Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau

Probabilité conditionnelle, règle du produit, indépendance, probabilités totales et théorème de Bayes — et pourquoi un test positif pour une maladie rare ne signifie que 16,7 %.

13 minutes Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Bases de l’IA Partie 13 sur 52

1. Carte de l’intelligence artificielle : qu’est-ce qui est quoi et comment tout s’emboîte
2. Brève histoire de l’intelligence artificielle : de Turing aux modèles de langage
3. Données, modèle, entraînement, inférence : les notions de base sur un seul exemple
4. Lire la notation mathématique : symboles, indices, sommes et quantificateurs
5. Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA
6. Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction
7. Logique et démonstrations : les règles selon lesquelles on raisonne en IA
8. Graphes et arbres : la structure sur laquelle reposent la recherche et les réseaux de neurones
9. Algèbre linéaire pour l’apprentissage automatique : vecteurs, matrices et pourquoi l’IA multiplie surtout
10. Dérivées, gradient et règle de dérivation en chaîne : comment un modèle sait dans quelle direction apprendre
11. Descente de gradient : comment un modèle apprend
12. Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov
13. Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau
14. Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi
15. Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point
16. Espérance, variance et covariance : où se situe une loi, quelle est sa largeur et ce qui varie avec quoi
17. Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle
18. Loi des grands nombres et théorème central limite : pourquoi les moyennes sont si prévisibles
19. Statistique et estimation de paramètres : maximum de vraisemblance, MAP et intervalles de confiance
20. Théorie de l’information : entropie, entropie croisée et divergence KL — d’où viennent les fonctions de perte
21. Recherche dans l’espace d’états : BFS, DFS, UCS et A* en animations
22. Jeux et adversaires : minimax, élagage alpha-bêta et Monte Carlo tree search
23. Satisfaction de contraintes : backtracking, propagation de contraintes et AC-3 sur un sudoku et une carte des régions tchèques
24. Logique et systèmes à base de connaissances : chaînage avant et arrière, résolution et systèmes experts
25. Planification : STRIPS, monde des blocs, heuristiques par relaxation et planification dans les agents IA
26. Recherche locale et recuit simulé : un voyageur de commerce à travers les chefs-lieux de région tchèques
27. Algorithmes génétiques : population, croisement, mutation et sélection sur un sac à dos de randonnée
28. Stratégies d’évolution et programmation génétique : de la règle du cinquième à la loi de Kepler
29. Optimisation par colonies de fourmis : comment une piste de phéromone trouve un chemin court
30. Optimisation par essaim de particules : inertie, expérience propre et expérience de l’essaim
31. Neuroévolution : faire évoluer les poids et la forme des réseaux de neurones, et l’algorithme NEAT
32. Ensembles flous et fonctions d’appartenance : comment écrire « un peu chaud »
33. Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »
34. Logique floue : t-normes, implications et règles SI–ALORS
35. Commande floue : Mamdani et Sugeno, du ventilateur au pendule inversé sur un chariot
36. Clustering flou : l’algorithme fuzzy c-means et les points entre les clusters
37. Systèmes neuro-flous (ANFIS) : des règles floues qui apprennent à partir des données
38. Chaînes de Markov : matrice de transition, distribution stationnaire et PageRank
39. Modèles de Markov cachés : l’algorithme de Viterbi et le casino malhonnête
40. Réseaux bayésiens : pourquoi l’herbe est mouillée et ce que cela implique pour l’arroseur
41. Le filtre de Kalman : comment estimer, à partir de mesures imprécises, où se trouve une voiture et à quelle vitesse elle roule
42. Types d’apprentissage automatique : supervisé, non supervisé, semi-supervisé et plus
43. Prompts, contexte et RAG : comment donner au modèle les bonnes informations
44. Autoencodeurs variationnels (VAE) : de nouvelles images à partir d’un espace latent continu
45. Réseaux antagonistes génératifs (GAN) : le faussaire contre le détective
46. Modèles de diffusion : comment une image naît du bruit pur
47. Processus de décision markoviens : états, actions, récompenses et équations de Bellman
48. Q-learning et DQN : apprendre la valeur des actions, du tableau au réseau de neurones
49. Policy gradient et PPO : apprendre directement la politique
50. Comment fonctionne un agent IA : un modèle de langage en boucle avec des outils
51. Programmer avec des agents IA : consigne, tests et vérification
52. Évaluation et sécurité des systèmes d’IA : comment mesurer et comment surveiller

Programme complet de la série 52 sur 83 sujets publiés

Une probabilité n’est pas un nombre fixe gravé dans le marbre. Quand vous apprenez quelque chose de nouveau, elle change. La probabilité qu’il pleuve n’est pas la même quand vous savez que le ciel est couvert. La probabilité qu’un e-mail soit un spam n’est pas la même quand on y lit « vous avez gagné ». Cette partie explique comment recalculer exactement une probabilité quand une nouvelle information arrive — et présente le théorème sur lequel reposent les filtres antispam, le diagnostic médical et une grande partie de l’apprentissage automatique.

Elle fait suite à la partie Qu’est-ce que la probabilité et reprend nos deux dés.

1. Probabilité conditionnelle

Définition — probabilité conditionnelle

Pour des événements A, B avec P(B) > 0, la probabilité conditionnelle de l’événement A sachant B est

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Un ami a lancé deux dés et vous dit seulement qu’au moins un six est sorti. Quelle est la probabilité que la somme vaille 7 ? Sur les 36 résultats, il en reste 11 avec un six — et seuls deux d’entre eux, (1, 6) et (6, 1), ont une somme de 7 :

P(somme 7 | au moins un six) = 2/11 ≈ 0,182 — un peu plus que sans condition, où elle vaut 1/6 ≈ 0,167. Et attention à l’ordre : P(au moins un six | somme 7) = 2/6 = 1/3. P(A | B) et P(B | A) sont en général des nombres tout à fait différents.

2. Règle du produit

Théorème — règle du produit

P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A).

3. Indépendance

Définition — événements indépendants

Les événements A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Pour P(B) > 0, cela revient à P(A | B) = P(A).

L’indépendance peut surprendre. « La somme vaut 7 » et « le premier dé a donné un six » sont indépendants : la P des deux vaut 1/36, et 1/6 · 1/6 = 1/36 — quel que soit le résultat du premier dé, il existe sur le second exactement un nombre qui donne une somme de 7. En revanche, « la somme vaut 12 » et « le premier dé a donné un six » ne sont pas indépendants : sans condition, la somme 12 n’a que 1/36, mais avec un six sur le premier dé, déjà 1/6.

Et ne confondez pas événements indépendants et événements incompatibles. Des événements incompatibles sont au contraire fortement dépendants — si l’un s’est réalisé, vous savez avec certitude que l’autre ne s’est pas réalisé.

4. Formule des probabilités totales

Théorème — probabilités totales

Si les événements H₁, …, H_k forment une partition de l’univers Ω (ils sont deux à deux incompatibles et recouvrent ensemble Ω), alors pour tout événement A on a

P(A) = ∑_i=1^k P(A | H_i) · P(H_i).

5. Théorème de Bayes

Théorème — théorème de Bayes

Pour P(A) > 0, on a

P(H | A) = P(A | H) · P(H) / P(A),

où le dénominateur P(A) se calcule par la formule des probabilités totales.

Chaque partie du théorème porte un nom :

Définition — probabilité a priori

P(H) est la probabilité a priori de l’hypothèse H — avant d’avoir vu les données A.

Définition — vraisemblance

P(A | H) est la vraisemblance — la probabilité des données A si l’hypothèse H était vraie.

Définition — probabilité a posteriori

P(H | A) est la probabilité a posteriori — l’estimation de l’hypothèse H après avoir vu les données A.

6. Test positif : pourquoi seulement 16,7 %

La maladie touche 1 % des gens. Le test la détecte chez 99 % des malades, mais chez 5 % des personnes en bonne santé, il donne une fausse alerte. Votre test est positif. Quelle est la probabilité que vous soyez malade ? La plupart des gens — y compris beaucoup de médecins — répondent environ 95 %. Le théorème de Bayes dit :

Seulement 16,7 %. C’est avec des fréquences naturelles qu’on le voit le mieux — au lieu de probabilités, imaginez 10 000 personnes :

Il y a 100 malades et le test en repère 99. Mais il y a 9 900 personnes en bonne santé, et 5 % d’entre elles, c’est déjà 495 fausses alertes. Au total, 594 tests positifs, dont seulement 99 malades — un sixième. Cette erreur d’intuition a un nom : la négligence du taux de base. Quand quelque chose est rare, même un test précis produit plus de fausses alertes que de vrais cas.

7. Apprendre des données : l’a posteriori devient l’a priori

Et si l’on refait le test et qu’il est de nouveau positif ? On ne part plus de 1 % — le résultat du premier test devient la nouvelle estimation de départ. La probabilité a posteriori devient la probabilité a priori :

Après le deuxième test positif, on en est déjà à 79,8 %, après le troisième à 98,7 %. Chaque indice déplace l’estimation, et l’indice suivant s’appuie sur le précédent. C’est exactement ainsi qu’apprennent les modèles bayésiens — ils partent d’une hypothèse et l’affinent avec chaque nouvelle donnée.

8. Bayes en intelligence artificielle

• Filtres antispam — si 40 % du courrier est du spam et que le mot « gagnant » figure dans 30 % des spams et seulement dans 1 % des autres e-mails, alors un e-mail contenant « gagnant » est un spam avec une probabilité de 0,12 / 0,126 ≈ 0,952. Le classifieur bayésien naïf fait ce calcul pour chaque mot.
• Les modèles de langage calculent la probabilité conditionnelle du mot suivant sachant tous les précédents : P(x_t | x₁, …, x_t−1). Le texte entier est un produit de telles probabilités conditionnelles — la règle du produit.
• Les réseaux bayésiens représentent sous forme de graphe orienté les variables qui dépendent les unes des autres, et calculent avec des probabilités conditionnelles le long de ses arêtes.
• Incertitude du modèle — les méthodes bayésiennes ne donnent pas une seule réponse, mais une loi de probabilité : à quel point le modèle est sûr de lui et où des données supplémentaires l’aideraient.

9. Résumé

• La probabilité conditionnelle P(A | B) ne calcule qu’à l’intérieur de B ; P(A | B) ≠ P(B | A).
• Règle du produit : P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B). Des événements indépendants ne se révèlent rien.
• La formule des probabilités totales additionne tous les chemins par lesquels un événement peut se réaliser.
• Le théorème de Bayes inverse la condition : à partir de la probabilité a priori et de la vraisemblance, il donne la probabilité a posteriori.
• Pour des événements rares, même un test précis donne beaucoup de fausses alertes — n’oubliez pas le taux de base.

Vous voyez les choses autrement ? Écrivez à support@coden-app.com.