Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction

Ensemble de départ, image, injectivité, composition, réciproque, fonctions de plusieurs variables et convexité — avec les courbes de la sigmoïde, de ReLU et du paysage de l’erreur.

13 minutes Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Bases de l’IA Partie 6 sur 52

1. Carte de l’intelligence artificielle : qu’est-ce qui est quoi et comment tout s’emboîte
2. Brève histoire de l’intelligence artificielle : de Turing aux modèles de langage
3. Données, modèle, entraînement, inférence : les notions de base sur un seul exemple
4. Lire la notation mathématique : symboles, indices, sommes et quantificateurs
5. Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA
6. Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction
7. Logique et démonstrations : les règles selon lesquelles on raisonne en IA
8. Graphes et arbres : la structure sur laquelle reposent la recherche et les réseaux de neurones
9. Algèbre linéaire pour l’apprentissage automatique : vecteurs, matrices et pourquoi l’IA multiplie surtout
10. Dérivées, gradient et règle de dérivation en chaîne : comment un modèle sait dans quelle direction apprendre
11. Descente de gradient : comment un modèle apprend
12. Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov
13. Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau
14. Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi
15. Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point
16. Espérance, variance et covariance : où se situe une loi, quelle est sa largeur et ce qui varie avec quoi
17. Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle
18. Loi des grands nombres et théorème central limite : pourquoi les moyennes sont si prévisibles
19. Statistique et estimation de paramètres : maximum de vraisemblance, MAP et intervalles de confiance
20. Théorie de l’information : entropie, entropie croisée et divergence KL — d’où viennent les fonctions de perte
21. Recherche dans l’espace d’états : BFS, DFS, UCS et A* en animations
22. Jeux et adversaires : minimax, élagage alpha-bêta et Monte Carlo tree search
23. Satisfaction de contraintes : backtracking, propagation de contraintes et AC-3 sur un sudoku et une carte des régions tchèques
24. Logique et systèmes à base de connaissances : chaînage avant et arrière, résolution et systèmes experts
25. Planification : STRIPS, monde des blocs, heuristiques par relaxation et planification dans les agents IA
26. Recherche locale et recuit simulé : un voyageur de commerce à travers les chefs-lieux de région tchèques
27. Algorithmes génétiques : population, croisement, mutation et sélection sur un sac à dos de randonnée
28. Stratégies d’évolution et programmation génétique : de la règle du cinquième à la loi de Kepler
29. Optimisation par colonies de fourmis : comment une piste de phéromone trouve un chemin court
30. Optimisation par essaim de particules : inertie, expérience propre et expérience de l’essaim
31. Neuroévolution : faire évoluer les poids et la forme des réseaux de neurones, et l’algorithme NEAT
32. Ensembles flous et fonctions d’appartenance : comment écrire « un peu chaud »
33. Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »
34. Logique floue : t-normes, implications et règles SI–ALORS
35. Commande floue : Mamdani et Sugeno, du ventilateur au pendule inversé sur un chariot
36. Clustering flou : l’algorithme fuzzy c-means et les points entre les clusters
37. Systèmes neuro-flous (ANFIS) : des règles floues qui apprennent à partir des données
38. Chaînes de Markov : matrice de transition, distribution stationnaire et PageRank
39. Modèles de Markov cachés : l’algorithme de Viterbi et le casino malhonnête
40. Réseaux bayésiens : pourquoi l’herbe est mouillée et ce que cela implique pour l’arroseur
41. Le filtre de Kalman : comment estimer, à partir de mesures imprécises, où se trouve une voiture et à quelle vitesse elle roule
42. Types d’apprentissage automatique : supervisé, non supervisé, semi-supervisé et plus
43. Prompts, contexte et RAG : comment donner au modèle les bonnes informations
44. Autoencodeurs variationnels (VAE) : de nouvelles images à partir d’un espace latent continu
45. Réseaux antagonistes génératifs (GAN) : le faussaire contre le détective
46. Modèles de diffusion : comment une image naît du bruit pur
47. Processus de décision markoviens : états, actions, récompenses et équations de Bellman
48. Q-learning et DQN : apprendre la valeur des actions, du tableau au réseau de neurones
49. Policy gradient et PPO : apprendre directement la politique
50. Comment fonctionne un agent IA : un modèle de langage en boucle avec des outils
51. Programmer avec des agents IA : consigne, tests et vérification
52. Évaluation et sécurité des systèmes d’IA : comment mesurer et comment surveiller

Programme complet de la série 52 sur 83 sujets publiés

Tout modèle d’intelligence artificielle est une fonction. Un filtre anti-spam prend un e-mail et renvoie « spam » ou « pas spam », un modèle de langage prend un texte et renvoie les probabilités du mot suivant, un réseau de neurones est une fonction composée de milliers de fonctions plus petites. Et l’apprentissage n’est rien d’autre que la recherche de la bonne fonction.

La partie précédente s’est terminée sur la définition d’une fonction comme relation particulière. Nous partons de là : à quoi ressemblent les fonctions, quelles propriétés elles ont, comment on les compose et pourquoi tout cela compte en IA.

1. Qu’est-ce qu’une fonction

Définition — fonction (application)

Une fonction f : X → Y associe à chaque élément x ∈ X exactement un élément f(x) ∈ Y. Le mot application signifie la même chose.

X est l’ensemble de départ (domaine), Y l’ensemble d’arrivée (codomaine). L’image de la fonction est l’ensemble des valeurs qu’elle prend réellement : f(X) = {f(x) : x ∈ X} ⊆ Y.

Le graphe de la fonction est l’ensemble des couples {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y.

La différence entre ensemble d’arrivée et image se voit sur la sigmoïde σ : ℝ → ℝ : elle a le droit de renvoyer n’importe quel nombre réel, mais ne renvoie en réalité que des nombres entre 0 et 1. C’est pourquoi on peut la lire comme une probabilité.

2. Les fonctions que vous croiserez en IA

Une fonction d’une variable se comprend le mieux à partir de sa courbe. Celles-ci reviennent sans cesse en intelligence artificielle — comme modèles, comme fonctions d’activation des réseaux de neurones ou comme fonctions de perte :

linéaire : f(x) = ax + b

quadratique : x²

exponentielle : e^x

logarithme : ln x

sigmoïde : 1 / (1 + e^−x)

tangente hyperbolique : tanh x

ReLU : max(0, x)

• La fonction linéaire est le modèle le plus simple — la régression linéaire n’est rien d’autre.
• La fonction quadratique est la base de l’erreur quadratique moyenne : la pénalité croît avec le carré de l’écart.
• L’exponentielle et le logarithme sont réciproques l’une de l’autre ; le logarithme transforme la multiplication en addition, et c’est pourquoi vous le trouverez dans toute fonction de perte fondée sur des probabilités.
• La sigmoïde et tanh « écrasent » n’importe quel nombre dans l’intervalle (0, 1), respectivement (−1, 1).
• ReLU laisse passer les nombres positifs et met les négatifs à zéro. Elle est si simple qu’on a longtemps douté qu’elle puisse fonctionner — c’est aujourd’hui la fonction d’activation la plus utilisée.

3. Injective, surjective et bijective

Définition — fonction injective, surjective et bijective

f : X → Y est injective lorsque des entrées différentes donnent des sorties différentes : ∀x₁, x₂ : f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.

f est surjective lorsqu’elle atteint chaque élément de Y : ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f(x) = y, autrement dit f(X) = Y.

f est bijective (correspondance biunivoque) lorsqu’elle est à la fois injective et surjective.

injective injective: oui surjective: non

surjective injective: non surjective: oui

bijective injective: oui surjective: oui

ni l’une ni l’autre injective: non surjective: non

En IA, presque tout modèle est non injectif : un classifieur envoie des milliers de photos de chats différentes dans une seule classe, « chat ». L’information sur la photo dont il s’agissait est ainsi perdue — et c’est très bien, c’est justement ce qu’on attend d’un classifieur. À l’inverse, les modèles de compression (auto-encodeurs) cherchent à être « presque injectifs », pour que l’on puisse reconstruire l’entrée à partir de sa forme compressée.

4. Composition de fonctions

Définition — fonction composée

Pour f : X → Y et g : Y → Z, la fonction composée g ∘ f : X → Z est définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

La composition est associative, h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, mais en général pas commutative : g ∘ f ≠ f ∘ g.

Prenons f(x) = 2x + 1 et g(x) = x² :

C’est exactement ainsi qu’est construit un réseau de neurones. Chaque couche est une fonction — une étape linéaire suivie d’une fonction d’activation — et le réseau entier est leur composée : f = f₃ ∘ f₂ ∘ f₁. Un réseau « profond » n’est qu’une longue composition. Et quand, dans les parties suivantes, nous apprendrons à dériver, la règle de dérivation en chaîne dira justement comment dériver des fonctions composées.

5. Fonction réciproque

Définition — fonction réciproque

Une fonction f⁻¹ : Y → X est la réciproque (l’inverse) de f : X → Y lorsque f⁻¹(f(x)) = x pour tout x ∈ X et f(f⁻¹(y)) = y pour tout y ∈ Y.

Théorème. La fonction réciproque existe si et seulement si f est bijective.

L’exponentielle et le logarithme forment un couple de fonctions réciproques : ln(e^x) = x. La réciproque de la sigmoïde est la fonction logit, logit(p) = ln(p / (1 − p)) — elle refait d’une probabilité un nombre réel quelconque. C’est pourquoi on appelle « logits » les sorties du réseau avant la sigmoïde ou le softmax.

6. Fonctions de plusieurs variables

Définition — fonction de plusieurs variables

Une fonction f : ℝⁿ → ℝ associe au vecteur (x₁, …, x_n) un nombre ; une fonction f : ℝⁿ → ℝ^m associe à un vecteur un vecteur (fonction vectorielle).

Une fonction de deux variables peut se dessiner comme une carte : on colore chaque point (x, y) selon la valeur f(x, y). Voici la fonction de Himmelblau, un test classique des algorithmes d’optimisation. Les zones sombres sont des vallées de faible valeur, les points blancs sont les quatre minima, où la fonction vaut zéro :

C’est exactement ainsi qu’il faut imaginer la fonction de perte d’un modèle : l’entrée, ce sont ses paramètres, la sortie, l’erreur. L’entraînement est la recherche du point le plus bas du paysage — sauf qu’au lieu de deux dimensions, le paysage d’un vrai modèle en compte des millions.

7. Monotonie et convexité

Définition — fonction croissante et fonction convexe

f est strictement croissante lorsque x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). Une fonction strictement croissante est toujours injective.

f est convexe lorsque pour tous x₁, x₂ et t ∈ [0, 1] on a f(tx₁ + (1 − t)x₂) ≤ t f(x₁) + (1 − t) f(x₂).

Théorème. Tout minimum local d’une fonction convexe est aussi un minimum global.

convexe : x², un seul minimum

non convexe : x⁴ − 3x² + x

La fonction non convexe x⁴ − 3x² + x a deux minima : un global en x ≈ −1,30, de valeur ≈ −3,51, et un local en x ≈ 1,13, de valeur ≈ −1,07. Qui commence à chercher à droite et descend toujours finit dans le moins bon. Les fonctions de perte de la régression linéaire et de la régression logistique sont convexes — c’est pourquoi leur entraînement trouve à coup sûr la meilleure solution. Les pertes des réseaux de neurones ne sont pas convexes ; la manière de faire avec sera le sujet de la partie sur la descente de gradient.

8. Les fonctions en intelligence artificielle

On peut désormais dire tout l’apprentissage automatique dans le langage des fonctions :

• Un modèle est une fonction f_θ : X → Y de paramètres θ — toute une famille de fonctions, une pour chaque choix de paramètres.
• La fonction de perte L : Y × Y → ℝ dit combien coûte la réponse ŷ quand la bonne réponse est y.
• L’apprentissage consiste à choisir une fonction dans la famille : l’argmin sur θ de la perte moyenne — la fonction des paramètres que nous venons de dessiner comme un paysage.
• Les fonctions d’activation (sigmoïde, tanh, ReLU) font de couches linéaires un réseau non linéaire ; sans elles, la composée de fonctions linéaires ne serait encore qu’une fonction linéaire.

9. Résumé

• Une fonction associe à chaque entrée exactement une sortie ; l’image, c’est là où elle tombe réellement.
• Une fonction injective ne confond pas deux entrées, une surjective couvre toute l’arrivée, une bijective a une réciproque.
• La composition de fonctions est une chaîne de montage — et un réseau de neurones est une composée de couches.
• La fonction de perte est un paysage au-dessus de l’espace des paramètres ; un paysage convexe n’a qu’un seul fond, un non convexe peut en avoir plusieurs.

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