Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto

Función de probabilidad, densidad de probabilidad y área bajo la curva: por qué la densidad no es una probabilidad, por qué puede ser mayor que 1 y cómo se estima a partir de los datos con un histograma.

13 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 15 de 52

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15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
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52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

La parte sobre la variable aleatoria terminó con una paradoja: que esperes el autobús exactamente 3 minutos tiene probabilidad cero y, aun así, alguna duración exacta vas a esperar. La función de distribución sabe calcular con esto, pero no es muy intuitiva. En esta parte veremos dos funciones que se dibujan y se leen mucho más fácilmente: la función de probabilidad para las variables discretas y la densidad para las continuas.

1. Función de probabilidad

Definición — función de probabilidad

Para una variable aleatoria discreta X con valores x₁, x₂, …, la función de probabilidad es

p_X(x) = P(X = x), x ∈ ℝ.

Teorema — propiedades de la función de probabilidad

Para la función de probabilidad p de una variable discreta X con función de distribución F se cumple

1. p(x) ≥ 0 para todo x;
2. ∑_i p(x_i) = 1;
3. F(x) = ∑_{xi ≤ x} p(x_i).

2. Por qué una variable continua no tiene probabilidad en un punto

Tomemos una variable continua: el tiempo X, en minutos, hasta que te llega el siguiente correo, si de media llega uno cada 2 minutos. Una espera así sigue una distribución exponencial con función de distribución F(x) = 1 − e^−0,5x para x ≥ 0 (por qué precisamente esa lo veremos en la parte sobre distribuciones). La función de probabilidad aquí no sirve: valdría cero en todos los puntos. Así que, en lugar de un punto, tomemos el intervalo [2, 2 + h] y vayamos estrechándolo:

anchura h	P(2 < X ≤ 2 + h)	P / h
2	0,2325	0,1163
1	0,1447	0,1447
0,5	0,0814	0,1627
0,1	0,0179	0,1794
0,01	0,0018	0,1835
→ 0	→ 0	→ f(2) ≈ 0,1839

La probabilidad del intervalo tiende a cero (0,2325, 0,1447, …, 0,0018), y por eso en un único punto sale cero. Pero la probabilidad por unidad de longitud, es decir, P / h, se estabiliza: 0,1163, 0,1447, 0,1627, 0,1794, 0,1835… y se acerca a 0,1839. Este número sí dice algo sobre el punto 2: cuánta probabilidad corresponde a cada minuto alrededor del minuto dos. Es la densidad.

3. El área bajo la curva: la integral definida

Definición — integral definida

Para una función f en el intervalo [a, b], dividimos el intervalo en n subintervalos de anchura Δx = (b − a) / n con puntos x_i dentro de cada uno. La integral definida es el límite de las sumas

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ f(x_i) · Δx,

si existe y no depende de la elección de los puntos x_i.

4. Función de densidad

Definición — densidad de probabilidad

Una función f : ℝ → [0, ∞) es la densidad de una variable aleatoria X si para todo x ∈ ℝ

F_X(x) = ∫_−∞^x f(t) dt.

Una variable que tiene densidad se llama absolutamente continua.

Teorema — la probabilidad como área

Si X tiene densidad f, entonces para a < b

P(a < X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a),

∫_−∞^∞ f(x) dx = 1 y en cada punto donde F es derivable se cumple f(x) = F′(x).

Que el correo llegue entre el primer y el tercer minuto es el área bajo la curva entre 1 y 3: F(3) − F(1) = e^−0,5 − e^−1,5 ≈ 0,383.

5. La densidad no es una probabilidad

El valor de la densidad en un punto no es una probabilidad: es probabilidad por unidad. La probabilidad se obtiene al multiplicarla por la anchura del intervalo: para un intervalo estrecho, P(x < X ≤ x + h) ≈ f(x) · h. Para x = 2 y h = 0,1 da 0,1839 · 0,1 ≈ 0,0184; el valor real es 0,0179.

Por eso la densidad puede ser mayor que 1. Si llegas a una parada donde el autobús pasa cada medio minuto, la espera es uniforme en el intervalo [0; 0,5] y la densidad vale 2 en todo él: el área del rectángulo 0,5 × 2 sigue siendo 1. Es como la densidad de población: 2 000 habitantes por km² no dice cuánta gente vive en una casa; el número se obtiene al multiplicar la densidad por la superficie.

6. Estimar la densidad a partir de los datos: el histograma

Definición — el histograma como estimación de la densidad

Dividimos el eje en clases de anchura w. Para los datos x₁, …, x_n, el histograma es la función que en la clase B toma el valor

f̂(x) = (número de i con x_i ∈ B) / (n · w), x ∈ B.

Hemos simulado 100, 1 000 y 10 000 esperas del correo (con clases de 0,5 minutos) y hemos dibujado la densidad real sobre los histogramas:

Con 100 esperas, una barra se aleja de la realidad hasta 0,098; con 1 000, 0,017, y con 10 000, 0,008. La fracción de esperas de como mucho un minuto salió 0,440, 0,397 y 0,390; la probabilidad real es F(1) ≈ 0,393. A medida que llegan más datos, el histograma se ciñe a la densidad, igual que la función de distribución empírica se ceñía a la verdadera.

7. Discreta y continua, cara a cara

8. Densidades y funciones de probabilidad en la inteligencia artificial

• Un clasificador y un modelo de lenguaje devuelven una función de probabilidad. La última capa (softmax) asigna a cada clase o a cada palabra un número entre 0 y 1, y todos juntos suman 1: exactamente las propiedades de una función de probabilidad.
• Verosimilitud. El modelo aprende de forma que los datos de entrenamiento tengan la mayor probabilidad posible (con datos discretos) o la mayor densidad (con datos continuos). El logaritmo negativo de ese número es una función de pérdida habitual.
• Detección de anomalías. El modelo estima la densidad del tráfico normal; una transacción o una medición en una zona de densidad muy baja es sospechosa.
• Los modelos generativos aprenden la densidad de imágenes, sonidos o textos, y una imagen nueva es una muestra de esa densidad aprendida.

9. Resumen

• Una variable discreta se describe con la función de probabilidad p(x) = P(X = x); las barras suman 1 entre todas.
• Una variable continua tiene probabilidad 0 en cada punto; lo que tiene sentido es la probabilidad por unidad de longitud: la densidad.
• La densidad f es la derivada de la función de distribución, y la probabilidad de un intervalo es el área bajo ella: una integral.
• La densidad no es una probabilidad y puede ser mayor que 1; el área total bajo ella es siempre 1.
• Un histograma dividido entre el número de datos y la anchura de la clase estima la densidad a partir de los datos.

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