Probabilità condizionata e teorema di Bayes: come cambiare una stima quando scopri qualcosa di nuovo

Probabilità condizionata, regola del prodotto, indipendenza, probabilità totale e teorema di Bayes — e perché un test positivo per una malattia rara significa solo il 16,7 %.

13 minuti Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Basi di IA Parte 13 di 52

1. Mappa dell’intelligenza artificiale: che cos’è ciascuna cosa e come si incastra tutto
2. Breve storia dell’intelligenza artificiale: da Turing ai modelli linguistici
3. Dati, modello, addestramento, inferenza: i concetti di base su un unico esempio
4. Come leggere la notazione matematica: simboli, indici, sommatorie e quantificatori
5. Insiemi e relazioni: i mattoncini con cui si costruiscono le definizioni nell’IA
6. Funzioni e applicazioni: perché ogni modello di IA è una funzione
7. Logica e dimostrazioni: le regole con cui si ragiona nell’IA
8. Grafi e alberi: la struttura su cui poggiano la ricerca e le reti neurali
9. Algebra lineare per l’apprendimento automatico: vettori, matrici e perché l’IA soprattutto moltiplica
10. Derivate, gradiente e regola della catena: come un modello capisce in quale direzione imparare
11. Discesa del gradiente: come impara un modello
12. Che cos’è la probabilità: dal lancio di un dado agli assiomi di Kolmogorov
13. Probabilità condizionata e teorema di Bayes: come cambiare una stima quando scopri qualcosa di nuovo
14. Variabile aleatoria e funzione di ripartizione: una sola funzione che dice tutto sulla distribuzione
15. Funzione di densità e funzione di massa: perché una variabile continua ha probabilità zero in un punto
16. Valore atteso, varianza e covarianza: dove si trova una distribuzione, quanto è larga e che cosa è legato a che cosa
17. Panoramica delle distribuzioni di probabilità: Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale ed esponenziale
18. Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale: perché le medie si comportano in modo così prevedibile
19. Statistica e stima dei parametri: massima verosimiglianza, MAP e intervalli di confidenza
20. Teoria dell’informazione: entropia, entropia incrociata e divergenza KL — da dove vengono le funzioni di perdita
21. Ricerca nello spazio degli stati: BFS, DFS, UCS e A* con animazioni
22. Giochi e avversari: minimax, potatura alfa-beta e Monte Carlo tree search
23. Soddisfacimento di vincoli: backtracking, propagazione dei vincoli e AC-3 su un sudoku e una mappa delle regioni ceche
24. Logica e sistemi basati sulla conoscenza: concatenazione in avanti e all’indietro, risoluzione e sistemi esperti
25. Pianificazione: STRIPS, il mondo dei blocchi, euristiche dal rilassamento e pianificazione negli agenti IA
26. Ricerca locale e ricottura simulata: un commesso viaggiatore tra i capoluoghi di regione cechi
27. Algoritmi genetici: popolazione, incrocio, mutazione e selezione su uno zaino per l’escursione
28. Strategie evolutive e programmazione genetica: dalla regola di un quinto alla legge di Keplero
29. Ottimizzazione con colonie di formiche: come una traccia di feromone trova un percorso breve
30. Ottimizzazione a sciame di particelle: inerzia, esperienza propria ed esperienza dello sciame
31. Neuroevoluzione: evoluzione dei pesi e della forma delle reti neurali e l’algoritmo NEAT
32. Insiemi fuzzy e funzioni di appartenenza: come scrivere «un po’ caldo»
33. Logica fuzzy e probabilità: perché «un po’ caldo» non significa «probabilmente caldo»
34. Logica fuzzy: t-norme, implicazioni e regole SE–ALLORA
35. Controllo fuzzy: Mamdani e Sugeno, dal ventilatore al pendolo inverso su un carrello
36. Clustering fuzzy: l’algoritmo fuzzy c-means e i punti tra i cluster
37. Sistemi neuro-fuzzy (ANFIS): regole fuzzy che imparano dai dati
38. Catene di Markov: matrice di transizione, distribuzione stazionaria e PageRank
39. Modelli di Markov nascosti: l’algoritmo di Viterbi e il casinò disonesto
40. Reti bayesiane: perché l’erba è bagnata e che cosa significa per l’irrigatore
41. Filtro di Kalman: come stimare da misure imprecise dove si trova un’auto e a che velocità va
42. Tipi di apprendimento automatico: supervisionato, non supervisionato, semi-supervisionato e altri
43. Prompt, contesto e RAG: come dare a un modello le informazioni giuste
44. Autoencoder variazionali (VAE): immagini nuove da uno spazio latente continuo
45. Reti generative avversarie (GAN): il falsario contro il detective
46. Modelli di diffusione: come il rumore puro diventa un’immagine
47. Processi decisionali di Markov: stati, azioni, ricompense ed equazioni di Bellman
48. Q-learning e DQN: imparare il valore delle azioni, dalla tabella alla rete neurale
49. Policy gradient e PPO: imparare direttamente la politica
50. Come funziona un agente IA: un modello linguistico in un ciclo con strumenti
51. Programmare con agenti IA: incarico, test e controllo
52. Valutazione e sicurezza dei sistemi di IA: come misurare e come sorvegliare

Programma completo della serie 52 di 83 argomenti pubblicati

La probabilità non è un numero fisso scolpito nella pietra. Quando vieni a sapere qualcosa di nuovo, cambia. La probabilità che piova è diversa se sai che il cielo è coperto. La probabilità che un’e-mail sia spam è diversa se dentro c’è scritto «hai vinto». Questa parte spiega come ricalcolare con precisione una probabilità quando arriva un’informazione nuova — e il teorema su cui si reggono i filtri antispam, la diagnostica medica e buona parte dell’apprendimento automatico.

Riprende la parte Che cos’è la probabilità e usa di nuovo due dadi.

1. Probabilità condizionata

Definizione — probabilità condizionata

Per eventi A, B con P(B) > 0, la probabilità condizionata dell’evento A dato B è

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Un amico ha lanciato due dadi e ti rivela solo che è uscito almeno un sei. Qual è la probabilità che la somma sia 7? Dei 36 risultati ne restano 11 con un sei — e solo due di essi, (1, 6) e (6, 1), hanno somma 7:

P(somma 7 | almeno un sei) = 2/11 ≈ 0,182 — un po’ più che senza condizione, quando è 1/6 ≈ 0,167. E attenzione all’ordine: P(almeno un sei | somma 7) = 2/6 = 1/3. P(A | B) e P(B | A) sono in generale numeri del tutto diversi.

2. Regola del prodotto

Teorema — regola del prodotto

P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A).

3. Indipendenza

Definizione — eventi indipendenti

Gli eventi A e B sono indipendenti quando P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Per P(B) > 0 equivale a P(A | B) = P(A).

L’indipendenza sa sorprendere. «La somma è 7» e «sul primo dado è uscito un sei» sono indipendenti: la P di entrambi è 1/36 e 1/6 · 1/6 = 1/36 — qualunque cosa esca sul primo dado, sul secondo c’è esattamente un numero che dà somma 7. Invece «la somma è 12» e «sul primo c’è un sei» non sono indipendenti: senza condizione la somma 12 ha solo 1/36, ma con un sei sul primo dado già 1/6.

E non confondere eventi indipendenti ed eventi incompatibili. Gli eventi incompatibili sono al contrario fortemente dipendenti — se se n’è verificato uno, sai con certezza che l’altro non si è verificato.

4. Teorema della probabilità totale

Teorema — probabilità totale

Se gli eventi H₁, …, H_k formano una partizione dello spazio Ω (sono a due a due incompatibili e insieme ricoprono Ω), allora per ogni evento A vale

P(A) = ∑_i=1^k P(A | H_i) · P(H_i).

5. Teorema di Bayes

Teorema — teorema di Bayes

Per P(A) > 0 vale

P(H | A) = P(A | H) · P(H) / P(A),

dove il denominatore P(A) si calcola con il teorema della probabilità totale.

Le singole parti del teorema hanno un nome:

Definizione — probabilità a priori

P(H) è la probabilità a priori dell’ipotesi H — prima di vedere i dati A.

Definizione — verosimiglianza

P(A | H) è la verosimiglianza — quanto sarebbero probabili i dati A se l’ipotesi H fosse vera.

Definizione — probabilità a posteriori

P(H | A) è la probabilità a posteriori — la stima dell’ipotesi H dopo aver visto i dati A.

6. Test positivo: perché solo il 16,7 %

La malattia colpisce l’1 % delle persone. Il test la individua nel 99 % dei malati, ma nel 5 % delle persone sane dà un falso allarme. Il tuo test è positivo. Quanto è probabile che tu abbia la malattia? La maggior parte delle persone — compresi molti medici — risponde intorno al 95 %. Il teorema di Bayes dice:

Solo il 16,7 %. Si vede meglio con le frequenze naturali — invece delle probabilità, immagina 10 000 persone:

I malati sono 100 e il test ne individua 99. Ma i sani sono 9 900, e anche solo il 5 % di loro fa 495 falsi allarmi. I positivi sono in tutto 594 e tra loro i malati sono solo 99 — un sesto. Questo errore dell’intuizione ha un nome: fallacia del tasso di base. Quando qualcosa è raro, anche un test preciso produce più falsi allarmi che casi reali.

7. Imparare dai dati: la probabilità a posteriori diventa a priori

E se il test si ripete e risulta di nuovo positivo? Ora non partiamo più dall’1 % — il risultato del primo test è la nuova stima di partenza. La probabilità a posteriori diventa a priori:

Dopo il secondo test positivo è già il 79,8 %, dopo il terzo il 98,7 %. Ogni indizio sposta la stima, e l’indizio successivo si basa sul precedente. È esattamente così che imparano i modelli bayesiani — partono da un’ipotesi e la affinano con ogni nuovo dato.

8. Bayes nell’intelligenza artificiale

• Filtri antispam — se il 40 % della posta è spam e la parola «vincita» compare nel 30 % dello spam e solo nell’1 % delle altre e-mail, allora un’e-mail con la parola «vincita» è spam con probabilità 0,12 / 0,126 ≈ 0,952. Il classificatore bayesiano ingenuo (naive Bayes) fa questo per ogni parola.
• I modelli linguistici calcolano la probabilità condizionata della parola successiva date tutte le precedenti: P(x_t | x₁, …, x_t−1). L’intero testo è un prodotto di tali probabilità condizionate — la regola del prodotto.
• Le reti bayesiane rappresentano come grafo orientato quali variabili dipendono l’una dall’altra e calcolano con probabilità condizionate lungo i suoi archi.
• Incertezza del modello — i metodi bayesiani non danno una sola risposta, ma una distribuzione: quanto il modello è sicuro e dove gli servirebbero altri dati.

9. Riepilogo

• La probabilità condizionata P(A | B) calcola solo dentro B; P(A | B) ≠ P(B | A).
• Regola del prodotto: P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B). Gli eventi indipendenti non si rivelano nulla.
• Il teorema della probabilità totale somma tutte le strade per cui un evento può verificarsi.
• Il teorema di Bayes inverte la condizione: dalla probabilità a priori e dalla verosimiglianza ricava quella a posteriori.
• Per eventi rari anche un test preciso dà molti falsi allarmi — non dimenticare il tasso di base.

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