Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA

Ensembles, sous-ensembles, opérations, produit cartésien, relations, équivalences et ordres — avec des diagrammes de Venn, la matrice d’une relation et ce à quoi tout cela sert en intelligence artificielle.

13 minutes Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Bases de l’IA Partie 5 sur 52

1. Carte de l’intelligence artificielle : qu’est-ce qui est quoi et comment tout s’emboîte
2. Brève histoire de l’intelligence artificielle : de Turing aux modèles de langage
3. Données, modèle, entraînement, inférence : les notions de base sur un seul exemple
4. Lire la notation mathématique : symboles, indices, sommes et quantificateurs
5. Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA
6. Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction
7. Logique et démonstrations : les règles selon lesquelles on raisonne en IA
8. Graphes et arbres : la structure sur laquelle reposent la recherche et les réseaux de neurones
9. Algèbre linéaire pour l’apprentissage automatique : vecteurs, matrices et pourquoi l’IA multiplie surtout
10. Dérivées, gradient et règle de dérivation en chaîne : comment un modèle sait dans quelle direction apprendre
11. Descente de gradient : comment un modèle apprend
12. Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov
13. Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau
14. Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi
15. Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point
16. Espérance, variance et covariance : où se situe une loi, quelle est sa largeur et ce qui varie avec quoi
17. Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle
18. Loi des grands nombres et théorème central limite : pourquoi les moyennes sont si prévisibles
19. Statistique et estimation de paramètres : maximum de vraisemblance, MAP et intervalles de confiance
20. Théorie de l’information : entropie, entropie croisée et divergence KL — d’où viennent les fonctions de perte
21. Recherche dans l’espace d’états : BFS, DFS, UCS et A* en animations
22. Jeux et adversaires : minimax, élagage alpha-bêta et Monte Carlo tree search
23. Satisfaction de contraintes : backtracking, propagation de contraintes et AC-3 sur un sudoku et une carte des régions tchèques
24. Logique et systèmes à base de connaissances : chaînage avant et arrière, résolution et systèmes experts
25. Planification : STRIPS, monde des blocs, heuristiques par relaxation et planification dans les agents IA
26. Recherche locale et recuit simulé : un voyageur de commerce à travers les chefs-lieux de région tchèques
27. Algorithmes génétiques : population, croisement, mutation et sélection sur un sac à dos de randonnée
28. Stratégies d’évolution et programmation génétique : de la règle du cinquième à la loi de Kepler
29. Optimisation par colonies de fourmis : comment une piste de phéromone trouve un chemin court
30. Optimisation par essaim de particules : inertie, expérience propre et expérience de l’essaim
31. Neuroévolution : faire évoluer les poids et la forme des réseaux de neurones, et l’algorithme NEAT
32. Ensembles flous et fonctions d’appartenance : comment écrire « un peu chaud »
33. Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »
34. Logique floue : t-normes, implications et règles SI–ALORS
35. Commande floue : Mamdani et Sugeno, du ventilateur au pendule inversé sur un chariot
36. Clustering flou : l’algorithme fuzzy c-means et les points entre les clusters
37. Systèmes neuro-flous (ANFIS) : des règles floues qui apprennent à partir des données
38. Chaînes de Markov : matrice de transition, distribution stationnaire et PageRank
39. Modèles de Markov cachés : l’algorithme de Viterbi et le casino malhonnête
40. Réseaux bayésiens : pourquoi l’herbe est mouillée et ce que cela implique pour l’arroseur
41. Le filtre de Kalman : comment estimer, à partir de mesures imprécises, où se trouve une voiture et à quelle vitesse elle roule
42. Types d’apprentissage automatique : supervisé, non supervisé, semi-supervisé et plus
43. Prompts, contexte et RAG : comment donner au modèle les bonnes informations
44. Autoencodeurs variationnels (VAE) : de nouvelles images à partir d’un espace latent continu
45. Réseaux antagonistes génératifs (GAN) : le faussaire contre le détective
46. Modèles de diffusion : comment une image naît du bruit pur
47. Processus de décision markoviens : états, actions, récompenses et équations de Bellman
48. Q-learning et DQN : apprendre la valeur des actions, du tableau au réseau de neurones
49. Policy gradient et PPO : apprendre directement la politique
50. Comment fonctionne un agent IA : un modèle de langage en boucle avec des outils
51. Programmer avec des agents IA : consigne, tests et vérification
52. Évaluation et sécurité des systèmes d’IA : comment mesurer et comment surveiller

Programme complet de la série 52 sur 83 sujets publiés

Les ensembles et les relations sont les briques dont est faite presque chaque définition en IA. L’espace d’états est un ensemble d’états, les transitions entre eux sont des relations, les données d’entraînement sont un ensemble de couples et la classification répartit les entrées en classes. Qui comprend ces deux notions lit les définitions des parties suivantes comme un texte ordinaire.

La notation des symboles (∈, ⊆, ∪, ×) a été vue dans la partie précédente. Ici, nous irons sous la surface : ce qu’ils signifient exactement, quelles propriétés ils ont et à quoi ils servent en intelligence artificielle.

1. Qu’est-ce qu’un ensemble

Définition — ensemble et élément

Un ensemble est une collection d’objets deux à deux distincts. Ces objets sont appelés les éléments de l’ensemble.

La notation x ∈ A signifie « x est un élément de l’ensemble A », la notation x ∉ A « x n’est pas un élément de A ».

On écrit un ensemble soit en extension, en énumérant ses éléments entre accolades — A = {1, 2, 3} ou {↑, →, ↓, ←} —, soit en compréhension, par une propriété que vérifient ses éléments : {x ∈ ℕ : x est pair}. Pour A = {1, 2, 3}, on a 2 ∈ A et 5 ∉ A. L’écriture en compréhension permet de décrire aussi des ensembles infinis et s’emploie presque toujours en IA : « l’ensemble de tous les états à partir desquels on peut atteindre le but ».

Définition — égalité d’ensembles

Les ensembles A et B sont égaux, A = B, lorsqu’ils ont exactement les mêmes éléments : ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Définition — cardinal et ensemble vide

Le cardinal |A| d’un ensemble fini A est le nombre de ses éléments.

L’ensemble vide ∅ est l’ensemble qui n’a aucun élément ; |∅| = 0.

2. Sous-ensembles et ensemble des parties

Dans un ensemble, on peut en choisir de plus petits. Pour cela, il nous faut trois notions qui s’enchaînent : le sous-ensemble, le sous-ensemble strict et l’ensemble des parties.

Définition — sous-ensemble

Un ensemble A est un sous-ensemble (une partie) d’un ensemble B, on écrit A ⊆ B, lorsque chaque élément de A est aussi un élément de B : ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Définition — sous-ensemble strict

A est un sous-ensemble strict de B, on écrit A ⊂ B, lorsque A ⊆ B et en même temps A ≠ B.

Définition — ensemble des parties

L’ensemble des parties 𝒫(A) est l’ensemble dont les éléments sont tous les sous-ensembles de A : 𝒫(A) = {S : S ⊆ A}.

Théorème. Pour un ensemble fini A, |𝒫(A)| = 2^|A|.

Pour A = {a, b, c}, on a 𝒫(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} — 8 sous-ensembles au total. Cette croissance exponentielle, vous la rencontrerez en IA à chaque pas. Un modèle qui doit choisir lesquelles de 50 caractéristiques utiliser a 2⁵⁰ choix — plus d’un million de milliards de possibilités. C’est pourquoi la sélection de caractéristiques ne se fait pas en essayant toutes les combinaisons.

3. Opérations sur les ensembles

Définition — réunion, intersection, différence, complémentaire

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} — réunion,

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} — intersection,

A ∖ B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B} — différence,

A^c = U ∖ A — complémentaire par rapport à l’ensemble de référence U (l’« univers »).

Lois de De Morgan : (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c et (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c.

A ∪ B — réunion

A ∩ B — intersection

A ∖ B — différence

A^c — complémentaire

Dans la pratique de l’IA, on calcule avec des intersections par exemple pour évaluer un modèle. Si P est l’ensemble des e-mails que le modèle a marqués comme spam et S l’ensemble des e-mails qui sont vraiment du spam, alors la précision (precision) vaut |P ∩ S| / |P| — combien des e-mails marqués étaient vraiment du spam — et le rappel (recall) |P ∩ S| / |S| — combien de spam le modèle a attrapé.

4. Produit cartésien et n-uplets

Définition — couple et produit cartésien

Un couple (paire ordonnée) (a, b) se distingue de l’ensemble {a, b} en ce que l’ordre compte : (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.

Produit cartésien A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Pour des ensembles finis, |A × B| = |A| · |B|.

Plus généralement, A₁ × … × A_n est l’ensemble des n-uplets ; Aⁿ = A × … × A (n fois).

Le produit cartésien est partout en IA. Les données d’apprentissage supervisé sont un sous-ensemble de X × Y — des couples (entrée, bonne réponse). Une photo de 28 × 28 pixels est un point de ℝ⁷⁸⁴. Et dans un problème de recherche, la fonction de transition est définie sur S × A — sur des couples (état, action).

5. Relations

Définition — relation

Une relation binaire entre les ensembles A et B est un sous-ensemble quelconque R ⊆ A × B. Au lieu de (a, b) ∈ R, on écrit a R b et on lit « a est en relation avec b ».

Si A = B, on parle de relation sur l’ensemble A.

Une relation sur un petit ensemble peut se dessiner de deux façons. Prenons la relation « a divise b » (b est un multiple de a) sur l’ensemble {1, …, 6}. Comme matrice : à la ligne a et à la colonne b, il y a un point lorsque a divise b. Et comme graphe orienté : une flèche de a vers b.

matrice : ligne a, colonne b

graphe : flèche a → b (sans boucles a → a)

La relation compte 14 couples. En IA, vous rencontrerez les deux formes : la matrice de la relation est ce avec quoi calcule l’ordinateur (matrice d’adjacence d’un graphe, matrice de similarité), le graphe est ce que dessine un humain. Les transitions entre états dans la recherche sont une relation sur l’ensemble des états, et le graphe des k plus proches voisins de la propagation d’étiquettes est la relation « fait partie des plus proches ».

6. Propriétés des relations

Définition — propriétés d’une relation sur un ensemble

Une relation R sur l’ensemble A est

• réflexive si ∀a ∈ A : a R a,
• symétrique si ∀a, b : a R b ⇒ b R a,
• antisymétrique si ∀a, b : (a R b ∧ b R a) ⇒ a = b,
• transitive si ∀a, b, c : (a R b ∧ b R c) ⇒ a R c.

Pour des relations sur l’ensemble {1, …, 6}, cela donne ceci — et la combinaison des propriétés permet de reconnaître de quel genre de relation il s’agit :

7. Équivalence et partition en classes

Définition — équivalence et partition

Une relation réflexive, symétrique et transitive est une relation d’équivalence. La classe d’équivalence d’un élément a est [a] = {x ∈ A : x R a}.

Une partition de l’ensemble A est une famille de sous-ensembles non vides, deux à deux disjoints, dont la réunion est A.

Théorème. Les classes de toute équivalence forment une partition de A — et inversement, toute partition définit l’équivalence « appartient à la même partie ».

classe [0] {0, 3, 6}

classe [1] {1, 4, 7}

classe [2] {2, 5, 8}

C’est exactement ce que fait la classification : elle découpe l’ensemble de toutes les entrées possibles en classes — spam et non-spam ; chien, chat et perroquet. Et le partitionnement (clustering) cherche une partition des données sans que personne ne lui dise quelles sont les classes. Le résultat de k-means de la partie sur les types d’apprentissage est une partition des points en trois classes.

8. Relations d’ordre

Définition — ordre partiel et ordre total

Une relation réflexive, antisymétrique et transitive est un ordre partiel.

Si de plus deux éléments quelconques sont toujours comparables (∀a, b : a R b ∨ b R a), il s’agit d’un ordre total (linéaire).

Un ordre partiel se dessine avec un diagramme de Hasse : les éléments plus petits en bas, les plus grands en haut et un trait uniquement entre voisins immédiats — le reste découle de la transitivité. Voici les diviseurs de 12 ordonnés par divisibilité :

Le diagramme montre que 1 divise tout et que 12 est divisible par tout — mais ni 4 et 6, ni 2 et 3 ne sont comparables. En IA, les ordres apparaissent partout où l’on classe ou planifie quelque chose : l’ordre des résultats de recherche, les priorités dans la frontière de l’algorithme A*, ou les dépendances entre les étapes d’un plan (« d’abord ouvre la porte, puis passe »). Le graphe des dépendances entre modules dans le programme de cette série est d’ailleurs lui aussi un ordre partiel.

9. La fonction, une relation particulière

Définition — fonction

Une fonction de A dans B est une relation f ⊆ A × B dans laquelle chaque élément a ∈ A a exactement un élément b ∈ B tel que (a, b) ∈ f. On le note f(a).

La boucle est ainsi bouclée : en apprentissage automatique, un modèle est une fonction f : X → Y, c’est-à-dire une relation particulière entre entrées et sorties. Les fonctions et leurs propriétés font l’objet de la partie suivante du programme.

10. Résumé

• Un ensemble est une collection d’éléments sans ordre et sans répétition ; un ensemble à n éléments a 2ⁿ sous-ensembles.
• Réunion, intersection, différence et complémentaire, c’est « ou », « et », « mais pas » et « tout le reste » ; la précision et le rappel d’un modèle reposent sur des intersections.
• Le produit cartésien forme des couples — c’est d’eux que sont faites les données (entrée, réponse) comme les transitions (état, action).
• Une relation est un ensemble de couples. Une équivalence découpe l’ensemble en classes (classification, partitionnement), un ordre détermine ce qui vient avant quoi.
• Une fonction est une relation avec exactement une réponse — et un modèle est une fonction.

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