Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov

Expérience aléatoire, univers, événements et opérations sur eux, probabilité classique et fréquentielle et les axiomes sur lesquels repose tout le reste — avec l’exemple de deux dés.

12 minutes Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Bases de l’IA Partie 12 sur 52

1. Carte de l’intelligence artificielle : qu’est-ce qui est quoi et comment tout s’emboîte
2. Brève histoire de l’intelligence artificielle : de Turing aux modèles de langage
3. Données, modèle, entraînement, inférence : les notions de base sur un seul exemple
4. Lire la notation mathématique : symboles, indices, sommes et quantificateurs
5. Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA
6. Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction
7. Logique et démonstrations : les règles selon lesquelles on raisonne en IA
8. Graphes et arbres : la structure sur laquelle reposent la recherche et les réseaux de neurones
9. Algèbre linéaire pour l’apprentissage automatique : vecteurs, matrices et pourquoi l’IA multiplie surtout
10. Dérivées, gradient et règle de dérivation en chaîne : comment un modèle sait dans quelle direction apprendre
11. Descente de gradient : comment un modèle apprend
12. Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov
13. Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau
14. Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi
15. Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point
16. Espérance, variance et covariance : où se situe une loi, quelle est sa largeur et ce qui varie avec quoi
17. Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle
18. Loi des grands nombres et théorème central limite : pourquoi les moyennes sont si prévisibles
19. Statistique et estimation de paramètres : maximum de vraisemblance, MAP et intervalles de confiance
20. Théorie de l’information : entropie, entropie croisée et divergence KL — d’où viennent les fonctions de perte
21. Recherche dans l’espace d’états : BFS, DFS, UCS et A* en animations
22. Jeux et adversaires : minimax, élagage alpha-bêta et Monte Carlo tree search
23. Satisfaction de contraintes : backtracking, propagation de contraintes et AC-3 sur un sudoku et une carte des régions tchèques
24. Logique et systèmes à base de connaissances : chaînage avant et arrière, résolution et systèmes experts
25. Planification : STRIPS, monde des blocs, heuristiques par relaxation et planification dans les agents IA
26. Recherche locale et recuit simulé : un voyageur de commerce à travers les chefs-lieux de région tchèques
27. Algorithmes génétiques : population, croisement, mutation et sélection sur un sac à dos de randonnée
28. Stratégies d’évolution et programmation génétique : de la règle du cinquième à la loi de Kepler
29. Optimisation par colonies de fourmis : comment une piste de phéromone trouve un chemin court
30. Optimisation par essaim de particules : inertie, expérience propre et expérience de l’essaim
31. Neuroévolution : faire évoluer les poids et la forme des réseaux de neurones, et l’algorithme NEAT
32. Ensembles flous et fonctions d’appartenance : comment écrire « un peu chaud »
33. Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »
34. Logique floue : t-normes, implications et règles SI–ALORS
35. Commande floue : Mamdani et Sugeno, du ventilateur au pendule inversé sur un chariot
36. Clustering flou : l’algorithme fuzzy c-means et les points entre les clusters
37. Systèmes neuro-flous (ANFIS) : des règles floues qui apprennent à partir des données
38. Chaînes de Markov : matrice de transition, distribution stationnaire et PageRank
39. Modèles de Markov cachés : l’algorithme de Viterbi et le casino malhonnête
40. Réseaux bayésiens : pourquoi l’herbe est mouillée et ce que cela implique pour l’arroseur
41. Le filtre de Kalman : comment estimer, à partir de mesures imprécises, où se trouve une voiture et à quelle vitesse elle roule
42. Types d’apprentissage automatique : supervisé, non supervisé, semi-supervisé et plus
43. Prompts, contexte et RAG : comment donner au modèle les bonnes informations
44. Autoencodeurs variationnels (VAE) : de nouvelles images à partir d’un espace latent continu
45. Réseaux antagonistes génératifs (GAN) : le faussaire contre le détective
46. Modèles de diffusion : comment une image naît du bruit pur
47. Processus de décision markoviens : états, actions, récompenses et équations de Bellman
48. Q-learning et DQN : apprendre la valeur des actions, du tableau au réseau de neurones
49. Policy gradient et PPO : apprendre directement la politique
50. Comment fonctionne un agent IA : un modèle de langage en boucle avec des outils
51. Programmer avec des agents IA : consigne, tests et vérification
52. Évaluation et sécurité des systèmes d’IA : comment mesurer et comment surveiller

Programme complet de la série 52 sur 83 sujets publiés

Un modèle de langage ne choisit pas le mot suivant, mais les probabilités de tous les mots. Un classifieur ne dit pas « c’est un chat », mais « avec une probabilité de 0,93, c’est un chat ». Tout l’apprentissage automatique repose sur le calcul avec l’incertitude — et la probabilité est la langue dans laquelle on parle précisément de l’incertitude.

À l’école, on définit le plus souvent la probabilité comme « nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles ». C’est un bon début, mais cela ne suffit pas. Dans cette partie, nous irons de l’expérience aléatoire, en passant par les événements, jusqu’à la définition précise sur laquelle repose tout le reste. Tous les exemples portent sur deux dés. Il vous sera utile de connaître la partie sur les ensembles — les événements sont en effet des ensembles.

1. Expérience aléatoire et univers

Définition — expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est un processus dont on ne connaît pas le résultat à l’avance, mais dont on sait quels résultats il peut prendre, et que l’on peut répéter (au moins en pensée) autant de fois qu’on le veut dans les mêmes conditions.

Définition — univers

L’univers (ou espace des résultats) Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Ses éléments ω ∈ Ω sont appelés issues élémentaires.

2. Événements

Définition — événement

Un événement est une partie de l’univers, A ⊆ Ω. On dit que l’événement A est réalisé lorsque le résultat de l’expérience est un élément de A.

Définition — événement certain et événement impossible

L’événement certain est l’univers Ω tout entier — il se réalise toujours. L’événement impossible est l’ensemble vide ∅ — il ne se réalise jamais.

La grille montre les 36 résultats de deux dés ; la ligne correspond au premier dé, la colonne au second, et le nombre dans la case est la somme. Deux événements sont colorés : A = « la somme vaut 7 » et B = « au moins un des dés a donné un six » :

L’événement A compte 6 résultats, l’événement B 11. Deux résultats, (1, 6) et (6, 1), appartiennent aux deux — dans la grille, ils sont violets.

3. Opérations sur les événements

Comme les événements sont des ensembles, ils se combinent avec les mêmes opérations que les ensembles. Mais chaque opération a aussi un sens naturel en mots :

Définition — réunion d’événements

La réunion A ∪ B est l’événement « A ou B se réalise (ou les deux) ».

Définition — intersection d’événements

L’intersection A ∩ B est l’événement « A et B se réalisent à la fois ».

Définition — événement contraire

L’événement contraire A^c = Ω ∖ A est l’événement « A ne se réalise pas ».

Définition — événements incompatibles

Les événements A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se réaliser à la fois : A ∩ B = ∅.

4. Probabilité classique

Définition — probabilité classique (Laplace)

Si Ω est fini et que toutes les issues élémentaires sont équiprobables, alors P(A) = |A| / |Ω|.

Le piège est dans le mot « équiprobables ». Avec deux dés, les sommes ne sont pas équiprobables — la somme 2 ne sort que comme (1, 1), la somme 7 de six façons. C’est pourquoi on compte des couples, pas des sommes. Et pour beaucoup d’événements réels, il n’y a pas du tout de résultats équiprobables : quelle est la probabilité qu’il pleuve demain, ou qu’un e-mail soit un spam ? Là, la définition classique n’aide pas.

5. La probabilité comme fréquence à long terme

Définition — fréquence relative

Si l’on répète l’expérience n fois et que l’événement A se réalise n_A fois, sa fréquence relative est n_A / n.

Avec peu d’essais, la fréquence relative saute dans tous les sens. Mais à mesure que les essais s’accumulent, elle se stabilise. Voici quatre simulations indépendantes de lancers de pièce :

La première simulation avait 70 % de « face » après 10 lancers, 40 % après 100 lancers, 49,4 % après 1000 lancers et 49,92 % après 10 000 lancers. On peut comprendre la probabilité comme le nombre dont la fréquence relative s’approche — c’est exactement ce que formulera plus tard la loi des grands nombres. C’est ainsi qu’on estime des probabilités à partir de données réelles : combien d’e-mails contenant un mot donné étaient des spams, combien de fois le mot « bonne » a été suivi de « journée ».

6. Les axiomes de Kolmogorov

La définition classique exige des résultats équiprobables, la définition fréquentielle une infinité d’essais. En 1933, Andreï Kolmogorov a défini la probabilité autrement : il ne dit pas comment la calculer, seulement quelles règles elle doit respecter. Chacun des points de vue précédents n’est alors qu’une des façons de satisfaire ces règles.

Définition — probabilité (axiomes de Kolmogorov)

Une probabilité est une fonction P qui associe à chaque événement A un nombre P(A) et qui vérifie trois axiomes :

• positivité : P(A) ≥ 0 pour tout événement A,
• normalisation : P(Ω) = 1,
• additivité : pour des événements deux à deux incompatibles A₁, A₂, …, on a P(A₁ ∪ A₂ ∪ …) = P(A₁) + P(A₂) + …

7. Règles qui découlent des axiomes

Théorème — probabilité de l’événement contraire

P(A^c) = 1 − P(A). En particulier, P(∅) = 0 et 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Théorème — probabilité d’une réunion

Pour des événements quelconques A, B, on a P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

8. La probabilité en intelligence artificielle

• Les classifieurs renvoient des probabilités de classes ; le softmax de la partie sur la classification garantit qu’elles sont positives et de somme 1 — exactement selon les axiomes.
• Les modèles de langage sont des lois de probabilité sur le mot suivant. Pour écrire un texte, ils y tirent au sort.
• L’estimation à partir des données est une fréquence relative : le modèle apprend les probabilités « observées » dans les données d’entraînement.
• Incertitude — un bon modèle sait quand il n’est pas sûr. Les probabilités 0,51 et 0,99 donnent la même classe, mais un degré de confiance tout à fait différent.

La partie suivante montrera comment modifier une probabilité quand on apprend quelque chose de nouveau — la probabilité conditionnelle et le théorème de Bayes.

9. Résumé

• Une expérience aléatoire a un univers Ω ; un événement est une partie de Ω.
• Les événements se combinent comme des ensembles : la réunion est « ou », l’intersection « et à la fois », l’événement contraire « non ».
• La probabilité classique, c’est favorables divisés par possibles — uniquement pour des résultats équiprobables.
• La fréquence relative se stabilise quand le nombre d’essais augmente ; la probabilité est le nombre dont elle s’approche.
• Axiomes de Kolmogorov : positivité, P(Ω) = 1 et additivité pour les événements incompatibles. On en déduit la règle du complémentaire et la formule de la réunion.

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