Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi

Ce que sont une variable aléatoire, sa loi et sa fonction de répartition, ce qui distingue les variables discrètes des continues et comment estimer la fonction de répartition à partir des données.

12 minutes Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Bases de l’IA Partie 14 sur 52

1. Carte de l’intelligence artificielle : qu’est-ce qui est quoi et comment tout s’emboîte
2. Brève histoire de l’intelligence artificielle : de Turing aux modèles de langage
3. Données, modèle, entraînement, inférence : les notions de base sur un seul exemple
4. Lire la notation mathématique : symboles, indices, sommes et quantificateurs
5. Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA
6. Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction
7. Logique et démonstrations : les règles selon lesquelles on raisonne en IA
8. Graphes et arbres : la structure sur laquelle reposent la recherche et les réseaux de neurones
9. Algèbre linéaire pour l’apprentissage automatique : vecteurs, matrices et pourquoi l’IA multiplie surtout
10. Dérivées, gradient et règle de dérivation en chaîne : comment un modèle sait dans quelle direction apprendre
11. Descente de gradient : comment un modèle apprend
12. Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov
13. Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau
14. Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi
15. Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point
16. Espérance, variance et covariance : où se situe une loi, quelle est sa largeur et ce qui varie avec quoi
17. Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle
18. Loi des grands nombres et théorème central limite : pourquoi les moyennes sont si prévisibles
19. Statistique et estimation de paramètres : maximum de vraisemblance, MAP et intervalles de confiance
20. Théorie de l’information : entropie, entropie croisée et divergence KL — d’où viennent les fonctions de perte
21. Recherche dans l’espace d’états : BFS, DFS, UCS et A* en animations
22. Jeux et adversaires : minimax, élagage alpha-bêta et Monte Carlo tree search
23. Satisfaction de contraintes : backtracking, propagation de contraintes et AC-3 sur un sudoku et une carte des régions tchèques
24. Logique et systèmes à base de connaissances : chaînage avant et arrière, résolution et systèmes experts
25. Planification : STRIPS, monde des blocs, heuristiques par relaxation et planification dans les agents IA
26. Recherche locale et recuit simulé : un voyageur de commerce à travers les chefs-lieux de région tchèques
27. Algorithmes génétiques : population, croisement, mutation et sélection sur un sac à dos de randonnée
28. Stratégies d’évolution et programmation génétique : de la règle du cinquième à la loi de Kepler
29. Optimisation par colonies de fourmis : comment une piste de phéromone trouve un chemin court
30. Optimisation par essaim de particules : inertie, expérience propre et expérience de l’essaim
31. Neuroévolution : faire évoluer les poids et la forme des réseaux de neurones, et l’algorithme NEAT
32. Ensembles flous et fonctions d’appartenance : comment écrire « un peu chaud »
33. Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »
34. Logique floue : t-normes, implications et règles SI–ALORS
35. Commande floue : Mamdani et Sugeno, du ventilateur au pendule inversé sur un chariot
36. Clustering flou : l’algorithme fuzzy c-means et les points entre les clusters
37. Systèmes neuro-flous (ANFIS) : des règles floues qui apprennent à partir des données
38. Chaînes de Markov : matrice de transition, distribution stationnaire et PageRank
39. Modèles de Markov cachés : l’algorithme de Viterbi et le casino malhonnête
40. Réseaux bayésiens : pourquoi l’herbe est mouillée et ce que cela implique pour l’arroseur
41. Le filtre de Kalman : comment estimer, à partir de mesures imprécises, où se trouve une voiture et à quelle vitesse elle roule
42. Types d’apprentissage automatique : supervisé, non supervisé, semi-supervisé et plus
43. Prompts, contexte et RAG : comment donner au modèle les bonnes informations
44. Autoencodeurs variationnels (VAE) : de nouvelles images à partir d’un espace latent continu
45. Réseaux antagonistes génératifs (GAN) : le faussaire contre le détective
46. Modèles de diffusion : comment une image naît du bruit pur
47. Processus de décision markoviens : états, actions, récompenses et équations de Bellman
48. Q-learning et DQN : apprendre la valeur des actions, du tableau au réseau de neurones
49. Policy gradient et PPO : apprendre directement la politique
50. Comment fonctionne un agent IA : un modèle de langage en boucle avec des outils
51. Programmer avec des agents IA : consigne, tests et vérification
52. Évaluation et sécurité des systèmes d’IA : comment mesurer et comment surveiller

Programme complet de la série 52 sur 83 sujets publiés

Dans la partie Qu’est-ce que la probabilité, nous avons travaillé avec des événements : « la somme vaut 7 », « un six est sorti ». Mais la plupart du temps, ce qui nous intéresse n’est pas de savoir si quelque chose s’est produit, mais combien : combien de minutes on attendra le bus, combien vaudra une action, quelle température affichera le thermomètre. Pour cela, les mathématiques ont la variable aléatoire — et une fonction qui en dit absolument tout.

1. Variable aléatoire

Définition — variable aléatoire

Soit (Ω, 𝓕, P) un espace probabilisé. Une variable aléatoire est une fonction X : Ω → ℝ telle que, pour tout x ∈ ℝ, l’ensemble {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} soit un événement, c’est-à-dire appartienne à 𝓕.

Une même expérience peut porter plusieurs variables. Le lancer de deux dés a 36 résultats ; S(ω) est la somme des deux dés, N(ω) le nombre de six. Au résultat (3, 6), S associe le nombre 9 et N le nombre 1. La figure montre S comme une fonction : chaque case de gauche porte sa valeur, et la colonne de droite indique combien de cases tombent sur cette valeur.

2. Loi d’une variable aléatoire

Définition — loi d’une variable aléatoire

La loi d’une variable aléatoire X est la probabilité sur ℝ qui associe à un ensemble de valeurs B le nombre P_X(B) = P(X ∈ B) = P({ω : X(ω) ∈ B}).

Dès qu’on connaît la loi, les résultats d’origine ω n’ont plus d’importance. Deux jeux complètement différents peuvent avoir des variables de même loi — et pour les calculs, elles sont alors indiscernables.

3. Fonction de répartition

Définition — fonction de répartition

La fonction de répartition d’une variable aléatoire X est la fonction F_X : ℝ → [0, 1],

F_X(x) = P(X ≤ x).

Pour la somme des dés, la fonction de répartition est un escalier. Entre les valeurs, rien ne change — F(7,5) vaut toujours 21/36, car une somme de 7,5 ne peut pas sortir. À chaque valeur possible, la fonction fait un saut exactement égal à la probabilité de cette valeur : en sept, de 6/36. Le point plein montre ce que vaut la fonction à l’endroit du saut ; le rond vide, la valeur dont elle s’approchait par la gauche.

Théorème — la fonction de répartition caractérise la loi

Deux variables aléatoires ont la même loi si et seulement si elles ont la même fonction de répartition.

4. Propriétés de la fonction de répartition

Théorème — propriétés de la fonction de répartition

Toute fonction de répartition F

1. est croissante (au sens large) : x ≤ y ⇒ F(x) ≤ F(y) ;
2. a pour limites lim_x→−∞ F(x) = 0 et lim_x→+∞ F(x) = 1 ;
3. est continue à droite : lim_y→x⁺ F(y) = F(x).

Et réciproquement : toute fonction ayant ces trois propriétés est la fonction de répartition d’une certaine variable aléatoire.

Théorème — probabilité d’un intervalle

Pour a < b, on a P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

5. Variables discrètes et continues

Définition — variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire X est discrète s’il existe un ensemble fini ou dénombrable de valeurs {x₁, x₂, …} avec ∑_i P(X = x_i) = 1.

Définition — variable aléatoire continue

Une variable aléatoire X est continue si sa fonction de répartition F_X est continue. Alors P(X = x) = 0 pour tout x ∈ ℝ.

Un exemple : le bus passe toutes les 10 minutes et vous arrivez à l’arrêt à un instant quelconque. Le temps d’attente X est continu et également probable partout entre 0 et 10 minutes, donc F(x) = x/10 pour 0 ≤ x ≤ 10. Attendre au plus 3 minutes a la probabilité F(3) = 0,3 ; attendre entre 3 et 5 minutes, F(5) − F(3) = 0,2. Mais attendre exactement 3 minutes — pas un milliardième de seconde de plus — a la probabilité 0. Comment calculer avec cela et ce que montre la fonction de densité, c’est le sujet de la prochaine partie.

6. Fonction de répartition empirique

Définition — fonction de répartition empirique

Pour des valeurs mesurées x₁, …, x_n, la fonction de répartition empirique est

F̂_n(x) = (nombre de i tels que x_i ≤ x) / n.

Nous avons simulé 10, 100 et 1 000 attentes du bus. La droite en pointillés est la vraie fonction de répartition x/10, l’escalier en couleur la fonction empirique tirée des données :

Avec dix mesures, l’estimation s’écarte de la réalité de jusqu’à 0,268, avec cent de 0,085 et avec mille de seulement 0,025. Que la fonction de répartition empirique épouse la vraie à mesure que les données s’accumulent, c’est ce qu’affirme le théorème de Glivenko-Cantelli — la garantie mathématique qu’une loi peut s’apprendre à partir des données.

7. Variables aléatoires en intelligence artificielle

• Les données sont des variables aléatoires. L’âge d’un client, le prix d’un appartement, la luminosité d’un pixel — un modèle d’apprentissage automatique suppose que les données d’entraînement sont des valeurs de variables aléatoires d’une loi inconnue, et cherche à estimer cette loi (ou une partie de celle-ci) à partir d’elles.
• Générer des nombres aléatoires de n’importe quelle loi. Ce que l’ordinateur sait surtout faire, c’est un nombre uniforme U entre 0 et 1. On prend le plus petit x pour lequel F(x) ≥ U, et on obtient une valeur de loi F. Pour U = 0,6 et la somme des dés : F(7) ≈ 0,583 ne suffit pas encore, F(8) = 26/36 ≈ 0,722 suffit — on obtient 8. C’est aussi ainsi qu’un modèle de langage choisit le mot suivant.
• Quantiles et médiane. La médiane est la valeur où F atteint 0,5 pour la première fois : pour la somme des dés, c’est 7. Quand on écrit d’un serveur que « 95 % des requêtes reçoivent une réponse en moins de 200 ms », on dit que F(200 ms) ≥ 0,95.
• Les modèles génératifs (modèles de diffusion, VAE) partent d’un bruit aléatoire — un vecteur de variables aléatoires de loi connue — et apprennent à le transformer en image ou en texte.

8. Résumé

• Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre au résultat d’une expérience.
• La loi dit comment la probabilité se répartit entre les valeurs ; la fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) la détermine entièrement.
• F est croissante, va de 0 à 1, est continue à droite, et P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).
• Une variable discrète a une F en escalier ; une variable continue a une F sans sauts, et chaque valeur prise isolément a une probabilité 0.
• La fonction de répartition empirique estime F à partir des données et s’en rapproche à mesure que le nombre de mesures augmente.

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