:

(28 − x) / 5 = (x − 22) / 6

6 (28 − x) = 5 (x − 22)  ⇒  168 − 6x = 5x − 110  ⇒  x = 278/11 ≈ 25,27 °C

μ = (28 − 278/11) / 5 = 6/11 ≈ 0,545

A la izquierda del punto de corte, cálido es menor; a la derecha, agradable — allí el mínimo siempre baja.

Aquí los conjuntos difusos se diferencian de los clásicos en algo fundamental. Cumplen casi todas las reglas conocidas — conmutatividad, asociatividad, leyes de De Morgan —, pero no la ley del tercero excluido. La intersección A ∩ ¬A no tiene por qué ser vacía: «agradable y a la vez no agradable» vale 0,5 a 13,5 °C. Para palabras imprecisas es lo correcto — de una temperatura que es agradable a medias se puede decir a la vez, a medias, que no es agradable. Otras formas de intersección y unión (las llamadas t-normas) llegarán en la entrega sobre lógica difusa.

Teorema — las leyes de De Morgan se cumplen, el tercero excluido no

Para conjuntos difusos cualesquiera A, B sobre X y todo x ∈ X, con las operaciones de Zadeh se cumple

1. ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B y ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B,
2. μ_{A ∩ ¬A}(x) ≤ ½ y μ_{A ∪ ¬A}(x) ≥ ½, con igualdad si y solo si μ_A(x) = ½.

Demostración. (1) Sean p = μ_A(x), q = μ_B(x) y, sin pérdida de generalidad, p ≤ q. Entonces 1 − min(p, q) = 1 − p, y como 1 − p ≥ 1 − q, también max(1 − p, 1 − q) = 1 − p. La segunda ley, igual, con min y max intercambiados.

(2) Los números p y 1 − p suman 1, así que el menor de ellos es como mucho ½ y el mayor al menos ½. ∎

La ley clásica del tercero excluido exige A ∪ ¬A = X, es decir, el valor 1 en todas partes. En un conjunto difuso solo se cumple donde μ_A vale 0 o 1; lo peor ocurre en los puntos con pertenencia ½ — para «agradable», a 13,5 y 25,5 °C, donde A ∩ ¬A y A ∪ ¬A valen ambos 0,5.

Comprobación con números: a 25 °C, ¬(P ∩ T) = 1 − min(0,6; 0,5) = 0,5 y ¬P ∪ ¬T = max(0,4; 0,5) = 0,5.

7. Muy cálido, algo cálido

Definición — modificadores lingüísticos (Zadeh, 1972)

Concentración («muy»): μ_{muy A}(x) = μ_A(x)². Dilatación («algo», «más o menos»): μ_{algo A}(x) = √μ_A(x).

Definición — inclusión de conjuntos difusos

Un conjunto difuso A es subconjunto de B (A ⊆ B) cuando μ_A(x) ≤ μ_B(x) para todo x ∈ X. Para conjuntos nítidos es la inclusión habitual: donde χ_A = 1, también tiene que ser χ_B = 1.

μ(x)² ≤ μ(x) ≤ √μ(x)   para μ(x) ∈ [0, 1]

μ²

«muy» (la curva roja) — multiplicar por un número que es como mucho 1 nunca agranda, así que el cuadrado queda por debajo de la curva original; quita más en los valores intermedios y deja el cero y el uno

μ

«cálido» sin más (la curva ámbar) — el término de partida, al que los modificadores solo cambian la forma; ni el soporte ni el núcleo cambian

√μ

«algo» (la curva violeta) — la raíz cuadrada es la inversa del cuadrado, así que levanta lo que el cuadrado aplasta: √0,25 = 0,5

Ejemplo — cuánto estrecha «muy» y cuánto ensancha «algo»

El corte α de nivel 0,5 para «cálido» (22, 28, 34) es [25; 31]. Para los términos modificados basta con traducir el nivel de vuelta a la μ original:

muy cálido: μ² ≥ 0,5  ⇔  μ ≥ √0,5 ≈ 0,707  →  [22 + 0,707 · 6; 34 − 0,707 · 6] ≈ [26,24; 29,76]

algo cálido: √μ ≥ 0,5  ⇔  μ ≥ 0,25  →  [22 + 0,25 · 6; 34 − 0,25 · 6] = [23,5; 32,5]

El intervalo «al menos a medias» mide 6 °C para cálido, unos 3,5 °C para muy cálido y 9 °C para algo cálido.

8. Los conjuntos difusos en la práctica

• Control difuso. El metro de la ciudad japonesa de Sendai funciona desde 1987 con un controlador difuso que arranca y frena con más suavidad que una persona. Hacia 1990 llegó en Japón una oleada de lavadoras, cámaras y aires acondicionados difusos. Cómo funciona un controlador así lo explica la entrega sobre control difuso.
• Procesamiento de imágenes y agrupamiento. Un píxel en la frontera entre dos regiones puede pertenecer un poco a ambas; el agrupamiento difuso asigna los puntos a varios clusters a la vez.
• Aprendizaje automático. Las salidas suaves de los clasificadores o la técnica label smoothing (en lugar de un «es un gato» seguro, el objetivo «gato en 0,9») no son conjuntos difusos en el sentido de Zadeh, pero comparten con ellos la idea de que la pertenencia a una clase no tiene por qué ser solo 0 o 1.
• Lenguaje. Los modelos de lenguaje trabajan a diario con palabras como «bastante», «casi» o «más bien no». Los conjuntos difusos son una de las pocas herramientas que dan a esas palabras un significado preciso y comprobable.

9. Resumen

• Un conjunto difuso asigna a cada elemento un grado de pertenencia del intervalo [0, 1]; un conjunto nítido es el caso particular con valores 0 y 1.
• Las funciones de pertenencia suelen tener forma de triángulo, trapecio, colina gaussiana o sigmoide.
• Una variable lingüística tiene palabras como valores — términos que pueden solaparse; 25 °C es «agradable» en 0,6 y «cálido» en 0,5.
• El soporte, el núcleo y los cortes α describen la forma de un conjunto difuso mediante conjuntos nítidos.
• El complemento es 1 − μ, la intersección el mínimo y la unión el máximo; no se cumple la ley del tercero excluido. El modificador «muy» es μ², «algo» √μ.

¿Quieres probarlo por tu cuenta? Pide a un agente de IA que dibuje funciones de pertenencia para las palabras con las que describes tu día — «pronto», «tarde», «mucho rato» — y pregunta a unas cuantas personas dónde pondrían ellas el límite.

¿Lo ves de otra manera? Escribe a support@coden-app.com.