Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA

Conjuntos, subconjuntos, operaciones, producto cartesiano, relaciones, equivalencias y órdenes, con diagramas de Venn, la matriz de una relación y para qué sirve todo esto en la inteligencia artificial.

13 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 5 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Los conjuntos y las relaciones son las piezas con las que se construye casi cualquier definición en IA. El espacio de estados es un conjunto de estados, las transiciones entre ellos son relaciones, los datos de entrenamiento son un conjunto de pares y la clasificación reparte las entradas en clases. Quien entiende estos dos conceptos lee las definiciones de las siguientes partes como texto corriente.

La notación de los símbolos (∈, ⊆, ∪, ×) la vimos en la parte anterior. Aquí iremos más al fondo: qué significan exactamente, qué propiedades tienen y para qué sirven en la inteligencia artificial.

1. Qué es un conjunto

Definición — conjunto y elemento

Un conjunto es una colección de objetos distintos entre sí. A estos objetos los llamamos elementos del conjunto.

La notación x ∈ A significa «x es un elemento del conjunto A», y la notación x ∉ A, «x no es un elemento de A».

Un conjunto se escribe o bien enumerando sus elementos entre llaves —A = {1, 2, 3} o {↑, →, ↓, ←}— o bien mediante una propiedad que cumplen los elementos: {x ∈ ℕ : x es par}. Para A = {1, 2, 3} se cumple 2 ∈ A y 5 ∉ A. La notación mediante una propiedad puede describir también conjuntos infinitos y en IA se usa casi siempre: «el conjunto de todos los estados desde los que se puede llegar a la meta».

Definición — igualdad de conjuntos

Los conjuntos A y B son iguales, A = B, cuando tienen exactamente los mismos elementos: ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Definición — cardinalidad y conjunto vacío

La cardinalidad |A| de un conjunto finito A es el número de sus elementos.

El conjunto vacío ∅ es el conjunto que no tiene ningún elemento; |∅| = 0.

2. Subconjuntos y conjunto potencia

De un conjunto podemos elegir otros más pequeños. Para ello necesitamos tres conceptos que se apoyan unos en otros: el subconjunto, el subconjunto propio y el conjunto potencia.

Definición — subconjunto

Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, y escribimos A ⊆ B, cuando cada elemento de A es también elemento de B: ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Definición — subconjunto propio

A es un subconjunto propio de B, y escribimos A ⊂ B, cuando A ⊆ B y a la vez A ≠ B.

Definición — conjunto potencia

El conjunto potencia 𝒫(A) es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A: 𝒫(A) = {S : S ⊆ A}.

Teorema. Para un conjunto finito A se cumple |𝒫(A)| = 2^|A|.

Para A = {a, b, c} se tiene 𝒫(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}: 8 subconjuntos en total. Este crecimiento exponencial te lo encontrarás en IA a cada paso. Un modelo que tiene que elegir cuáles de 50 características usar tiene 2⁵⁰ opciones: más de mil billones de posibilidades. Por eso la selección de características no se hace probando todas las combinaciones.

3. Operaciones con conjuntos

Definición — unión, intersección, diferencia, complemento

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} — unión,

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} — intersección,

A ∖ B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B} — diferencia,

A^c = U ∖ A — complemento respecto al conjunto universal U (el «universo»).

Leyes de De Morgan: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c y (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c.

A ∪ B — unión

A ∩ B — intersección

A ∖ B — diferencia

A^c — complemento

En la práctica de la IA, las intersecciones se usan por ejemplo al evaluar un modelo. Si P es el conjunto de correos que el modelo marcó como spam y S el conjunto de correos que realmente son spam, entonces la precisión (precision) es |P ∩ S| / |P| —cuántos de los marcados eran realmente spam— y la exhaustividad (recall) es |P ∩ S| / |S| —cuánto spam atrapó el modelo—.

4. Producto cartesiano y n-tuplas

Definición — par ordenado y producto cartesiano

Un par ordenado (a, b) se diferencia del conjunto {a, b} en que el orden importa: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.

Producto cartesiano A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Para conjuntos finitos, |A × B| = |A| · |B|.

En general, A₁ × … × A_n es el conjunto de n-tuplas; Aⁿ = A × … × A (n veces).

El producto cartesiano está por todas partes en IA. Los datos de entrenamiento supervisado son un subconjunto de X × Y: pares (entrada, respuesta correcta). Una foto de 28 × 28 píxeles es un punto de ℝ⁷⁸⁴. Y en un problema de búsqueda, la función de transición está definida sobre S × A, es decir, sobre pares (estado, acción).

5. Relaciones

Definición — relación

Una relación binaria entre los conjuntos A y B es cualquier subconjunto R ⊆ A × B. En lugar de (a, b) ∈ R se escribe a R b y se lee «a está relacionado con b».

Si A = B, hablamos de una relación sobre el conjunto A.

Una relación sobre un conjunto pequeño se puede dibujar de dos maneras. Tomemos la relación «a divide a b» (b es múltiplo de a) sobre el conjunto {1, …, 6}. Como matriz: en la fila a y la columna b hay un punto cuando a divide a b. Y como grafo dirigido: una flecha de a a b.

matriz: fila a, columna b

grafo: flecha a → b (sin bucles a → a)

La relación tiene 14 pares. En IA te encontrarás ambas formas: la matriz de la relación es con lo que calcula el ordenador (matriz de adyacencia de un grafo, matriz de similitud), y el grafo es lo que dibuja una persona. Las transiciones entre estados en la búsqueda son una relación sobre el conjunto de estados, y el grafo de los k vecinos más cercanos de la propagación de etiquetas es la relación «está entre los más cercanos».

6. Propiedades de las relaciones

Definición — propiedades de una relación sobre un conjunto

Una relación R sobre el conjunto A es

• reflexiva si ∀a ∈ A : a R a,
• simétrica si ∀a, b : a R b ⇒ b R a,
• antisimétrica si ∀a, b : (a R b ∧ b R a) ⇒ a = b,
• transitiva si ∀a, b, c : (a R b ∧ b R c) ⇒ a R c.

Para relaciones sobre el conjunto {1, …, 6} queda así, y por la combinación de propiedades se reconoce de qué tipo de relación se trata:

7. Equivalencia y partición en clases

Definición — equivalencia y partición

Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva es una relación de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento a es [a] = {x ∈ A : x R a}.

Una partición del conjunto A es una colección de subconjuntos no vacíos, disjuntos dos a dos, cuya unión es A.

Teorema. Las clases de cualquier equivalencia forman una partición de A, y al revés: cada partición determina la equivalencia «pertenece a la misma parte».

clase [0] {0, 3, 6}

clase [1] {1, 4, 7}

clase [2] {2, 5, 8}

Esto es exactamente lo que hace la clasificación: divide el conjunto de todas las entradas posibles en clases —spam y no spam; perro, gato y loro—. Y el agrupamiento (clustering) busca una partición de los datos sin que nadie le diga cuáles son las clases. El resultado de k-means de la parte sobre los tipos de aprendizaje es una partición de los puntos en tres clases.

8. Órdenes

Definición — orden parcial y orden total

Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva es un orden parcial.

Si además cualquier par de elementos es comparable (∀a, b : a R b ∨ b R a), se trata de un orden total (lineal).

Un orden parcial se dibuja con un diagrama de Hasse: los elementos menores abajo, los mayores arriba y una línea solo entre vecinos inmediatos; el resto se deduce por transitividad. Aquí tienes los divisores de 12 ordenados por divisibilidad:

En el diagrama se ve que 1 divide a todos y 12 es divisible por todos, pero 4 y 6, o 2 y 3, no se pueden comparar. En IA los órdenes aparecen dondequiera que algo se ordena o se planifica: el orden de los resultados de búsqueda, las prioridades en la frontera del algoritmo A* o las dependencias entre los pasos de un plan («primero abre la puerta, luego pasa»). Por cierto, el grafo de dependencias entre módulos del temario de esta serie también es un orden parcial.

9. La función como relación especial

Definición — función

Una función de A en B es una relación f ⊆ A × B en la que cada elemento a ∈ A tiene exactamente un elemento b ∈ B con (a, b) ∈ f. Ese elemento se denota f(a).

Así se cierra el círculo: un modelo de aprendizaje automático es una función f : X → Y, es decir, una relación especial entre entradas y salidas. A las funciones y sus propiedades se dedica la siguiente parte del temario.

10. Resumen

• Un conjunto es una colección de elementos sin orden y sin repeticiones; un conjunto de n elementos tiene 2ⁿ subconjuntos.
• Unión, intersección, diferencia y complemento son «o», «y», «pero no» y «todo lo demás»; sobre las intersecciones se apoyan la precisión y la exhaustividad de un modelo.
• El producto cartesiano forma pares: de ellos se componen los datos (entrada, respuesta) y las transiciones (estado, acción).
• Una relación es un conjunto de pares. Una equivalencia divide el conjunto en clases (clasificación, agrupamiento); un orden determina qué va antes de qué.
• Una función es una relación con exactamente una respuesta, y un modelo es una función.

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