Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »

Aléatoire et flou, les deux bouteilles de Bezdek, les axiomes de la probabilité face à l’appartenance floue, les bornes de Fréchet, la probabilité d’un événement flou sur une prévision météo et les mots de la probabilité comme ensembles flous.

12 minutes Matěj Žalmánek 2026-10-15

Série Bases de l’IA Partie 33 sur 52

1. Carte de l’intelligence artificielle : qu’est-ce qui est quoi et comment tout s’emboîte
2. Brève histoire de l’intelligence artificielle : de Turing aux modèles de langage
3. Données, modèle, entraînement, inférence : les notions de base sur un seul exemple
4. Lire la notation mathématique : symboles, indices, sommes et quantificateurs
5. Ensembles et relations : les briques dont sont faites les définitions en IA
6. Fonctions et applications : pourquoi tout modèle d’IA est une fonction
7. Logique et démonstrations : les règles selon lesquelles on raisonne en IA
8. Graphes et arbres : la structure sur laquelle reposent la recherche et les réseaux de neurones
9. Algèbre linéaire pour l’apprentissage automatique : vecteurs, matrices et pourquoi l’IA multiplie surtout
10. Dérivées, gradient et règle de dérivation en chaîne : comment un modèle sait dans quelle direction apprendre
11. Descente de gradient : comment un modèle apprend
12. Qu’est-ce que la probabilité : du lancer de dé aux axiomes de Kolmogorov
13. Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes : comment réviser une estimation quand on apprend du nouveau
14. Variable aléatoire et fonction de répartition : une seule fonction qui dit tout de la loi
15. Fonction de densité et fonction de masse : pourquoi une variable continue a une probabilité nulle en chaque point
16. Espérance, variance et covariance : où se situe une loi, quelle est sa largeur et ce qui varie avec quoi
17. Panorama des lois de probabilité : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale et exponentielle
18. Loi des grands nombres et théorème central limite : pourquoi les moyennes sont si prévisibles
19. Statistique et estimation de paramètres : maximum de vraisemblance, MAP et intervalles de confiance
20. Théorie de l’information : entropie, entropie croisée et divergence KL — d’où viennent les fonctions de perte
21. Recherche dans l’espace d’états : BFS, DFS, UCS et A* en animations
22. Jeux et adversaires : minimax, élagage alpha-bêta et Monte Carlo tree search
23. Satisfaction de contraintes : backtracking, propagation de contraintes et AC-3 sur un sudoku et une carte des régions tchèques
24. Logique et systèmes à base de connaissances : chaînage avant et arrière, résolution et systèmes experts
25. Planification : STRIPS, monde des blocs, heuristiques par relaxation et planification dans les agents IA
26. Recherche locale et recuit simulé : un voyageur de commerce à travers les chefs-lieux de région tchèques
27. Algorithmes génétiques : population, croisement, mutation et sélection sur un sac à dos de randonnée
28. Stratégies d’évolution et programmation génétique : de la règle du cinquième à la loi de Kepler
29. Optimisation par colonies de fourmis : comment une piste de phéromone trouve un chemin court
30. Optimisation par essaim de particules : inertie, expérience propre et expérience de l’essaim
31. Neuroévolution : faire évoluer les poids et la forme des réseaux de neurones, et l’algorithme NEAT
32. Ensembles flous et fonctions d’appartenance : comment écrire « un peu chaud »
33. Logique floue et probabilité : pourquoi « un peu chaud » ne veut pas dire « probablement chaud »
34. Logique floue : t-normes, implications et règles SI–ALORS
35. Commande floue : Mamdani et Sugeno, du ventilateur au pendule inversé sur un chariot
36. Clustering flou : l’algorithme fuzzy c-means et les points entre les clusters
37. Systèmes neuro-flous (ANFIS) : des règles floues qui apprennent à partir des données
38. Chaînes de Markov : matrice de transition, distribution stationnaire et PageRank
39. Modèles de Markov cachés : l’algorithme de Viterbi et le casino malhonnête
40. Réseaux bayésiens : pourquoi l’herbe est mouillée et ce que cela implique pour l’arroseur
41. Le filtre de Kalman : comment estimer, à partir de mesures imprécises, où se trouve une voiture et à quelle vitesse elle roule
42. Types d’apprentissage automatique : supervisé, non supervisé, semi-supervisé et plus
43. Prompts, contexte et RAG : comment donner au modèle les bonnes informations
44. Autoencodeurs variationnels (VAE) : de nouvelles images à partir d’un espace latent continu
45. Réseaux antagonistes génératifs (GAN) : le faussaire contre le détective
46. Modèles de diffusion : comment une image naît du bruit pur
47. Processus de décision markoviens : états, actions, récompenses et équations de Bellman
48. Q-learning et DQN : apprendre la valeur des actions, du tableau au réseau de neurones
49. Policy gradient et PPO : apprendre directement la politique
50. Comment fonctionne un agent IA : un modèle de langage en boucle avec des outils
51. Programmer avec des agents IA : consigne, tests et vérification
52. Évaluation et sécurité des systèmes d’IA : comment mesurer et comment surveiller

Programme complet de la série 52 sur 83 sujets publiés

« Demain, il fera un peu chaud. » « Demain, il fera probablement chaud. » Les deux phrases contiennent de l’incertitude, et toutes deux peuvent s’exprimer par un nombre entre zéro et un. Pourtant, elles disent quelque chose de tout à fait différent. La première parle de la mesure dans laquelle le temps ressemblera au mot « chaud » ; la seconde, de la question de savoir si quelque chose que nous ignorons encore va se produire. La confusion entre ces deux sortes d’incertitude a mené à l’une des disputes les plus passionnées de l’histoire de l’intelligence artificielle — et c’est encore aujourd’hui une erreur fréquente.

Cet article fait suite aux parties Ensembles flous et fonctions d’appartenance et Qu’est-ce que la probabilité.

1. Deux sortes d’incertitude

Définition — aléatoire et flou

L’aléatoire (incertitude sur le résultat) concerne un événement qui se produit ou ne se produit pas ; simplement, nous ne savons pas lequel des deux. Il est décrit par la probabilité P(A) ∈ [0, 1] d’un événement net A.

Le flou (imprécision d’un concept) concerne la mesure dans laquelle un élément connu correspond à un concept aux contours imprécis. Il est décrit par le degré d’appartenance μ_A(x) ∈ [0, 1] à l’ensemble flou A.

2. Deux bouteilles

Un exemple de James Bezdek montre très bien la différence. Vous êtes dans le désert et vous avez soif. Devant vous, deux bouteilles. Sur la première, on lit : « L’appartenance à l’ensemble des liquides potables est de 0,91. » Sur la seconde : « La probabilité que le liquide soit potable est de 0,91. » Dans laquelle buvez-vous ?

La première bouteille contient quelque chose de presque potable — par exemple de l’eau un peu trouble. Elle ne vous fera certainement pas beaucoup de mal. La seconde contient de l’eau propre avec une probabilité de 0,91, mais dans neuf cas sur cent tout autre chose, par exemple du poison. Après ouverture, la différence apparaît aussi dans les nombres : l’appartenance de la première bouteille reste 0,91, car nous n’apprenons rien de plus. La probabilité de la seconde saute à 1 ou à 0 — l’événement aléatoire s’est produit ou non.

3. Ce que disent les axiomes

Rappel — les axiomes de Kolmogorov

La probabilité est une fonction P sur les événements avec P(A) ≥ 0, P(Ω) = 1 et l’additivité : pour des événements incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Il en découle P(A) + P(¬A) = 1 et P(A ∩ ¬A) = 0.

Dérivation. Les événements A et ¬A sont incompatibles et forment ensemble Ω, donc par additivité P(A) + P(¬A) = P(Ω) = 1. L’intersection A ∩ ¬A est l’événement impossible ∅ ; il est incompatible avec lui-même, donc P(∅) = P(∅ ∪ ∅) = 2 P(∅), ce qui n’est possible que pour P(∅) = 0. ∎

Une fonction d’appartenance n’a pas de tel budget. Dans la partie précédente, 25 °C était « agréable » à 0,6 et « chaud » à 0,5 — au total 1,1, et c’est très bien ainsi. Le tableau résume les différences :

D’où viennent les 0,5 du tableau ? Le « et » flou est ici le minimum, le « ou » le maximum et le « non » le complément 1 − μ, comme dans la partie sur les ensembles flous.

Théorème — « A et non A » et « A ou non A » dans les ensembles flous

Pour tout a = μ_A(x) ∈ [0, 1], on a min(a, 1 − a) ≤ 0,5 ≤ max(a, 1 − a), avec égalité exactement pour a = 0,5.

Démonstration. Les nombres a et 1 − a font 1 au total, donc le plus petit vaut au plus la moitié de la somme et le plus grand au moins la moitié. Tous deux valent 0,5 seulement lorsqu’ils sont égaux entre eux, c’est-à-dire pour a = 0,5. ∎

Exemple. À 25 °C, « chaud » vaut 0,5. Alors « chaud et pas chaud » = min(0,5 ; 0,5) = 0,5 et « chaud ou pas chaud » = max(0,5 ; 0,5) = 0,5 — le principe classique de non-contradiction voudrait 0, la loi du tiers exclu 1. En probabilité, « il fera au moins 25 °C et il ne fera pas au moins 25 °C » aurait toujours une probabilité de 0.

4. Combiner : qui a besoin de plus d’information

La dernière ligne du tableau est peut-être la plus importante. La logique floue est vérifonctionnelle : la valeur de « A et B » se calcule uniquement à partir des valeurs de A et de B. En probabilité, c’est impossible.

Définition — vérifonctionnalité

Le connecteur « et » est vérifonctionnel s’il existe une fonction g : [0, 1]² → [0, 1] telle que, pour toutes les propositions A, B, la valeur de « A et B » soit égale à g(valeur de A, valeur de B). En logique floue, g = min (ou une autre t-norme).

Exemple — pourquoi la probabilité n’est pas vérifonctionnelle

On lance un dé une fois. L’événement A = « on obtient un nombre pair » = {2, 4, 6} a P(A) = 3/6 = 1/2. Prenons trois événements B, tous de probabilité 1/2 :

• B = {2, 4, 6} (pair) : A ∩ B = {2, 4, 6}, P = 3/6 = 1/2,
• B = {4, 5, 6} (au moins 4) : A ∩ B = {4, 6}, P = 2/6 = 1/3,
• B = {1, 3, 5} (impair) : A ∩ B = ∅, P = 0.

Les entrées sont chaque fois les mêmes (1/2 et 1/2), les résultats sont trois valeurs différentes. Aucune fonction g ne peut donner à partir de (1/2, 1/2) à la fois 1/2, 1/3 et 0.

Théorème — les bornes de Fréchet

Pour des événements quelconques A, B, on a

max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))

et les deux bornes peuvent être atteintes. Sans connaître la relation entre A et B, on ne peut pas déterminer P(A ∩ B) plus précisément.

Démonstration. Borne supérieure : A ∩ B ⊆ A, donc P(A ∩ B) ≤ P(A), et de même ≤ P(B). Borne inférieure : de la formule de la réunion P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) et de P(A ∪ B) ≤ 1, il découle P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1 ; la positivité fournit le 0. La borne supérieure est atteinte quand un événement est entièrement contenu dans l’autre (A ⊆ B) ; la borne inférieure, quand les événements se recouvrent le moins possible — s’ils ne sont pas incompatibles, ils couvrent ensemble tout Ω. ∎

max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))

P(A ∩ B)

la probabilité que les deux événements se produisent — ce que nous aimerions connaître, mais que nous ne pouvons pas tirer de deux nombres

max(0, P(A) + P(B) − 1)

borne inférieure — deux probabilités dont la somme dépasse 1 ne tiennent pas dans le tout sans se recouvrir ; l’excédent au-delà de un doit se recouvrir. Le zéro est là parce que, s’il n’y a pas d’excédent, le recouvrement peut manquer complètement

min(P(A), P(B))

borne supérieure — les deux événements ensemble ne peuvent pas se produire plus souvent que le plus rare des deux

Chaque hypothèse sur la relation entre les événements donne un nombre de l’intervalle — et à chacune correspond un « et » flou (t-norme) de la partie sur la logique floue :

Il en découle une différence pratique. Un système flou se calcule facilement et rapidement, mais suppose tacitement une relation précise entre les concepts. Un modèle probabiliste doit spécifier explicitement les relations — ou les apprendre à partir des données — et obtient en échange des résultats qui concordent avec les fréquences du monde réel.

5. Probabilité d’un événement flou

Les deux incertitudes ne s’excluent pas pour autant — elles apparaissent souvent ensemble. « Quelle est la probabilité qu’il fasse chaud demain ? » contient du hasard (quelle température il fera) et du flou (ce qu’est « chaud »).

Définition — probabilité d’un événement flou (Zadeh, 1968)

Si X est une variable aléatoire de densité f et A un ensemble flou sur ses valeurs, la probabilité de l’événement flou A est

P(A) = E[μ_A(X)] = ∫ μ_A(x) f(x) dx.

Pour un ensemble net, c’est la probabilité ordinaire. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs x_i avec des probabilités p_i, l’intégrale devient une somme : P(A) = ∑_i μ_A(x_i) p_i.

P(A) = ∫ μ_A(x) · f(x) dx

P(A)

probabilité de l’événement flou — un seul nombre qui porte les deux incertitudes à la fois

f(x)

densité de la prévision — aléatoire : à quel point la température x est probable (la courbe grise sur la figure)

μ_A(x)

appartenance — flou : quelle part de la température x est « chaude » ; au lieu d’un « compte / ne compte pas » net, chaque température ne compte que pour sa part (en ambre sur la figure)

∫ … dx

sommation sur toutes les températures — comme pour la probabilité ordinaire, sauf qu’on ne somme pas toute la densité, mais la densité pondérée par l’appartenance ; le résultat est l’aire remplie sur la figure

La prévision dit que la température de demain suit une loi normale d’espérance 24 °C et d’écart type 3 °C. « Chaud » est le triangle (22, 28, 34) de la partie précédente :

Exemple — l’intégrale comme somme degré par degré

La densité de la loi normale d’espérance m = 24 et d’écart type σ = 3 est f(x) = e^{−(x − m)² / (2σ²)} / (σ √(2π)). Pour 25 °C : f(25) = e^−1/18 / (3 · 2,5066) = 0,9460 · 0,1330 = 0,1258. L’appartenance au triangle (22, 28, 34) sur le côté croissant est (x − 22) / (28 − 22), donc μ(25) = 3/6 = 0,5. La température de 25 °C apporte donc 0,5 · 0,1258 = 0,0629 par degré.

En dehors de l’intervalle (22, 34), μ = 0, il suffit donc d’additionner les contributions des degrés entiers de 23 à 33 (chacune multipliée par une largeur de 1 °C) :

x (°C)	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
μ(x)	0,17	0,33	0,50	0,67	0,83	1,00	0,83	0,67	0,50	0,33	0,17
f(x)	0,126	0,133	0,126	0,106	0,081	0,055	0,033	0,018	0,009	0,004	0,001
μ · f	0,021	0,044	0,063	0,071	0,067	0,055	0,028	0,012	0,004	0,001	0,000

La somme de la dernière ligne vaut 0,367 — même avec un pas aussi grossier, autant que l’intégrale exacte. Les plus grandes contributions ne viennent ni des jours les plus chauds (28 °C est entièrement « chaud », mais peu probable) ni des plus probables (24 °C n’est « chaud » qu’à un tiers), mais de 25–28 °C, où les deux nombres sont raisonnablement grands.

La probabilité de l’événement flou « il fera chaud » vaut 0,367 — presque autant que la probabilité de l’événement net « il fera au moins 25 °C » (0,369). C’est une coïncidence propre à cette prévision. Quand on décale la prévision, elles divergent :

Avec une prévision fraîche, l’événement flou donne davantage, car il compte aussi les jours « un peu chauds » sous 25 °C. Avec une prévision de 28 °C, en revanche, nettement moins : l’événement net « au moins 25 °C » inclut à coup sûr aussi 33 °C, mais selon notre variable linguistique, ce n’est plus « chaud », mais « torride ». L’événement flou s’en tient à ce que le mot veut vraiment dire.

6. Les mots de la probabilité

Dans un article de 1964, Sherman Kent, analyste de la CIA, a décrit combien les rapports de renseignement sont pleins de mots comme « probablement » ou « presque certainement » — et combien chaque lecteur imagine derrière eux un nombre différent. Il a proposé un tableau : « presque certainement » autour de 93 %, « probablement » autour de 75 %, « une chance sur deux » autour de 50 %, « probablement pas » autour de 30 % et « presque certainement pas » autour de 7 %, toujours avec une fourchette. Ici, les deux incertitudes se rencontrent parfaitement : les mots de la probabilité sont des ensembles flous sur les probabilités.

Exemple — quel mot convient à une probabilité donnée

Les mots sont des triangles autour des valeurs de Kent : « probablement » est (0,6 ; 0,75 ; 0,9), « probablement pas » (0,18 ; 0,3 ; 0,42), « une chance sur deux » (0,38 ; 0,5 ; 0,62). La largeur des triangles est notre choix pour l’illustration, pas le tableau de Kent. Sur le côté décroissant du triangle (a, b, c), μ(p) = (c − p) / (c − b) ; sur le côté croissant, (p − a) / (b − a).

• p = 0,8 : μ_probablement = (0,9 − 0,8) / (0,9 − 0,75) = 0,1 / 0,15 = 0,67 ; les autres mots valent zéro en 0,8.
• p = 0,37 : μ_{probablement pas} = (0,42 − 0,37) / (0,42 − 0,3) = 0,05 / 0,12 = 0,42 ; « une chance sur deux » ne commence qu’à 0,38, il vaut donc 0,00.

Le mot qui convient le mieux est celui dont l’appartenance est la plus grande : mot(p) = argmax_s μ_s(p).

Une probabilité de 0,8 est « probablement » aux deux tiers ; le 0,37 de notre prévision est le mieux décrit par « probablement pas ». Le Groupe d’experts intergouvernemental sur l’évolution du climat (GIEC) procède aujourd’hui de façon semblable : « likely » signifie 66–100 % et « very likely » 90–100 %, pour que les mots de ses rapports n’induisent pas une autre interprétation.

7. La dispute sur l’incertitude

Dans les années 1980 a éclaté une dispute que résument bien deux voix. Le statisticien Dennis Lindley affirmait que la seule description raisonnable de l’incertitude est la probabilité — et que tout ce que fait la logique floue, la probabilité le fait mieux. Bart Kosko soutenait au contraire que la probabilité n’est qu’un cas particulier de l’imprécision. Tous deux avaient une part de vérité. Pour la décision dans l’incertitude, l’apprentissage à partir de données et les paris, la probabilité dispose d’un solide fondement théorique : avec quiconque parie selon d’autres nombres que des probabilités, on peut conclure une série de paris sur lesquels il perd à coup sûr. Pour travailler avec des mots vagues, des règles écrites à la main et une commande simple, les ensembles flous sont plus naturels et plus compréhensibles. Aujourd’hui, les deux théories s’utilisent côte à côte, chacune pour ce qui lui convient.

Exemple — des paris que l’on perd à coup sûr

L’argument a été formulé par Bruno de Finetti (1931, et indépendamment de lui par Frank Ramsey en 1926) ; le voici sous une forme simplifiée. Quiconque attribue à un événement A un « degré de croyance » q(A) est prêt à acheter pour q(A) euros un pari qui rapporte 1 euro si A se produit.

Un parieur croit à 0,6 qu’il pleuvra demain, et à 0,6 aussi qu’il ne pleuvra pas — au total 1,2, en contradiction avec P(A) + P(¬A) = 1. Nous lui vendons les deux paris :

• il paie 0,6 + 0,6 = 1,20 €,
• quel que soit le temps, exactement un des événements se produit, il récupère donc exactement 1 €,
• il perd 1,2 − 1 = 0,20 € — à coup sûr, quel que soit le temps.

Si les nombres faisaient moins de 1 au total (par exemple 0,4 + 0,4), c’est nous qui lui achèterions les paris pour 0,8 en lui versant 1 — il perd de nouveau 0,2. Seule une somme d’exactement 1 est sûre. On peut montrer de façon semblable que la protection contre une perte certaine exige tous les axiomes de Kolmogorov (pour un nombre fini d’événements). Les appartenances floues n’ont pas une somme de 1 — et ce n’est pas un défaut, car il ne s’agit pas de paris sur ce qui va se produire.

8. Les deux incertitudes en intelligence artificielle

• L’apprentissage automatique est surtout probabiliste. Les classifieurs et les modèles de langage renvoient des distributions de probabilité ; ils apprennent en maximisant la vraisemblance, comme l’ont montré les parties sur la statistique et la théorie de l’information.
• Calibration. Quand un modèle affirme 90 %, il devrait avoir raison dans neuf cas sur dix. La calibration est une propriété purement probabiliste, et elle se mesure.
• La confiance en mots. Les modèles de langage expriment souvent leur confiance par des mots — « probablement », « très probablement », « peut-être ». Le raisonnement de Kent aide ici : un mot est un ensemble flou sur les probabilités, et pour que la confiance verbale soit utile, elle doit correspondre aux nombres qui se trouvent derrière.
• Les règles floues restent utilisées là où il faut une commande manuelle et lisible, sans beaucoup de données — des machines à laver à la conduite de procédés industriels.

9. Résumé

• La probabilité décrit l’aléatoire — si un événement se produit ; l’appartenance floue décrit le flou — à quel point un élément correspond à un concept.
• Après observation, la probabilité devient 0 ou 1, tandis que l’appartenance reste la même (les bouteilles de Bezdek).
• Les probabilités ont une somme de un et P(A ∩ ¬A) = 0 ; les appartenances, non.
• La logique floue est vérifonctionnelle ; en probabilité, P(A ∩ B) se situe seulement entre les bornes de Fréchet, et le minimum flou est la borne supérieure.
• Les deux incertitudes peuvent se combiner : la probabilité de l’événement flou « il fera chaud » est l’espérance de l’appartenance ; les mots de la probabilité sont des ensembles flous sur les probabilités.

Envie d’essayer par vous-même ? Demandez à quelques personnes quel pourcentage elles imaginent derrière « probablement » et « sans doute pas », et demandez à un agent IA de tracer des fonctions d’appartenance à partir de leurs réponses.

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