Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo

Probabilidad condicionada, regla del producto, independencia, probabilidad total y teorema de Bayes, y por qué una prueba positiva de una enfermedad rara significa solo un 16,7 %.

13 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 13 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

La probabilidad no es un número fijo grabado en piedra. Cuando te enteras de algo nuevo, cambia. La probabilidad de que llueva es otra si sabes que el cielo está nublado. La probabilidad de que un correo sea spam es otra si dice «has ganado». Esta parte trata de cómo recalcular la probabilidad con exactitud cuando llega información nueva, y del teorema en el que se apoyan los filtros de spam, el diagnóstico médico y buena parte del aprendizaje automático.

Continúa la parte Qué es la probabilidad y vuelve a usar dos dados.

1. Probabilidad condicionada

Definición — probabilidad condicionada

Para sucesos A, B con P(B) > 0, la probabilidad condicionada del suceso A dado B es

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Un amigo ha lanzado dos dados y solo te dice que ha salido al menos un seis. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7? De los 36 resultados quedan 11 con un seis, y solo dos de ellos, (1, 6) y (6, 1), suman 7:

P(suma 7 | al menos un seis) = 2/11 ≈ 0,182, algo más que sin la condición, cuando es 1/6 ≈ 0,167. Y cuidado con el orden: P(al menos un seis | suma 7) = 2/6 = 1/3. P(A | B) y P(B | A) son, en general, números completamente distintos.

2. Regla del producto

Teorema — regla del producto

P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A).

3. Independencia

Definición — sucesos independientes

Los sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Para P(B) > 0 esto equivale a P(A | B) = P(A).

La independencia puede sorprender. «La suma es 7» y «en el primer dado ha salido un seis» son independientes: la P de ambos es 1/36 y 1/6 · 1/6 = 1/36. Salga lo que salga en el primer dado, en el segundo hay exactamente un número que da suma 7. En cambio, «la suma es 12» y «en el primero hay un seis» no son independientes: sin condición, la suma 12 tiene solo 1/36, pero con un seis en el primer dado ya es 1/6.

Y no confundas sucesos independientes con incompatibles. Los sucesos incompatibles son, al contrario, fuertemente dependientes: si ha ocurrido uno, sabes con seguridad que el otro no.

4. Teorema de la probabilidad total

Teorema — probabilidad total

Si los sucesos H₁, …, H_k forman una partición del espacio Ω (son incompatibles dos a dos y juntos cubren Ω), entonces para todo suceso A se cumple

P(A) = ∑_i=1^k P(A | H_i) · P(H_i).

5. Teorema de Bayes

Teorema — teorema de Bayes

Para P(A) > 0 se cumple

P(H | A) = P(A | H) · P(H) / P(A),

donde el denominador P(A) se calcula con el teorema de la probabilidad total.

Cada parte del teorema tiene su nombre:

Definición — probabilidad a priori

P(H) es la probabilidad a priori de la hipótesis H, antes de ver los datos A.

Definición — verosimilitud

P(A | H) es la verosimilitud: qué probabilidad tendrían los datos A si la hipótesis H fuera cierta.

Definición — probabilidad a posteriori

P(H | A) es la probabilidad a posteriori: la estimación de la hipótesis H después de haber visto los datos A.

6. Prueba positiva: por qué solo un 16,7 %

La enfermedad la tiene el 1 % de las personas. La prueba la detecta en el 99 % de los enfermos, pero en el 5 % de las personas sanas da una falsa alarma. Tu prueba da positivo. ¿Qué probabilidad hay de que tengas la enfermedad? La mayoría de la gente, incluidos muchos médicos, responde alrededor del 95 %. El teorema de Bayes dice:

Solo un 16,7 %. Se ve mejor con frecuencias naturales: en lugar de probabilidades, imagina 10 000 personas:

Hay 100 enfermos y la prueba detecta a 99. Pero hay 9 900 personas sanas, y solo el 5 % de ellas ya son 495 falsas alarmas. En total hay 594 positivos y, entre ellos, solo 99 enfermos: una sexta parte. Este error de intuición tiene nombre: falacia de la tasa base. Cuando algo es raro, incluso una prueba precisa produce más falsas alarmas que hallazgos reales.

7. Aprender de los datos: la a posteriori se convierte en a priori

¿Y si se repite la prueba y vuelve a dar positivo? Ahora ya no partimos del 1 %: el resultado de la primera prueba es la nueva estimación de partida. La probabilidad a posteriori se convierte en a priori:

Tras la segunda prueba positiva ya es un 79,8 %, y tras la tercera, un 98,7 %. Cada prueba desplaza la estimación, y la siguiente se apoya en la anterior. Así es exactamente como aprenden los modelos bayesianos: parten de una suposición y la afinan con cada fragmento de datos.

8. Bayes en la inteligencia artificial

• Filtros de spam: si el 40 % del correo es spam y la palabra «premio» aparece en el 30 % del spam y solo en el 1 % de los demás correos, un correo con la palabra «premio» es spam con probabilidad 0,12 / 0,126 ≈ 0,952. El clasificador bayesiano ingenuo hace esto para cada palabra.
• Los modelos de lenguaje calculan la probabilidad condicionada de la siguiente palabra dadas todas las anteriores: P(x_t | x₁, …, x_t−1). El texto entero es un producto de tales condicionadas: la regla del producto.
• Las redes bayesianas representan qué variables dependen unas de otras como un grafo dirigido y calculan con probabilidades condicionadas a lo largo de sus aristas.
• Incertidumbre del modelo: los métodos bayesianos no dan una sola respuesta, sino una distribución: cuánta seguridad tiene el modelo y dónde le ayudarían más datos.

9. Resumen

• La probabilidad condicionada P(A | B) calcula solo dentro de B; P(A | B) ≠ P(B | A).
• Regla del producto: P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B). Los sucesos independientes no se revelan nada.
• El teorema de la probabilidad total suma todos los caminos por los que puede ocurrir un suceso.
• El teorema de Bayes invierte la condición: a partir de la probabilidad a priori y la verosimilitud obtiene la a posteriori.
• Con sucesos raros, incluso una prueba precisa da muchas falsas alarmas: no olvides la tasa base.

¿Lo ves de otra manera? Escribe a support@coden-app.com.