Funzione di densità e funzione di massa: perché una variabile continua ha probabilità zero in un punto

Funzione di massa di probabilità, densità di probabilità e area sotto la curva — perché la densità non è una probabilità, può essere maggiore di 1 e come la si stima dai dati con un istogramma.

13 minuti Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Basi di IA Parte 15 di 52

1. Mappa dell’intelligenza artificiale: che cos’è ciascuna cosa e come si incastra tutto
2. Breve storia dell’intelligenza artificiale: da Turing ai modelli linguistici
3. Dati, modello, addestramento, inferenza: i concetti di base su un unico esempio
4. Come leggere la notazione matematica: simboli, indici, sommatorie e quantificatori
5. Insiemi e relazioni: i mattoncini con cui si costruiscono le definizioni nell’IA
6. Funzioni e applicazioni: perché ogni modello di IA è una funzione
7. Logica e dimostrazioni: le regole con cui si ragiona nell’IA
8. Grafi e alberi: la struttura su cui poggiano la ricerca e le reti neurali
9. Algebra lineare per l’apprendimento automatico: vettori, matrici e perché l’IA soprattutto moltiplica
10. Derivate, gradiente e regola della catena: come un modello capisce in quale direzione imparare
11. Discesa del gradiente: come impara un modello
12. Che cos’è la probabilità: dal lancio di un dado agli assiomi di Kolmogorov
13. Probabilità condizionata e teorema di Bayes: come cambiare una stima quando scopri qualcosa di nuovo
14. Variabile aleatoria e funzione di ripartizione: una sola funzione che dice tutto sulla distribuzione
15. Funzione di densità e funzione di massa: perché una variabile continua ha probabilità zero in un punto
16. Valore atteso, varianza e covarianza: dove si trova una distribuzione, quanto è larga e che cosa è legato a che cosa
17. Panoramica delle distribuzioni di probabilità: Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale ed esponenziale
18. Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale: perché le medie si comportano in modo così prevedibile
19. Statistica e stima dei parametri: massima verosimiglianza, MAP e intervalli di confidenza
20. Teoria dell’informazione: entropia, entropia incrociata e divergenza KL — da dove vengono le funzioni di perdita
21. Ricerca nello spazio degli stati: BFS, DFS, UCS e A* con animazioni
22. Giochi e avversari: minimax, potatura alfa-beta e Monte Carlo tree search
23. Soddisfacimento di vincoli: backtracking, propagazione dei vincoli e AC-3 su un sudoku e una mappa delle regioni ceche
24. Logica e sistemi basati sulla conoscenza: concatenazione in avanti e all’indietro, risoluzione e sistemi esperti
25. Pianificazione: STRIPS, il mondo dei blocchi, euristiche dal rilassamento e pianificazione negli agenti IA
26. Ricerca locale e ricottura simulata: un commesso viaggiatore tra i capoluoghi di regione cechi
27. Algoritmi genetici: popolazione, incrocio, mutazione e selezione su uno zaino per l’escursione
28. Strategie evolutive e programmazione genetica: dalla regola di un quinto alla legge di Keplero
29. Ottimizzazione con colonie di formiche: come una traccia di feromone trova un percorso breve
30. Ottimizzazione a sciame di particelle: inerzia, esperienza propria ed esperienza dello sciame
31. Neuroevoluzione: evoluzione dei pesi e della forma delle reti neurali e l’algoritmo NEAT
32. Insiemi fuzzy e funzioni di appartenenza: come scrivere «un po’ caldo»
33. Logica fuzzy e probabilità: perché «un po’ caldo» non significa «probabilmente caldo»
34. Logica fuzzy: t-norme, implicazioni e regole SE–ALLORA
35. Controllo fuzzy: Mamdani e Sugeno, dal ventilatore al pendolo inverso su un carrello
36. Clustering fuzzy: l’algoritmo fuzzy c-means e i punti tra i cluster
37. Sistemi neuro-fuzzy (ANFIS): regole fuzzy che imparano dai dati
38. Catene di Markov: matrice di transizione, distribuzione stazionaria e PageRank
39. Modelli di Markov nascosti: l’algoritmo di Viterbi e il casinò disonesto
40. Reti bayesiane: perché l’erba è bagnata e che cosa significa per l’irrigatore
41. Filtro di Kalman: come stimare da misure imprecise dove si trova un’auto e a che velocità va
42. Tipi di apprendimento automatico: supervisionato, non supervisionato, semi-supervisionato e altri
43. Prompt, contesto e RAG: come dare a un modello le informazioni giuste
44. Autoencoder variazionali (VAE): immagini nuove da uno spazio latente continuo
45. Reti generative avversarie (GAN): il falsario contro il detective
46. Modelli di diffusione: come il rumore puro diventa un’immagine
47. Processi decisionali di Markov: stati, azioni, ricompense ed equazioni di Bellman
48. Q-learning e DQN: imparare il valore delle azioni, dalla tabella alla rete neurale
49. Policy gradient e PPO: imparare direttamente la politica
50. Come funziona un agente IA: un modello linguistico in un ciclo con strumenti
51. Programmare con agenti IA: incarico, test e controllo
52. Valutazione e sicurezza dei sistemi di IA: come misurare e come sorvegliare

Programma completo della serie 52 di 83 argomenti pubblicati

La parte sulla variabile aleatoria si è chiusa con un paradosso: che tu aspetti l’autobus esattamente 3 minuti ha probabilità zero — eppure un tempo esatto lo aspetterai comunque. La funzione di ripartizione sa farci i conti, ma non è molto intuitiva. Questa parte mostra due funzioni molto più facili da disegnare e da leggere: la funzione di massa di probabilità per le variabili discrete e la densità per quelle continue.

1. Funzione di massa di probabilità

Definizione — funzione di massa di probabilità

Per una variabile aleatoria discreta X con valori x₁, x₂, … la funzione di massa di probabilità è

p_X(x) = P(X = x), x ∈ ℝ.

Teorema — proprietà della funzione di massa

Per la funzione di massa p di una variabile discreta X con funzione di ripartizione F vale

1. p(x) ≥ 0 per ogni x;
2. ∑_i p(x_i) = 1;
3. F(x) = ∑_{xi ≤ x} p(x_i).

2. Perché una variabile continua non ha probabilità in un punto

Prendiamo una variabile continua: il tempo X, in minuti, prima che ti arrivi la prossima e-mail, se in media ne arriva una ogni 2 minuti. Un’attesa del genere ha una distribuzione esponenziale con funzione di ripartizione F(x) = 1 − e^−0,5x per x ≥ 0 (perché proprio questa lo vedremo nella parte sulle distribuzioni). La funzione di massa qui non aiuta — in ogni punto varrebbe zero. Proviamo allora, invece di un punto, con l’intervallo [2, 2 + h] e restringiamolo:

ampiezza h	P(2 < X ≤ 2 + h)	P / h
2	0,2325	0,1163
1	0,1447	0,1447
0,5	0,0814	0,1627
0,1	0,0179	0,1794
0,01	0,0018	0,1835
→ 0	→ 0	→ f(2) ≈ 0,1839

La probabilità dell’intervallo tende a zero — 0,2325, 0,1447, …, 0,0018 —, ed è per questo che in un singolo punto viene zero. Ma la probabilità per unità di lunghezza, cioè P / h, si stabilizza: 0,1163, 0,1447, 0,1627, 0,1794, 0,1835… e si avvicina a 0,1839. Questo numero dice qualcosa sul punto 2: quanta probabilità spetta a ogni minuto intorno al secondo minuto. È la densità.

3. L’area sotto la curva: l’integrale definito

Definizione — integrale definito

Per una funzione f sull’intervallo [a, b] dividiamo l’intervallo in n parti di ampiezza Δx = (b − a) / n con punti x_i all’interno delle parti. L’integrale definito è il limite delle somme

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ f(x_i) · Δx,

se esiste e non dipende dalla scelta dei punti x_i.

4. Funzione di densità

Definizione — densità di probabilità

Una funzione f : ℝ → [0, ∞) è la densità di una variabile aleatoria X se per ogni x ∈ ℝ

F_X(x) = ∫_−∞^x f(t) dt.

Una variabile che ha una densità si dice assolutamente continua.

Teorema — la probabilità come area

Se X ha densità f, allora per a < b

P(a < X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a),

∫_−∞^∞ f(x) dx = 1 e in ogni punto in cui F è derivabile vale f(x) = F′(x).

Che l’e-mail arrivi tra il primo e il terzo minuto è l’area sotto la curva tra 1 e 3: F(3) − F(1) = e^−0,5 − e^−1,5 ≈ 0,383.

5. La densità non è una probabilità

Il valore della densità in un punto non è una probabilità — è una probabilità per unità. La probabilità la ottieni solo moltiplicandola per l’ampiezza dell’intervallo: per un intervallo stretto vale P(x < X ≤ x + h) ≈ f(x) · h. Per x = 2 e h = 0,1 fa 0,1839 · 0,1 ≈ 0,0184; il valore vero è 0,0179.

Per questo la densità può essere maggiore di 1. Se arrivi a una fermata dove l’autobus passa ogni mezzo minuto, l’attesa è uniforme sull’intervallo [0; 0,5] e la densità lì vale ovunque 2 — l’area del rettangolo 0,5 × 2 è sempre 1. È come la densità di popolazione: 2 000 abitanti per km² non dicono quante persone vivono in una casa — il numero lo ottieni solo moltiplicando la densità per la superficie.

6. Stimare la densità dai dati: l’istogramma

Definizione — l’istogramma come stima della densità

Dividiamo l’asse in classi di ampiezza w. Per i dati x₁, …, x_n l’istogramma è la funzione che sulla classe B assume il valore

f̂(x) = (numero di i con x_i ∈ B) / (n · w), x ∈ B.

Abbiamo simulato 100, 1 000 e 10 000 attese di un’e-mail (con classi di 0,5 minuti) e sopra gli istogrammi abbiamo disegnato la densità vera:

Con 100 attese una barra si discosta dalla realtà fino a 0,098, con 1 000 di 0,017 e con 10 000 di 0,008. La frazione di attese entro un minuto è risultata 0,440, 0,397 e 0,390 — la probabilità vera è F(1) ≈ 0,393. Man mano che i dati aumentano, l’istogramma aderisce alla densità, così come la funzione di ripartizione empirica aderiva a quella vera.

7. Discreto e continuo a confronto

8. Densità e funzioni di massa nell’intelligenza artificiale

• Un classificatore e un modello linguistico restituiscono una funzione di massa. L’ultimo strato (softmax) dà a ogni classe o a ogni parola un numero tra 0 e 1, e tutti insieme fanno 1 — esattamente le proprietà di una funzione di massa.
• Verosimiglianza. Il modello impara in modo che i dati di addestramento abbiano la probabilità più alta possibile (per dati discreti) o la densità più alta (per dati continui). Il logaritmo negativo di quel numero è una comune funzione di perdita.
• Rilevamento di anomalie. Il modello stima la densità del traffico abituale; una transazione o una misura in una zona a densità molto bassa è sospetta.
• I modelli generativi imparano la densità di immagini, suoni o testi — e una nuova immagine è un campione estratto da quella densità appresa.

9. Riepilogo

• Una variabile discreta è descritta dalla funzione di massa p(x) = P(X = x); le barre tutte insieme fanno 1.
• Una variabile continua ha probabilità 0 in ogni punto; ciò che ha senso è la probabilità per unità di lunghezza — la densità.
• La densità f è la derivata della funzione di ripartizione, e la probabilità di un intervallo è l’area sotto di essa — un integrale.
• La densità non è una probabilità e può essere maggiore di 1; l’area totale sotto di essa è sempre 1.
• Un istogramma diviso per il numero di dati e per l’ampiezza della classe stima la densità dai dati.

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