Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point

Fonction de masse, densité de probabilité et aire sous la courbe — pourquoi une densité n’est pas une probabilité, peut dépasser 1 et comment l’estimer à partir des données avec un histogramme.

13 minutes Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Bases de l’IA Partie 15 sur 52

1. Carte de l’intelligence artificielle : qu’est-ce qui est quoi et comment tout s’emboîte
2. Brève histoire de l’intelligence artificielle : de Turing aux modèles de langage
3. Données, modèle, entraînement, inférence : les notions de base sur un seul exemple
4. Lire la notation mathématique : symboles, indices, sommes et quantificateurs
5. Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA
6. Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction
7. Logique et démonstrations : les règles selon lesquelles on raisonne en IA
8. Graphes et arbres : la structure sur laquelle reposent la recherche et les réseaux de neurones
9. Algèbre linéaire pour l’apprentissage automatique : vecteurs, matrices et pourquoi l’IA multiplie surtout
10. Dérivées, gradient et règle de dérivation en chaîne : comment un modèle sait dans quelle direction apprendre
11. Descente de gradient : comment un modèle apprend
12. Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov
13. Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau
14. Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi
15. Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point
16. Espérance, variance et covariance : où se situe une loi, quelle est sa largeur et ce qui varie avec quoi
17. Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle
18. Loi des grands nombres et théorème central limite : pourquoi les moyennes sont si prévisibles
19. Statistique et estimation de paramètres : maximum de vraisemblance, MAP et intervalles de confiance
20. Théorie de l’information : entropie, entropie croisée et divergence KL — d’où viennent les fonctions de perte
21. Recherche dans l’espace d’états : BFS, DFS, UCS et A* en animations
22. Jeux et adversaires : minimax, élagage alpha-bêta et Monte Carlo tree search
23. Satisfaction de contraintes : backtracking, propagation de contraintes et AC-3 sur un sudoku et une carte des régions tchèques
24. Logique et systèmes à base de connaissances : chaînage avant et arrière, résolution et systèmes experts
25. Planification : STRIPS, monde des blocs, heuristiques par relaxation et planification dans les agents IA
26. Recherche locale et recuit simulé : un voyageur de commerce à travers les chefs-lieux de région tchèques
27. Algorithmes génétiques : population, croisement, mutation et sélection sur un sac à dos de randonnée
28. Stratégies d’évolution et programmation génétique : de la règle du cinquième à la loi de Kepler
29. Optimisation par colonies de fourmis : comment une piste de phéromone trouve un chemin court
30. Optimisation par essaim de particules : inertie, expérience propre et expérience de l’essaim
31. Neuroévolution : faire évoluer les poids et la forme des réseaux de neurones, et l’algorithme NEAT
32. Ensembles flous et fonctions d’appartenance : comment écrire « un peu chaud »
33. Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »
34. Logique floue : t-normes, implications et règles SI–ALORS
35. Commande floue : Mamdani et Sugeno, du ventilateur au pendule inversé sur un chariot
36. Clustering flou : l’algorithme fuzzy c-means et les points entre les clusters
37. Systèmes neuro-flous (ANFIS) : des règles floues qui apprennent à partir des données
38. Chaînes de Markov : matrice de transition, distribution stationnaire et PageRank
39. Modèles de Markov cachés : l’algorithme de Viterbi et le casino malhonnête
40. Réseaux bayésiens : pourquoi l’herbe est mouillée et ce que cela implique pour l’arroseur
41. Le filtre de Kalman : comment estimer, à partir de mesures imprécises, où se trouve une voiture et à quelle vitesse elle roule
42. Types d’apprentissage automatique : supervisé, non supervisé, semi-supervisé et plus
43. Prompts, contexte et RAG : comment donner au modèle les bonnes informations
44. Autoencodeurs variationnels (VAE) : de nouvelles images à partir d’un espace latent continu
45. Réseaux antagonistes génératifs (GAN) : le faussaire contre le détective
46. Modèles de diffusion : comment une image naît du bruit pur
47. Processus de décision markoviens : états, actions, récompenses et équations de Bellman
48. Q-learning et DQN : apprendre la valeur des actions, du tableau au réseau de neurones
49. Policy gradient et PPO : apprendre directement la politique
50. Comment fonctionne un agent IA : un modèle de langage en boucle avec des outils
51. Programmer avec des agents IA : consigne, tests et vérification
52. Évaluation et sécurité des systèmes d’IA : comment mesurer et comment surveiller

Programme complet de la série 52 sur 83 sujets publiés

La partie sur la variable aléatoire s’est terminée sur un paradoxe : attendre le bus exactement 3 minutes a une probabilité nulle — et pourtant, vous attendrez bien une durée précise. La fonction de répartition sait en tenir compte, mais elle n’est pas très parlante. Cette partie présente deux fonctions bien plus faciles à dessiner et à lire : la fonction de masse pour les variables discrètes et la densité pour les variables continues.

1. Fonction de masse

Définition — fonction de masse

Pour une variable aléatoire discrète X de valeurs x₁, x₂, …, la fonction de masse est

p_X(x) = P(X = x), x ∈ ℝ.

Théorème — propriétés de la fonction de masse

Pour la fonction de masse p d’une variable discrète X de fonction de répartition F, on a

1. p(x) ≥ 0 pour tout x ;
2. ∑_i p(x_i) = 1 ;
3. F(x) = ∑_{xi ≤ x} p(x_i).

2. Pourquoi une variable continue n’a pas de probabilité en un point

Prenons une variable continue : le temps X, en minutes, avant que vous arrive le prochain e-mail, sachant qu’il en arrive un toutes les 2 minutes en moyenne. Une telle attente suit une loi exponentielle, de fonction de répartition F(x) = 1 − e^−0,5x pour x ≥ 0 (pourquoi celle-là précisément, la partie sur les lois le montrera). La fonction de masse ne sert à rien ici — elle serait nulle en chaque point. Prenons donc, au lieu d’un point, l’intervalle [2, 2 + h] et rétrécissons-le :

largeur h	P(2 < X ≤ 2 + h)	P / h
2	0,2325	0,1163
1	0,1447	0,1447
0,5	0,0814	0,1627
0,1	0,0179	0,1794
0,01	0,0018	0,1835
→ 0	→ 0	→ f(2) ≈ 0,1839

La probabilité de l’intervalle tend vers zéro — 0,2325, 0,1447, …, 0,0018 —, et c’est pourquoi on obtient zéro en un seul point. Mais la probabilité par unité de longueur, c’est-à-dire P / h, se stabilise : 0,1163, 0,1447, 0,1627, 0,1794, 0,1835… et s’approche de 0,1839. Ce nombre-là dit quelque chose du point 2 : combien de probabilité revient à chaque minute autour de la deuxième minute. C’est la densité.

3. L’aire sous la courbe : l’intégrale

Définition — intégrale

Pour une fonction f sur l’intervalle [a, b], découpons l’intervalle en n morceaux de largeur Δx = (b − a) / n, avec des points x_i à l’intérieur des morceaux. L’intégrale est la limite des sommes

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ f(x_i) · Δx,

si elle existe et ne dépend pas du choix des points x_i.

4. Fonction de densité

Définition — densité de probabilité

Une fonction f : ℝ → [0, ∞) est la densité d’une variable aléatoire X si, pour tout x ∈ ℝ,

F_X(x) = ∫_−∞^x f(t) dt.

Une variable qui possède une densité est dite absolument continue.

Théorème — la probabilité comme aire

Si X a pour densité f, alors pour a < b

P(a < X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a),

∫_−∞^∞ f(x) dx = 1 et, en tout point où F est dérivable, f(x) = F′(x).

Que l’e-mail arrive entre la première et la troisième minute, c’est l’aire sous la courbe entre 1 et 3 : F(3) − F(1) = e^−0,5 − e^−1,5 ≈ 0,383.

5. La densité n’est pas une probabilité

La valeur de la densité en un point n’est pas une probabilité — c’est une probabilité par unité. Pour obtenir une probabilité, il faut la multiplier par la largeur de l’intervalle : pour un intervalle étroit, P(x < X ≤ x + h) ≈ f(x) · h. Pour x = 2 et h = 0,1, cela donne 0,1839 · 0,1 ≈ 0,0184 ; la vraie valeur est 0,0179.

C’est pourquoi une densité peut dépasser 1. Si vous arrivez à un arrêt desservi toutes les trente secondes, l’attente est uniforme sur l’intervalle [0 ; 0,5] et la densité y vaut partout 2 — l’aire du rectangle 0,5 × 2 vaut toujours 1. C’est comme la densité de population : 2 000 habitants au km² ne disent pas combien de personnes vivent dans une maison — pour obtenir un nombre, il faut multiplier la densité par la surface.

6. Estimer la densité à partir des données : l’histogramme

Définition — l’histogramme comme estimation de la densité

Découpons l’axe en classes de largeur w. Pour des données x₁, …, x_n, l’histogramme est la fonction qui, sur la classe B, prend la valeur

f̂(x) = (nombre de i tels que x_i ∈ B) / (n · w), x ∈ B.

Nous avons simulé 100, 1 000 et 10 000 attentes d’un e-mail (avec des classes de 0,5 minute) et tracé la vraie densité par-dessus les histogrammes :

Avec 100 attentes, une barre s’écarte de la réalité de jusqu’à 0,098, avec 1 000 de 0,017 et avec 10 000 de 0,008. La part des attentes d’au plus une minute vaut 0,440, 0,397 et 0,390 — la vraie probabilité est F(1) ≈ 0,393. À mesure que les données s’accumulent, l’histogramme épouse la densité, tout comme la fonction de répartition empirique épousait la vraie.

7. Discret et continu côte à côte

8. Densités et fonctions de masse en intelligence artificielle

• Un classifieur et un modèle de langage renvoient une fonction de masse. La dernière couche (softmax) attribue à chaque classe ou à chaque mot un nombre entre 0 et 1, et leur somme vaut 1 — exactement les propriétés d’une fonction de masse.
• Vraisemblance. Le modèle apprend de sorte que les données d’entraînement aient la plus grande probabilité possible (pour des données discrètes) ou la plus grande densité (pour des données continues). Le logarithme négatif de ce nombre est une fonction de perte courante.
• Détection d’anomalies. Le modèle estime la densité du trafic habituel ; une transaction ou une mesure située là où la densité est très faible est suspecte.
• Les modèles génératifs apprennent la densité d’images, de sons ou de textes — et une nouvelle image est un échantillon tiré de cette densité apprise.

9. Résumé

• Une variable discrète est décrite par sa fonction de masse p(x) = P(X = x) ; les bâtons font 1 au total.
• Une variable continue a une probabilité 0 en chaque point ; ce qui a un sens, c’est la probabilité par unité de longueur — la densité.
• La densité f est la dérivée de la fonction de répartition, et la probabilité d’un intervalle est l’aire sous elle — une intégrale.
• La densité n’est pas une probabilité et peut dépasser 1 ; l’aire totale sous elle vaut toujours 1.
• Un histogramme divisé par le nombre de données et la largeur des classes estime la densité à partir des données.

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