Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución

Qué son una variable aleatoria, su distribución y su función de distribución, en qué se diferencian las variables discretas y las continuas y cómo se estima la función de distribución a partir de los datos.

12 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 14 de 52

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7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
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9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
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24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
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33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
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48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

En la parte Qué es la probabilidad trabajamos con sucesos: «la suma es 7», «ha salido un seis». Pero casi nunca nos interesa si algo ha ocurrido, sino cuánto: cuántos minutos esperaremos el autobús, cuánto valdrá una acción, qué temperatura marcará el termómetro. Para eso las matemáticas tienen la variable aleatoria, y una función que lo dice absolutamente todo sobre ella.

1. Variable aleatoria

Definición — variable aleatoria

Sea (Ω, 𝓕, P) un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria es una función X : Ω → ℝ tal que, para cada x ∈ ℝ, el conjunto {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} es un suceso, es decir, pertenece a 𝓕.

Un mismo experimento puede tener varias variables. Lanzar dos dados tiene 36 resultados; S(ω) es la suma de los dos dados y N(ω), el número de seises. Al resultado (3, 6), S le asigna el número 9 y N, el número 1. En la figura se ve S como función: cada casilla de la izquierda lleva su valor y la columna de la derecha muestra cuántas casillas caen en ese valor.

2. Distribución de una variable aleatoria

Definición — distribución de una variable aleatoria

La distribución de una variable aleatoria X es la probabilidad sobre ℝ que asigna a un conjunto de valores B el número P_X(B) = P(X ∈ B) = P({ω : X(ω) ∈ B}).

En cuanto conocemos la distribución, los resultados originales ω dejan de importar. Dos juegos completamente distintos pueden tener variables con la misma distribución, y para los cálculos entonces son indistinguibles.

3. Función de distribución

Definición — función de distribución

La función de distribución de una variable aleatoria X es la función F_X : ℝ → [0, 1],

F_X(x) = P(X ≤ x).

En la suma de los dados, la función de distribución es una escalera. Entre valores no cambia nada: F(7,5) sigue siendo 21/36, porque una suma de 7,5 no puede salir. En cada valor posible, la función salta exactamente la probabilidad de ese valor: en el siete, 6/36. El punto relleno muestra cuánto vale la función en el salto; el círculo vacío, a qué valor se acercaba por la izquierda.

Teorema — la función de distribución determina la distribución

Dos variables aleatorias tienen la misma distribución si y solo si tienen la misma función de distribución.

4. Propiedades de la función de distribución

Teorema — propiedades de la función de distribución

Toda función de distribución F

1. es no decreciente: x ≤ y ⇒ F(x) ≤ F(y);
2. tiene los límites lim_x→−∞ F(x) = 0 y lim_x→+∞ F(x) = 1;
3. es continua por la derecha: lim_y→x⁺ F(y) = F(x).

Y a la inversa: toda función con estas tres propiedades es la función de distribución de alguna variable aleatoria.

Teorema — probabilidad de un intervalo

Para a < b se cumple P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

5. Variables discretas y continuas

Definición — variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria X es discreta si existe un conjunto finito o numerable de valores {x₁, x₂, …} con ∑_i P(X = x_i) = 1.

Definición — variable aleatoria continua

Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución F_X es continua. Entonces P(X = x) = 0 para todo x ∈ ℝ.

Un ejemplo: el autobús pasa cada 10 minutos y llegas a la parada en un momento cualquiera. El tiempo de espera X es continuo e igual de probable en cualquier punto entre 0 y 10 minutos, así que F(x) = x/10 para 0 ≤ x ≤ 10. Que esperes como mucho 3 minutos tiene probabilidad F(3) = 0,3; que esperes entre 3 y 5 minutos, F(5) − F(3) = 0,2. Pero que esperes exactamente 3 minutos, ni una milmillonésima de segundo más, tiene probabilidad 0. Cómo calcular con esto y qué muestra la función de densidad es el tema de la próxima parte.

6. Función de distribución empírica

Definición — función de distribución empírica

Para los valores medidos x₁, …, x_n, la función de distribución empírica es

F̂_n(x) = (número de i con x_i ≤ x) / n.

Hemos simulado 10, 100 y 1 000 esperas del autobús. La recta discontinua es la verdadera función de distribución x/10; la escalera de color, la función empírica de los datos:

Con diez mediciones, la estimación se aleja de la realidad hasta 0,268; con cien, 0,085, y con mil, ya solo 0,025. Que la función de distribución empírica se ciña a la verdadera a medida que llegan más datos lo afirma el teorema de Glivenko–Cantelli: una garantía matemática de que una distribución se puede aprender de los datos.

7. Variables aleatorias en la inteligencia artificial

• Los datos son variables aleatorias. La edad de un cliente, el precio de un piso, el brillo de un píxel: un modelo de aprendizaje automático supone que los datos de entrenamiento son valores de variables aleatorias con alguna distribución desconocida, e intenta estimar a partir de ellos esa distribución (o una parte de ella).
• Generar números aleatorios de cualquier distribución. Lo que un ordenador sabe hacer sobre todo es un número uniforme U entre 0 y 1. Tomamos el menor x para el que F(x) ≥ U y obtenemos un valor con distribución F. Para U = 0,6 y la suma de los dados: F(7) ≈ 0,583 todavía se queda corto, F(8) = 26/36 ≈ 0,722 ya basta, así que sale 8. Así elige también un modelo de lenguaje la siguiente palabra.
• Cuantiles y mediana. La mediana es el valor en el que F alcanza por primera vez 0,5: en la suma de los dados es 7. Cuando de un servidor se dice que «el 95 % de las peticiones responde en menos de 200 ms», se está diciendo que F(200 ms) ≥ 0,95.
• Los modelos generativos (modelos de difusión, VAE) parten de ruido aleatorio, un vector de variables aleatorias con distribución conocida, y aprenden a convertirlo en una imagen o un texto.

8. Resumen

• Una variable aleatoria es una función que asigna un número al resultado de un experimento.
• La distribución dice cómo se reparte la probabilidad entre los valores; la función de distribución F(x) = P(X ≤ x) la determina por completo.
• F es no decreciente, va de 0 a 1, es continua por la derecha y P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).
• Una variable discreta tiene una F escalonada; una continua tiene una F sin saltos, y cada valor individual tiene probabilidad 0.
• La función de distribución empírica estima F a partir de los datos y se acerca a ella a medida que crece el número de mediciones.

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