Algebra lineare per l’apprendimento automatico: vettori, matrici e perché l’IA soprattutto moltiplica

Vettori, prodotto scalare e similarità del coseno, matrici come trasformazioni, determinante, lo strato di una rete neurale come Wx + b e autovettori — con figure calcolate dal codice.

14 minuti Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Basi di IA Parte 9 di 52

1. Mappa dell’intelligenza artificiale: che cos’è ciascuna cosa e come si incastra tutto
2. Breve storia dell’intelligenza artificiale: da Turing ai modelli linguistici
3. Dati, modello, addestramento, inferenza: i concetti di base su un unico esempio
4. Come leggere la notazione matematica: simboli, indici, sommatorie e quantificatori
5. Insiemi e relazioni: i mattoncini con cui si costruiscono le definizioni nell’IA
6. Funzioni e applicazioni: perché ogni modello di IA è una funzione
7. Logica e dimostrazioni: le regole con cui si ragiona nell’IA
8. Grafi e alberi: la struttura su cui poggiano la ricerca e le reti neurali
9. Algebra lineare per l’apprendimento automatico: vettori, matrici e perché l’IA soprattutto moltiplica
10. Derivate, gradiente e regola della catena: come un modello capisce in quale direzione imparare
11. Discesa del gradiente: come impara un modello
12. Che cos’è la probabilità: dal lancio di un dado agli assiomi di Kolmogorov
13. Probabilità condizionata e teorema di Bayes: come cambiare una stima quando scopri qualcosa di nuovo
14. Variabile aleatoria e funzione di ripartizione: una sola funzione che dice tutto sulla distribuzione
15. Funzione di densità e funzione di massa: perché una variabile continua ha probabilità zero in un punto
16. Valore atteso, varianza e covarianza: dove si trova una distribuzione, quanto è larga e che cosa è legato a che cosa
17. Panoramica delle distribuzioni di probabilità: Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale ed esponenziale
18. Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale: perché le medie si comportano in modo così prevedibile
19. Statistica e stima dei parametri: massima verosimiglianza, MAP e intervalli di confidenza
20. Teoria dell’informazione: entropia, entropia incrociata e divergenza KL — da dove vengono le funzioni di perdita
21. Ricerca nello spazio degli stati: BFS, DFS, UCS e A* con animazioni
22. Giochi e avversari: minimax, potatura alfa-beta e Monte Carlo tree search
23. Soddisfacimento di vincoli: backtracking, propagazione dei vincoli e AC-3 su un sudoku e una mappa delle regioni ceche
24. Logica e sistemi basati sulla conoscenza: concatenazione in avanti e all’indietro, risoluzione e sistemi esperti
25. Pianificazione: STRIPS, il mondo dei blocchi, euristiche dal rilassamento e pianificazione negli agenti IA
26. Ricerca locale e ricottura simulata: un commesso viaggiatore tra i capoluoghi di regione cechi
27. Algoritmi genetici: popolazione, incrocio, mutazione e selezione su uno zaino per l’escursione
28. Strategie evolutive e programmazione genetica: dalla regola di un quinto alla legge di Keplero
29. Ottimizzazione con colonie di formiche: come una traccia di feromone trova un percorso breve
30. Ottimizzazione a sciame di particelle: inerzia, esperienza propria ed esperienza dello sciame
31. Neuroevoluzione: evoluzione dei pesi e della forma delle reti neurali e l’algoritmo NEAT
32. Insiemi fuzzy e funzioni di appartenenza: come scrivere «un po’ caldo»
33. Logica fuzzy e probabilità: perché «un po’ caldo» non significa «probabilmente caldo»
34. Logica fuzzy: t-norme, implicazioni e regole SE–ALLORA
35. Controllo fuzzy: Mamdani e Sugeno, dal ventilatore al pendolo inverso su un carrello
36. Clustering fuzzy: l’algoritmo fuzzy c-means e i punti tra i cluster
37. Sistemi neuro-fuzzy (ANFIS): regole fuzzy che imparano dai dati
38. Catene di Markov: matrice di transizione, distribuzione stazionaria e PageRank
39. Modelli di Markov nascosti: l’algoritmo di Viterbi e il casinò disonesto
40. Reti bayesiane: perché l’erba è bagnata e che cosa significa per l’irrigatore
41. Filtro di Kalman: come stimare da misure imprecise dove si trova un’auto e a che velocità va
42. Tipi di apprendimento automatico: supervisionato, non supervisionato, semi-supervisionato e altri
43. Prompt, contesto e RAG: come dare a un modello le informazioni giuste
44. Autoencoder variazionali (VAE): immagini nuove da uno spazio latente continuo
45. Reti generative avversarie (GAN): il falsario contro il detective
46. Modelli di diffusione: come il rumore puro diventa un’immagine
47. Processi decisionali di Markov: stati, azioni, ricompense ed equazioni di Bellman
48. Q-learning e DQN: imparare il valore delle azioni, dalla tabella alla rete neurale
49. Policy gradient e PPO: imparare direttamente la politica
50. Come funziona un agente IA: un modello linguistico in un ciclo con strumenti
51. Programmare con agenti IA: incarico, test e controllo
52. Valutazione e sicurezza dei sistemi di IA: come misurare e come sorvegliare

Programma completo della serie 52 di 83 argomenti pubblicati

Se smontassi un qualsiasi modello di intelligenza artificiale fino in fondo, troveresti soprattutto un’operazione: la moltiplicazione di matrici. Per il modello un’immagine è una tabella di numeri, una parola è una lista di numeri, uno strato di una rete neurale è una matrice, e le schede grafiche sono così importanti proprio perché sanno moltiplicare matrici più velocemente di qualsiasi altra cosa. L’algebra lineare è la lingua in cui l’IA fa i conti.

Non percorreremo tutto il programma universitario. Vedremo solo ciò che ti servirà nelle prossime parti — e per ogni concetto mostreremo dove si trova nell’IA.

1. Vettori: una freccia e una lista di numeri

Definizione — vettore e operazioni sui vettori

Un vettore di ℝⁿ è una n-upla ordinata di numeri reali u = (u₁, …, u_n); i numeri u_i sono le sue componenti.

La somma si calcola componente per componente: u + v = (u₁ + v₁, …, u_n + v_n). Il prodotto per uno scalare è cu = (cu₁, …, cu_n).

L’espressione c₁v₁ + … + c_kv_k è una combinazione lineare dei vettori v₁, …, v_k.

Nell’IA quasi tutto è un vettore. Un’immagine in bianco e nero di 28 × 28 pixel è un vettore di ℝ⁷⁸⁴. Una parola in un modello linguistico è un vettore con centinaia o migliaia di componenti — il cosiddetto embedding (rappresentazione vettoriale). E i parametri dell’intero modello sono un unico vettore gigante θ.

2. Prodotto scalare, lunghezza e similarità

Definizione — prodotto scalare, norma, angolo

Prodotto scalare u · v = ∑_i=1ⁿ u_iv_i (anche u^⊤v).

Lunghezza (norma euclidea) ‖u‖ = √(u · u). Per l’angolo φ tra due vettori vale cos φ = (u · v) / (‖u‖ ‖v‖); i vettori sono ortogonali quando u · v = 0.

Per u = (3, 1) e v = (1, 2) si ha u · v = 3 · 1 + 1 · 2 = 5, ‖u‖ = √10 ≈ 3,16, ‖v‖ = √5 ≈ 2,24 e cos φ = 5 / √50 ≈ 0,71 — i vettori formano un angolo di 45°.

Il coseno dell’angolo è famoso nell’IA come similarità del coseno. Immagina un embedding giocattolo di parole con tre componenti «animale, domestico, ha le ruote»: gatto (0,9; 0,8; 0), cane (0,85; 0,9; 0,05), auto (0; 0,3; 0,95). La similarità tra gatto e cane risulta 0,995, tra gatto e auto solo 0,20. È esattamente così che i motori di ricerca trovano documenti «simili» e i modelli linguistici parole «simili» — solo in centinaia di dimensioni invece di tre.

3. Matrici e prodotto per un vettore

Definizione — matrice e prodotto matrice-vettore

Una matrice di tipo m × n è una tabella di numeri reali con m righe e n colonne; A_ij è l’elemento nella i-esima riga e nella j-esima colonna.

Per A ∈ ℝ^m×n e x ∈ ℝⁿ, Ax ∈ ℝ^m è il vettore con componenti (Ax)_i = ∑_j A_ijx_j — il prodotto scalare della i-esima riga per x.

4. La matrice come trasformazione dello spazio

Il modo migliore per «vedere» una matrice è guardare che cosa fa al piano. Ogni matrice 2 × 2 porta una griglia in un’altra griglia — le rette restano rette e l’origine resta al suo posto. Per questo si parla di applicazione lineare. In grigio c’è la griglia originale, in verde quella trasformata, in arancione l’immagine del quadrato unitario:

rotazione di 90°
[0 -1; 1 0] · area × 1

ingrandimento 1,5×
[1,5 0; 0 1,5] · area × 2,25

taglio
[1 1; 0 1] · area × 1

proiezione sull’asse x
[1 0; 0 0] · area × 0

Definizione — determinante di una matrice 2 × 2

det [a b; c d] = ad − bc. Il suo valore assoluto è il fattore di variazione dell’area: il quadrato unitario viene trasformato in un parallelogramma di area |det A|.

5. Moltiplicare matrici è comporre

Definizione — prodotto di matrici

Per A ∈ ℝ^m×k e B ∈ ℝ^k×n si ha (AB)_ij = ∑_l A_ilB_lj. Vale (AB)x = A(Bx): il prodotto di matrici è la composizione delle applicazioni — prima B, poi A.

La moltiplicazione di matrici è associativa, ma in generale non è commutativa: AB ≠ BA.

6. Uno strato di rete neurale è una matrice

Ora si può dire con precisione che cosa fa uno strato di una rete neurale:

La matrice W (i pesi) e il vettore b (il bias) sono i parametri che la rete impara. Per W = [0,5 −1 2; 1 0 −0,5], l’ingresso x = (1, 2, 3) e b = (0, −1):

Lo strato ha trasformato tre numeri in due e ha azzerato quello negativo. Una rete profonda è una serie di passi del genere uno dopo l’altro — e senza una funzione non lineare (ReLU, sigmoide) collasserebbe tutta in un’unica matrice, perché la composizione di applicazioni lineari è ancora un’applicazione lineare. Quando la rete elabora più ingressi insieme (un batch), li raccoglie in una matrice X e l’intero batch si calcola con una sola moltiplicazione WX — ed è proprio l’operazione che le schede grafiche eseguono più velocemente.

7. Matrice inversa e sistemi di equazioni

Definizione — matrice inversa

Una matrice quadrata A è invertibile se esiste A⁻¹ con A⁻¹A = AA⁻¹ = I (matrice identità). Una matrice è invertibile se e solo se det A ≠ 0.

Per 2 × 2: [a b; c d]⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [d −b; −c a]. Il sistema Ax = y ha allora un’unica soluzione x = A⁻¹y.

Per A = [2 1; 1 3] si ha det A = 2 · 3 − 1 · 1 = 5 e A⁻¹ = [0,6 −0,2; −0,2 0,4]. Dal risultato noto (4, 7) otteniamo così di nuovo l’ingresso (1, 2). Allo stesso modo si calcola in forma chiusa anche la regressione lineare — il metodo dei minimi quadrati porta alle equazioni normali (X^⊤X)θ = X^⊤y.

8. Autovalori e autovettori

Definizione — autovalore e autovettore

Un vettore non nullo v è un autovettore della matrice A con autovalore λ se Av = λv.

Gli autovalori sono le radici dell’equazione det(A − λI) = 0. Una matrice simmetrica ha autovalori reali e autovettori ortogonali tra loro.

Gli autovalori della matrice [2 1; 1 3] sono (5 ± √5)/2, cioè ≈ 3,62 e ≈ 1,38. L’ellisse è allungata 3,62× nella direzione del primo autovettore e 1,38× in quella del secondo. Le frecce grigie in una direzione qualsiasi dopo la trasformazione ruotano, gli assi arancioni no. Su questo si basa l’analisi delle componenti principali (PCA): gli autovettori della matrice di covarianza dei dati indicano le direzioni in cui i dati variano di più, e gli autovalori quanto.

9. L’algebra lineare nell’intelligenza artificiale

• I dati sono una matrice: una riga è un esempio, una colonna una caratteristica.
• Gli embedding sono vettori; la similarità si misura con il prodotto scalare o con il coseno.
• Uno strato della rete è Wx + b più una non linearità; l’addestramento modifica gli elementi delle matrici W.
• L’attenzione nei transformer calcola i prodotti scalari di tutte le query con tutte le chiavi (key) in una volta sola — la moltiplicazione di matrici QK^⊤.
• La PCA e la compressione cercano autovettori, i sistemi di raccomandazione scompongono la matrice «utente × film» nel prodotto di matrici più piccole (fattorizzazione di matrici).

10. Riepilogo

• Un vettore è sia una lista di numeri sia una freccia; si somma componente per componente.
• Il prodotto scalare misura quanto due vettori puntano nella stessa direzione — la similarità del coseno ne è la versione normalizzata.
• Una matrice è una trasformazione lineare dello spazio; il determinante dice di quante volte cambia l’area, e zero significa che la trasformazione non si può annullare.
• Moltiplicare matrici è comporre trasformazioni, e uno strato di rete neurale è Wx + b con una non linearità.
• Gli autovettori sono le direzioni che la matrice si limita ad allungare — su di essi si basa la PCA.

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