Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función

Dominio, imagen, inyectividad, composición, inversa, funciones de varias variables y convexidad — con gráficas de la sigmoide, ReLU y el paisaje del error.

13 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 6 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Todo modelo de inteligencia artificial es una función. Un clasificador de spam toma un correo y devuelve «spam» o «no spam», un modelo de lenguaje toma un texto y devuelve las probabilidades de la siguiente palabra, una red neuronal es una función compuesta de miles de funciones más pequeñas. Y aprender no es otra cosa que buscar la función correcta.

La parte anterior terminó con la definición de función como una relación especial. Aquí partimos de ella: qué aspecto tienen las funciones, qué propiedades tienen, cómo se componen y por qué todo eso importa en IA.

1. Qué es una función

Definición — función (aplicación)

Una función f : X → Y asigna a cada elemento x ∈ X exactamente un elemento f(x) ∈ Y. La palabra aplicación significa lo mismo.

X es el dominio, Y el codominio (conjunto de llegada). La imagen de la función es el conjunto de valores que realmente toma: f(X) = {f(x) : x ∈ X} ⊆ Y.

La gráfica de la función es el conjunto de pares {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y.

La diferencia entre codominio e imagen se ve en la sigmoide σ : ℝ → ℝ: puede devolver cualquier número real, pero en realidad solo devuelve números entre 0 y 1. Por eso se puede leer como una probabilidad.

2. Funciones que encontrarás en IA

Una función de una variable se entiende mejor a partir de su gráfica. Estas aparecen en inteligencia artificial una y otra vez — como modelos, como funciones de activación de redes neuronales o como funciones de pérdida:

lineal: f(x) = ax + b

cuadrática: x²

exponencial: e^x

logaritmo: ln x

sigmoide: 1 / (1 + e^−x)

tangente hiperbólica: tanh x

ReLU: max(0, x)

• La función lineal es el modelo más sencillo — la regresión lineal no es otra cosa.
• La función cuadrática es la base del error cuadrático medio: la penalización crece con el cuadrado de la desviación.
• La exponencial y el logaritmo son inversos entre sí; el logaritmo convierte la multiplicación en suma, y por eso lo encontrarás en toda función de pérdida basada en probabilidades.
• La sigmoide y tanh «comprimen» cualquier número en el intervalo (0, 1) y (−1, 1), respectivamente.
• ReLU deja pasar los números positivos y anula los negativos. Es tan sencilla que durante mucho tiempo nadie creyó que fuera a funcionar — hoy es la función de activación más usada.

3. Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Definición — función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

f : X → Y es inyectiva cuando entradas distintas dan salidas distintas: ∀x₁, x₂ : f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.

f es sobreyectiva (suprayectiva) cuando alcanza todos los elementos de Y: ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f(x) = y, es decir, f(X) = Y.

f es biyectiva (correspondencia uno a uno) cuando es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

inyectiva inyectiva: sí sobreyectiva: no

sobreyectiva inyectiva: no sobreyectiva: sí

biyectiva inyectiva: sí sobreyectiva: sí

ninguna inyectiva: no sobreyectiva: no

En IA casi todo modelo es no inyectivo: un clasificador envía miles de fotos distintas de gatos a una sola clase, «gato». La información sobre qué foto era se pierde — y está bien, es justo lo que queremos de un clasificador. En cambio, los modelos de compresión (autocodificadores) intentan ser «casi inyectivos», para que a partir de la forma comprimida se pueda reconstruir de nuevo la entrada.

4. Composición de funciones

Definición — función compuesta

Dadas f : X → Y y g : Y → Z, la función compuesta g ∘ f : X → Z se define como (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

La composición es asociativa, h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, pero en general no es conmutativa: g ∘ f ≠ f ∘ g.

Tomemos f(x) = 2x + 1 y g(x) = x²:

Así es exactamente como está construida una red neuronal. Cada capa es una función — un paso lineal seguido de una función de activación — y la red entera es su composición: f = f₃ ∘ f₂ ∘ f₁. Una red «profunda» es simplemente una composición larga. Y cuando en las próximas partes aprendamos a derivar, la regla de la cadena nos dirá precisamente cómo derivar funciones compuestas.

5. Función inversa

Definición — función inversa

Una función f⁻¹ : Y → X es la inversa de f : X → Y cuando f⁻¹(f(x)) = x para todo x ∈ X y f(f⁻¹(y)) = y para todo y ∈ Y.

Teorema. La función inversa existe si y solo si f es biyectiva.

La exponencial y el logaritmo son un par de funciones inversas: ln(e^x) = x. La inversa de la sigmoide es la función logit, logit(p) = ln(p / (1 − p)) — convierte una probabilidad de nuevo en cualquier número real. Por eso a las salidas de la red antes de la sigmoide o del softmax se las llama «logits».

6. Funciones de varias variables

Definición — función de varias variables

Una función f : ℝⁿ → ℝ asigna al vector (x₁, …, x_n) un número; una función f : ℝⁿ → ℝ^m asigna a un vector otro vector (función vectorial).

Una función de dos variables se puede dibujar como un mapa: coloreamos cada punto (x, y) según el valor f(x, y). Aquí está la función de Himmelblau, una prueba clásica para algoritmos de optimización. Las zonas oscuras son valles de valor pequeño; los puntos blancos son los cuatro mínimos, en los que la función vale cero:

Así es exactamente como debes imaginar la función de pérdida de un modelo: la entrada son sus parámetros, la salida es el error. Entrenar es buscar el punto más bajo del paisaje — solo que, en lugar de dos dimensiones, el paisaje de un modelo real tiene millones.

7. Monotonía y convexidad

Definición — función creciente y función convexa

f es creciente cuando x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). Una función creciente es siempre inyectiva.

f es convexa cuando para todos x₁, x₂ y t ∈ [0, 1] se cumple f(tx₁ + (1 − t)x₂) ≤ t f(x₁) + (1 − t) f(x₂).

Teorema. Todo mínimo local de una función convexa es también global.

convexa: x², un único mínimo

no convexa: x⁴ − 3x² + x

La función no convexa x⁴ − 3x² + x tiene dos mínimos: el global en x ≈ −1,30 con valor ≈ −3,51 y el local en x ≈ 1,13 con valor ≈ −1,07. Quien empiece a buscar por la derecha y siempre baje acabará en el peor. Las funciones de pérdida de la regresión lineal y de la logística son convexas — por eso su entrenamiento encuentra de forma fiable la mejor solución. Las pérdidas de las redes neuronales no son convexas, y de cómo se vive con eso tratará la parte sobre el descenso del gradiente.

8. Funciones en la inteligencia artificial

Ahora ya se puede contar todo el aprendizaje automático en el lenguaje de las funciones:

• Un modelo es una función f_θ : X → Y con parámetros θ — toda una familia de funciones, una para cada elección de parámetros.
• La función de pérdida L : Y × Y → ℝ dice cuánto cuesta la respuesta ŷ cuando la correcta es y.
• Aprender es elegir una función de la familia: el argmin sobre θ de la pérdida media — la función de los parámetros que acabamos de dibujar como paisaje.
• Las funciones de activación (sigmoide, tanh, ReLU) convierten capas lineales en una red no lineal; sin ellas, la composición de funciones lineales volvería a ser solo una función lineal.

9. Resumen

• Una función asigna a cada entrada exactamente una salida; la imagen es adonde realmente llega.
• Una función inyectiva no confunde dos entradas, una sobreyectiva cubre todo el destino, una biyectiva tiene inversa.
• La composición de funciones es una cadena de montaje — y una red neuronal es una composición de capas.
• La función de pérdida es un paisaje sobre el espacio de parámetros; un paisaje convexo tiene un único fondo, uno no convexo puede tener varios.

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