Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle

Les six lois les plus importantes avec leurs définitions, espérances et variances — la planche de Galton, le théorème limite de Poisson, la règle 68–95–99,7 et quand utiliser quelle loi.

14 minutes Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Bases de l’IA Partie 17 sur 52

1. Carte de l’intelligence artificielle : qu’est-ce qui est quoi et comment tout s’emboîte
2. Brève histoire de l’intelligence artificielle : de Turing aux modèles de langage
3. Données, modèle, entraînement, inférence : les notions de base sur un seul exemple
4. Lire la notation mathématique : symboles, indices, sommes et quantificateurs
5. Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA
6. Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction
7. Logique et démonstrations : les règles selon lesquelles on raisonne en IA
8. Graphes et arbres : la structure sur laquelle reposent la recherche et les réseaux de neurones
9. Algèbre linéaire pour l’apprentissage automatique : vecteurs, matrices et pourquoi l’IA multiplie surtout
10. Dérivées, gradient et règle de dérivation en chaîne : comment un modèle sait dans quelle direction apprendre
11. Descente de gradient : comment un modèle apprend
12. Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov
13. Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau
14. Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi
15. Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point
16. Espérance, variance et covariance : où se situe une loi, quelle est sa largeur et ce qui varie avec quoi
17. Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle
18. Loi des grands nombres et théorème central limite : pourquoi les moyennes sont si prévisibles
19. Statistique et estimation de paramètres : maximum de vraisemblance, MAP et intervalles de confiance
20. Théorie de l’information : entropie, entropie croisée et divergence KL — d’où viennent les fonctions de perte
21. Recherche dans l’espace d’états : BFS, DFS, UCS et A* en animations
22. Jeux et adversaires : minimax, élagage alpha-bêta et Monte Carlo tree search
23. Satisfaction de contraintes : backtracking, propagation de contraintes et AC-3 sur un sudoku et une carte des régions tchèques
24. Logique et systèmes à base de connaissances : chaînage avant et arrière, résolution et systèmes experts
25. Planification : STRIPS, monde des blocs, heuristiques par relaxation et planification dans les agents IA
26. Recherche locale et recuit simulé : un voyageur de commerce à travers les chefs-lieux de région tchèques
27. Algorithmes génétiques : population, croisement, mutation et sélection sur un sac à dos de randonnée
28. Stratégies d’évolution et programmation génétique : de la règle du cinquième à la loi de Kepler
29. Optimisation par colonies de fourmis : comment une piste de phéromone trouve un chemin court
30. Optimisation par essaim de particules : inertie, expérience propre et expérience de l’essaim
31. Neuroévolution : faire évoluer les poids et la forme des réseaux de neurones, et l’algorithme NEAT
32. Ensembles flous et fonctions d’appartenance : comment écrire « un peu chaud »
33. Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »
34. Logique floue : t-normes, implications et règles SI–ALORS
35. Commande floue : Mamdani et Sugeno, du ventilateur au pendule inversé sur un chariot
36. Clustering flou : l’algorithme fuzzy c-means et les points entre les clusters
37. Systèmes neuro-flous (ANFIS) : des règles floues qui apprennent à partir des données
38. Chaînes de Markov : matrice de transition, distribution stationnaire et PageRank
39. Modèles de Markov cachés : l’algorithme de Viterbi et le casino malhonnête
40. Réseaux bayésiens : pourquoi l’herbe est mouillée et ce que cela implique pour l’arroseur
41. Le filtre de Kalman : comment estimer, à partir de mesures imprécises, où se trouve une voiture et à quelle vitesse elle roule
42. Types d’apprentissage automatique : supervisé, non supervisé, semi-supervisé et plus
43. Prompts, contexte et RAG : comment donner au modèle les bonnes informations
44. Autoencodeurs variationnels (VAE) : de nouvelles images à partir d’un espace latent continu
45. Réseaux antagonistes génératifs (GAN) : le faussaire contre le détective
46. Modèles de diffusion : comment une image naît du bruit pur
47. Processus de décision markoviens : états, actions, récompenses et équations de Bellman
48. Q-learning et DQN : apprendre la valeur des actions, du tableau au réseau de neurones
49. Policy gradient et PPO : apprendre directement la politique
50. Comment fonctionne un agent IA : un modèle de langage en boucle avec des outils
51. Programmer avec des agents IA : consigne, tests et vérification
52. Évaluation et sécurité des systèmes d’IA : comment mesurer et comment surveiller

Programme complet de la série 52 sur 83 sujets publiés

Vous pouvez inventer une loi de probabilité à partir de zéro à chaque fois — mais vous n’y êtes pas obligé. En pratique, quelques situations reviennent sans cesse : oui ou non, un nombre de succès, un nombre d’événements par heure, une attente, une mesure entachée d’erreur. Pour chacune d’elles, il existe une loi toute prête, avec quelques paramètres, une espérance et une variance déjà calculées. Cette partie passe en revue les six plus importantes — et surtout, quand utiliser laquelle.

Elle fait suite à Fonction de densité et à Espérance et variance.

1. Loi de Bernoulli

Définition — loi de Bernoulli

Une variable X suit la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1], et l’on note X ~ B(p), si

P(X = 1) = p,   P(X = 0) = 1 − p.

L’espérance vaut p et la variance p(1 − p) — maximale pour p = 0,5, quand le résultat est le moins prévisible.

2. Loi binomiale

Définition — loi binomiale

Une variable X suit la loi binomiale de paramètres n ∈ ℕ et p ∈ [0, 1], X ~ B(n, p), si

P(X = k) = (k parmi n) · p^k · (1 − p)^n−k,   k = 0, 1, …, n,

où (k parmi n) = n! / (k! (n − k)!) est le coefficient binomial.

Une variable binomiale est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes ; par linéarité, son espérance vaut donc np et sa variance np(1 − p). La planche de Galton le montre joliment : à chacun des dix clous, la bille rebondit à gauche ou à droite, chaque rebond est une épreuve de Bernoulli, et la case où elle tombe correspond au nombre de rebonds vers la droite — B(10 ; 0,5).

Les billes s’accumulent au milieu en forme de cloche — et cette forme n’a rien d’un hasard. Comme nous le verrons avec la loi normale et dans la prochaine partie, la somme de nombreuses petites influences aléatoires donne toujours une cloche.

3. Loi de Poisson

Définition — loi de Poisson

Une variable X suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0, X ~ P(λ), si

P(X = k) = e^−λ · λ^k / k!,   k = 0, 1, 2, …

Particularité de la loi de Poisson : l’espérance et la variance sont toutes deux égales à λ.

Théorème — théorème limite de Poisson

Pour λ > 0 fixé et pour tout k, on a lim_n→∞ P(B(n, λ/n) = k) = e^−λ λ^k / k!.

4. Loi uniforme

Définition — loi uniforme continue

Une variable X suit la loi uniforme sur l’intervalle [a, b], X ~ 𝒰([a, b]), si elle a pour densité

f(x) = 1 / (b − a) pour a ≤ x ≤ b, et 0 sinon.

L’espérance est le milieu de l’intervalle, (a + b) / 2, et la variance (b − a)² / 12. Pour le bus, vous attendez donc en moyenne 5 minutes, avec un écart type de √(100/12) ≈ 2,89 minutes.

5. Loi normale

Définition — loi normale

Une variable X suit la loi normale (ou loi de Gauss) d’espérance μ et de variance σ² > 0, X ~ 𝒩(μ, σ²), si elle a pour densité

f(x) = 1 / (σ√(2π)) · e^{−(x − μ)² / (2σ²)},   x ∈ ℝ.

Définition — loi normale centrée réduite

𝒩(0, 1) est appelée loi normale centrée réduite. Si X ~ 𝒩(μ, σ²), alors Z = (X − μ) / σ ~ 𝒩(0, 1).

La loi normale obéit à la règle 68–95–99,7 : à moins de σ de la moyenne tombent 68,27 % des valeurs, à moins de 2σ 95,45 % et à moins de 3σ 99,73 %. Si la taille des hommes adultes a pour moyenne 175 cm et σ = 7 cm, 95 % d’entre eux mesurent entre 161 et 189 cm. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev de la partie précédente ne garantissait pour 2σ que 75 % — la loi normale est bien plus « resserrée ».

La densité de la loi normale n’a pas de primitive exprimable par une formule ; les pourcentages ci-dessus se calculent donc numériquement — ici par la méthode de Simpson, c’est-à-dire en additionnant des bandes très étroites.

6. Loi exponentielle

Définition — loi exponentielle

Une variable X suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0, X ~ ℰ(λ), si elle a pour densité

f(x) = λ e^−λx pour x ≥ 0, et 0 sinon.

La loi exponentielle et la loi de Poisson décrivent le même processus sous deux angles. Qu’aucun e-mail n’arrive en 4 minutes, c’est selon Poisson e⁻² ≈ 0,135 — et selon la loi exponentielle P(X > 4) = e^{−0,5 · 4}, le même nombre.

Théorème — absence de mémoire de la loi exponentielle

Pour X ~ ℰ(λ) et s, t ≥ 0, on a P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

7. Aide-mémoire : quelle loi pour quoi

8. Les lois de probabilité en intelligence artificielle

• Bernoulli et classification binaire. La régression logistique comme un réseau à une seule sortie prédisent le paramètre p d’une loi de Bernoulli — « quelle est la probabilité que ce soit un spam ». La fonction de perte (l’entropie croisée binaire) est l’opposé du logarithme de sa probabilité.
• La loi catégorielle est une loi de Bernoulli à plus de deux issues. Le softmax en sortie d’un modèle de langage renvoie précisément ses paramètres — la probabilité de chaque mot du vocabulaire.
• La loi normale est partout : les poids initiaux des réseaux sont tirés selon 𝒩(0, σ²), l’erreur quadratique moyenne correspond à l’hypothèse d’un bruit normal, et les modèles de diffusion génèrent des images en débruitant pas à pas un pur 𝒩(0, 1).
• Le dropout désactive pendant l’entraînement chaque neurone avec une probabilité de Bernoulli ; la loi uniforme est la source de tous les nombres aléatoires.
• Poisson et l’exponentielle modélisent le trafic : combien de requêtes arrivent sur un serveur, quand arrivera la suivante, combien de GPU il faut prévoir.

9. Résumé

• La loi de Bernoulli décrit une seule épreuve oui/non, la loi binomiale le nombre de succès en n épreuves indépendantes.
• La loi de Poisson compte des événements sur une durée ; c’est la limite de la loi binomiale pour de nombreuses épreuves à faible probabilité.
• La loi uniforme donne la même densité à tout l’intervalle ; la loi exponentielle mesure une attente et n’a pas de mémoire.
• La loi normale est une cloche déterminée par μ et σ ; dans ±σ, ±2σ et ±3σ se trouvent 68,27 %, 95,45 % et 99,73 % des valeurs.
• Choisir une loi, c’est choisir un modèle : ce qui décrit les données détermine aussi la fonction de perte du modèle.

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