Variabile aleatoria e funzione di ripartizione: una sola funzione che dice tutto sulla distribuzione

Che cosa sono una variabile aleatoria, la sua distribuzione e la funzione di ripartizione, in che cosa differiscono le variabili discrete e continue e come si stima la funzione di ripartizione dai dati.

12 minuti Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Basi di IA Parte 14 di 52

1. Mappa dell’intelligenza artificiale: che cos’è ciascuna cosa e come si incastra tutto
2. Breve storia dell’intelligenza artificiale: da Turing ai modelli linguistici
3. Dati, modello, addestramento, inferenza: i concetti di base su un unico esempio
4. Come leggere la notazione matematica: simboli, indici, sommatorie e quantificatori
5. Insiemi e relazioni: i mattoncini con cui si costruiscono le definizioni nell’IA
6. Funzioni e applicazioni: perché ogni modello di IA è una funzione
7. Logica e dimostrazioni: le regole con cui si ragiona nell’IA
8. Grafi e alberi: la struttura su cui poggiano la ricerca e le reti neurali
9. Algebra lineare per l’apprendimento automatico: vettori, matrici e perché l’IA soprattutto moltiplica
10. Derivate, gradiente e regola della catena: come un modello capisce in quale direzione imparare
11. Discesa del gradiente: come impara un modello
12. Che cos’è la probabilità: dal lancio di un dado agli assiomi di Kolmogorov
13. Probabilità condizionata e teorema di Bayes: come cambiare una stima quando scopri qualcosa di nuovo
14. Variabile aleatoria e funzione di ripartizione: una sola funzione che dice tutto sulla distribuzione
15. Funzione di densità e funzione di massa: perché una variabile continua ha probabilità zero in un punto
16. Valore atteso, varianza e covarianza: dove si trova una distribuzione, quanto è larga e che cosa è legato a che cosa
17. Panoramica delle distribuzioni di probabilità: Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale ed esponenziale
18. Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale: perché le medie si comportano in modo così prevedibile
19. Statistica e stima dei parametri: massima verosimiglianza, MAP e intervalli di confidenza
20. Teoria dell’informazione: entropia, entropia incrociata e divergenza KL — da dove vengono le funzioni di perdita
21. Ricerca nello spazio degli stati: BFS, DFS, UCS e A* con animazioni
22. Giochi e avversari: minimax, potatura alfa-beta e Monte Carlo tree search
23. Soddisfacimento di vincoli: backtracking, propagazione dei vincoli e AC-3 su un sudoku e una mappa delle regioni ceche
24. Logica e sistemi basati sulla conoscenza: concatenazione in avanti e all’indietro, risoluzione e sistemi esperti
25. Pianificazione: STRIPS, il mondo dei blocchi, euristiche dal rilassamento e pianificazione negli agenti IA
26. Ricerca locale e ricottura simulata: un commesso viaggiatore tra i capoluoghi di regione cechi
27. Algoritmi genetici: popolazione, incrocio, mutazione e selezione su uno zaino per l’escursione
28. Strategie evolutive e programmazione genetica: dalla regola di un quinto alla legge di Keplero
29. Ottimizzazione con colonie di formiche: come una traccia di feromone trova un percorso breve
30. Ottimizzazione a sciame di particelle: inerzia, esperienza propria ed esperienza dello sciame
31. Neuroevoluzione: evoluzione dei pesi e della forma delle reti neurali e l’algoritmo NEAT
32. Insiemi fuzzy e funzioni di appartenenza: come scrivere «un po’ caldo»
33. Logica fuzzy e probabilità: perché «un po’ caldo» non significa «probabilmente caldo»
34. Logica fuzzy: t-norme, implicazioni e regole SE–ALLORA
35. Controllo fuzzy: Mamdani e Sugeno, dal ventilatore al pendolo inverso su un carrello
36. Clustering fuzzy: l’algoritmo fuzzy c-means e i punti tra i cluster
37. Sistemi neuro-fuzzy (ANFIS): regole fuzzy che imparano dai dati
38. Catene di Markov: matrice di transizione, distribuzione stazionaria e PageRank
39. Modelli di Markov nascosti: l’algoritmo di Viterbi e il casinò disonesto
40. Reti bayesiane: perché l’erba è bagnata e che cosa significa per l’irrigatore
41. Filtro di Kalman: come stimare da misure imprecise dove si trova un’auto e a che velocità va
42. Tipi di apprendimento automatico: supervisionato, non supervisionato, semi-supervisionato e altri
43. Prompt, contesto e RAG: come dare a un modello le informazioni giuste
44. Autoencoder variazionali (VAE): immagini nuove da uno spazio latente continuo
45. Reti generative avversarie (GAN): il falsario contro il detective
46. Modelli di diffusione: come il rumore puro diventa un’immagine
47. Processi decisionali di Markov: stati, azioni, ricompense ed equazioni di Bellman
48. Q-learning e DQN: imparare il valore delle azioni, dalla tabella alla rete neurale
49. Policy gradient e PPO: imparare direttamente la politica
50. Come funziona un agente IA: un modello linguistico in un ciclo con strumenti
51. Programmare con agenti IA: incarico, test e controllo
52. Valutazione e sicurezza dei sistemi di IA: come misurare e come sorvegliare

Programma completo della serie 52 di 83 argomenti pubblicati

Nella parte Che cos’è la probabilità abbiamo lavorato con gli eventi: «la somma è 7», «è uscito un sei». Però di solito non ci interessa sapere se qualcosa è successo, ma quanto: quanti minuti aspetteremo l’autobus, quanto costerà un’azione, che temperatura segnerà il termometro. Per questo la matematica ha la variabile aleatoria — e una funzione che ne dice proprio tutto.

1. Variabile aleatoria

Definizione — variabile aleatoria

Sia (Ω, 𝓕, P) uno spazio di probabilità. Una variabile aleatoria è una funzione X : Ω → ℝ tale che per ogni x ∈ ℝ l’insieme {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} sia un evento, cioè appartenga a 𝓕.

Su uno stesso esperimento possono esserci più variabili. Il lancio di due dadi ha 36 risultati; S(ω) è la somma dei due dadi, N(ω) il numero di sei. Al risultato (3, 6) S associa il numero 9 e N il numero 1. Nella figura S è rappresentata come funzione: ogni casella a sinistra porta il suo valore e la colonna a destra mostra quante caselle finiscono su quel valore.

2. Distribuzione di una variabile aleatoria

Definizione — distribuzione di una variabile aleatoria

La distribuzione di una variabile aleatoria X è la probabilità su ℝ che a un insieme di valori B associa P_X(B) = P(X ∈ B) = P({ω : X(ω) ∈ B}).

Una volta nota la distribuzione, i risultati originali ω non contano più. Due giochi del tutto diversi possono avere variabili con la stessa distribuzione — e per i calcoli sono allora indistinguibili.

3. Funzione di ripartizione

Definizione — funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X è la funzione F_X : ℝ → [0, 1],

F_X(x) = P(X ≤ x).

Per la somma dei dadi la funzione di ripartizione è una scala. Tra un valore e l’altro non cambia nulla — F(7,5) vale sempre 21/36, perché una somma di 7,5 non può uscire. In ogni valore possibile la funzione salta esattamente della probabilità di quel valore: nel sette di 6/36. Il punto pieno mostra quanto vale la funzione nel punto di salto; il cerchietto vuoto, a che valore si avvicinava da sinistra.

Teorema — la funzione di ripartizione determina la distribuzione

Due variabili aleatorie hanno la stessa distribuzione se e solo se hanno la stessa funzione di ripartizione.

4. Proprietà della funzione di ripartizione

Teorema — proprietà della funzione di ripartizione

Ogni funzione di ripartizione F

1. è non decrescente: x ≤ y ⇒ F(x) ≤ F(y);
2. ha i limiti lim_x→−∞ F(x) = 0 e lim_x→+∞ F(x) = 1;
3. è continua a destra: lim_y→x⁺ F(y) = F(x).

E viceversa: ogni funzione con queste tre proprietà è la funzione di ripartizione di una qualche variabile aleatoria.

Teorema — probabilità di un intervallo

Per a < b vale P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

5. Variabili discrete e continue

Definizione — variabile aleatoria discreta

Una variabile aleatoria X è discreta se esiste un insieme finito o numerabile di valori {x₁, x₂, …} con ∑_i P(X = x_i) = 1.

Definizione — variabile aleatoria continua

Una variabile aleatoria X è continua se la sua funzione di ripartizione F_X è continua. Allora P(X = x) = 0 per ogni x ∈ ℝ.

Un esempio: l’autobus passa ogni 10 minuti e tu arrivi alla fermata in un momento a caso. Il tempo di attesa X è continuo e ugualmente probabile ovunque tra 0 e 10 minuti, quindi F(x) = x/10 per 0 ≤ x ≤ 10. Che tu aspetti al massimo 3 minuti ha probabilità F(3) = 0,3; che tu aspetti tra 3 e 5 minuti, F(5) − F(3) = 0,2. Ma che tu aspetti esattamente 3 minuti — neanche un miliardesimo di secondo in più — ha probabilità 0. Come fare i conti con questo e che cosa mostra la funzione di densità è il tema della prossima parte.

6. Funzione di ripartizione empirica

Definizione — funzione di ripartizione empirica

Per i valori misurati x₁, …, x_n la funzione di ripartizione empirica è

F̂_n(x) = (numero di i con x_i ≤ x) / n.

Abbiamo simulato 10, 100 e 1 000 attese dell’autobus. La retta tratteggiata è la vera funzione di ripartizione x/10, la scala colorata la funzione empirica ricavata dai dati:

Con dieci misure la stima si discosta dalla realtà fino a 0,268, con cento di 0,085 e con mille ormai solo di 0,025. Che la funzione di ripartizione empirica aderisca a quella vera man mano che i dati aumentano lo afferma il teorema di Glivenko-Cantelli — la garanzia matematica che una distribuzione si può imparare dai dati.

7. Variabili aleatorie nell’intelligenza artificiale

• I dati sono variabili aleatorie. L’età di un cliente, il prezzo di un appartamento, la luminosità di un pixel — un modello di apprendimento automatico presuppone che i dati di addestramento siano valori di variabili aleatorie con una distribuzione sconosciuta, e cerca di stimare da essi quella distribuzione (o una sua parte).
• Generare numeri casuali da qualsiasi distribuzione. Quello che un computer sa fare soprattutto è un numero uniforme U tra 0 e 1. Prendiamo il più piccolo x per cui F(x) ≥ U e otteniamo un valore con distribuzione F. Per U = 0,6 e la somma dei dadi: F(7) ≈ 0,583 è ancora poco, F(8) = 26/36 ≈ 0,722 basta già — esce 8. Così sceglie anche un modello linguistico la parola successiva.
• Quantili e mediana. La mediana è il valore in cui F raggiunge per la prima volta 0,5: per la somma dei dadi è 7. Quando di un server si scrive che «il 95 % delle richieste riceve risposta entro 200 ms», si sta dicendo che F(200 ms) ≥ 0,95.
• I modelli generativi (modelli di diffusione, VAE) partono da rumore casuale — un vettore di variabili aleatorie con distribuzione nota — e imparano a trasformarlo in un’immagine o in un testo.

8. Riepilogo

• Una variabile aleatoria è una funzione che associa un numero al risultato di un esperimento.
• La distribuzione dice come la probabilità si ripartisce tra i valori; la funzione di ripartizione F(x) = P(X ≤ x) la determina per intero.
• F è non decrescente, va da 0 a 1, è continua a destra e P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).
• Una variabile discreta ha una F a scala; una continua ha una F senza salti, e ogni singolo valore ha probabilità 0.
• La funzione di ripartizione empirica stima F dai dati e le si avvicina man mano che cresce il numero di misure.

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