Logica fuzzy e probabilità: perché «un po’ caldo» non significa «probabilmente caldo»

Casualità e vaghezza, le due bottiglie di Bezdek, gli assiomi della probabilità contro l’appartenenza fuzzy, i limiti di Fréchet, la probabilità di un evento fuzzy su una previsione del tempo e le parole della probabilità come insiemi fuzzy.

12 minuti Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Basi di IA Parte 33 di 52

1. Mappa dell’intelligenza artificiale: che cos’è ciascuna cosa e come si incastra tutto
2. Breve storia dell’intelligenza artificiale: da Turing ai modelli linguistici
3. Dati, modello, addestramento, inferenza: i concetti di base su un unico esempio
4. Come leggere la notazione matematica: simboli, indici, sommatorie e quantificatori
5. Insiemi e relazioni: i mattoncini con cui si costruiscono le definizioni nell’IA
6. Funzioni e applicazioni: perché ogni modello di IA è una funzione
7. Logica e dimostrazioni: le regole con cui si ragiona nell’IA
8. Grafi e alberi: la struttura su cui poggiano la ricerca e le reti neurali
9. Algebra lineare per l’apprendimento automatico: vettori, matrici e perché l’IA soprattutto moltiplica
10. Derivate, gradiente e regola della catena: come un modello capisce in quale direzione imparare
11. Discesa del gradiente: come impara un modello
12. Che cos’è la probabilità: dal lancio di un dado agli assiomi di Kolmogorov
13. Probabilità condizionata e teorema di Bayes: come cambiare una stima quando scopri qualcosa di nuovo
14. Variabile aleatoria e funzione di ripartizione: una sola funzione che dice tutto sulla distribuzione
15. Funzione di densità e funzione di massa: perché una variabile continua ha probabilità zero in un punto
16. Valore atteso, varianza e covarianza: dove si trova una distribuzione, quanto è larga e che cosa è legato a che cosa
17. Panoramica delle distribuzioni di probabilità: Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale ed esponenziale
18. Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale: perché le medie si comportano in modo così prevedibile
19. Statistica e stima dei parametri: massima verosimiglianza, MAP e intervalli di confidenza
20. Teoria dell’informazione: entropia, entropia incrociata e divergenza KL — da dove vengono le funzioni di perdita
21. Ricerca nello spazio degli stati: BFS, DFS, UCS e A* con animazioni
22. Giochi e avversari: minimax, potatura alfa-beta e Monte Carlo tree search
23. Soddisfacimento di vincoli: backtracking, propagazione dei vincoli e AC-3 su un sudoku e una mappa delle regioni ceche
24. Logica e sistemi basati sulla conoscenza: concatenazione in avanti e all’indietro, risoluzione e sistemi esperti
25. Pianificazione: STRIPS, il mondo dei blocchi, euristiche dal rilassamento e pianificazione negli agenti IA
26. Ricerca locale e ricottura simulata: un commesso viaggiatore tra i capoluoghi di regione cechi
27. Algoritmi genetici: popolazione, incrocio, mutazione e selezione su uno zaino per l’escursione
28. Strategie evolutive e programmazione genetica: dalla regola di un quinto alla legge di Keplero
29. Ottimizzazione con colonie di formiche: come una traccia di feromone trova un percorso breve
30. Ottimizzazione a sciame di particelle: inerzia, esperienza propria ed esperienza dello sciame
31. Neuroevoluzione: evoluzione dei pesi e della forma delle reti neurali e l’algoritmo NEAT
32. Insiemi fuzzy e funzioni di appartenenza: come scrivere «un po’ caldo»
33. Logica fuzzy e probabilità: perché «un po’ caldo» non significa «probabilmente caldo»
34. Logica fuzzy: t-norme, implicazioni e regole SE–ALLORA
35. Controllo fuzzy: Mamdani e Sugeno, dal ventilatore al pendolo inverso su un carrello
36. Clustering fuzzy: l’algoritmo fuzzy c-means e i punti tra i cluster
37. Sistemi neuro-fuzzy (ANFIS): regole fuzzy che imparano dai dati
38. Catene di Markov: matrice di transizione, distribuzione stazionaria e PageRank
39. Modelli di Markov nascosti: l’algoritmo di Viterbi e il casinò disonesto
40. Reti bayesiane: perché l’erba è bagnata e che cosa significa per l’irrigatore
41. Filtro di Kalman: come stimare da misure imprecise dove si trova un’auto e a che velocità va
42. Tipi di apprendimento automatico: supervisionato, non supervisionato, semi-supervisionato e altri
43. Prompt, contesto e RAG: come dare a un modello le informazioni giuste
44. Autoencoder variazionali (VAE): immagini nuove da uno spazio latente continuo
45. Reti generative avversarie (GAN): il falsario contro il detective
46. Modelli di diffusione: come il rumore puro diventa un’immagine
47. Processi decisionali di Markov: stati, azioni, ricompense ed equazioni di Bellman
48. Q-learning e DQN: imparare il valore delle azioni, dalla tabella alla rete neurale
49. Policy gradient e PPO: imparare direttamente la politica
50. Come funziona un agente IA: un modello linguistico in un ciclo con strumenti
51. Programmare con agenti IA: incarico, test e controllo
52. Valutazione e sicurezza dei sistemi di IA: come misurare e come sorvegliare

Programma completo della serie 52 di 83 argomenti pubblicati

«Domani farà un po’ caldo». «Domani probabilmente farà caldo». Entrambe le frasi contengono incertezza ed entrambe si possono esprimere con un numero tra zero e uno. Eppure dicono cose del tutto diverse. La prima parla di quanto il tempo somiglierà alla parola «caldo»; la seconda di se accadrà qualcosa che ancora non sappiamo. Confondere questi due tipi di incertezza ha portato a una delle dispute più accese nella storia dell’intelligenza artificiale — e ancora oggi è un errore frequente.

Riprende le parti Insiemi fuzzy e funzioni di appartenenza e Che cos’è la probabilità.

1. Due tipi di incertezza

Definizione — casualità e vaghezza

La casualità (incertezza sull’esito) riguarda un evento che o si verifica o no; solo che non sappiamo quale delle due cose. La descrive la probabilità P(A) ∈ [0, 1] di un evento netto A.

La vaghezza (imprecisione di un concetto) riguarda quanto bene un elemento noto corrisponde a un concetto dai confini sfumati. La descrive il grado di appartenenza μ_A(x) ∈ [0, 1] all’insieme fuzzy A.

2. Due bottiglie

Un esempio di James Bezdek mostra benissimo la differenza. Sei nel deserto e hai sete. Davanti a te ci sono due bottiglie. Sulla prima c’è scritto: «L’appartenenza all’insieme dei liquidi potabili è 0,91». Sulla seconda: «La probabilità che il liquido sia potabile è 0,91». Da quale bevi?

La prima bottiglia contiene qualcosa di quasi potabile — per esempio acqua un po’ torbida. Di sicuro non ti farà molto male. Nella seconda c’è acqua pulita con probabilità 0,91, ma in nove casi su cento qualcosa di completamente diverso, per esempio veleno. Dopo l’apertura la differenza si vede anche nei numeri: l’appartenenza della prima bottiglia resta 0,91, perché non veniamo a sapere niente di nuovo. La probabilità della seconda salta a 1 oppure a 0 — l’evento casuale o si è verificato o no.

3. Che cosa dicono gli assiomi

Promemoria — gli assiomi di Kolmogorov

La probabilità è una funzione P sugli eventi con P(A) ≥ 0, P(Ω) = 1 e additività: per eventi incompatibili P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Ne segue P(A) + P(¬A) = 1 e P(A ∩ ¬A) = 0.

Derivazione. Gli eventi A e ¬A sono incompatibili e insieme danno Ω, quindi per l’additività P(A) + P(¬A) = P(Ω) = 1. L’intersezione A ∩ ¬A è l’evento vuoto ∅; è incompatibile con sé stesso, quindi P(∅) = P(∅ ∪ ∅) = 2 P(∅), e questo è possibile solo per P(∅) = 0. ∎

Una funzione di appartenenza non ha alcun budget del genere. Nella parte precedente 25 °C era «gradevole» per 0,6 e «caldo» per 0,5 — in totale 1,1, e va benissimo così. La tabella riassume le differenze:

Da dove vengono i numeri 0,5 nella tabella? La «e» fuzzy qui è il minimo, la «o» il massimo e il «non» il complemento 1 − μ, come nella parte sugli insiemi fuzzy.

Teorema — «A e non A» e «A o non A» negli insiemi fuzzy

Per ogni a = μ_A(x) ∈ [0, 1] vale min(a, 1 − a) ≤ 0,5 ≤ max(a, 1 − a), con uguaglianza esattamente per a = 0,5.

Dimostrazione. I numeri a e 1 − a sommano a 1, quindi il minore è al più metà della somma e il maggiore almeno metà. Entrambi valgono 0,5 solo quando sono uguali tra loro, cioè per a = 0,5. ∎

Esempio. A 25 °C «caldo» vale 0,5. Allora «caldo e non caldo» = min(0,5; 0,5) = 0,5 e «caldo o non caldo» = max(0,5; 0,5) = 0,5 — il principio classico di non contraddizione vorrebbe 0, quello del terzo escluso 1. Con la probabilità, «farà almeno 25 °C e non farà almeno 25 °C» avrebbe sempre probabilità 0.

4. Combinare: chi ha bisogno di più informazione

L’ultima riga della tabella è forse la più importante. La logica fuzzy è vero-funzionale: il valore di «A e B» si calcola solo dai valori di A e B. Con la probabilità non si può.

Definizione — vero-funzionalità

Il connettivo «e» è vero-funzionale se esiste una funzione g : [0, 1]² → [0, 1] tale che per tutti gli enunciati A, B il valore di «A e B» sia uguale a g(valore di A, valore di B). Nella logica fuzzy g = min (o un’altra t-norma).

Esempio — perché la probabilità non è vero-funzionale

Lanciamo un dado una volta. L’evento A = «esce un numero pari» = {2, 4, 6} ha P(A) = 3/6 = 1/2. Prendiamo tre eventi B, tutti con probabilità 1/2:

• B = {2, 4, 6} (pari): A ∩ B = {2, 4, 6}, P = 3/6 = 1/2,
• B = {4, 5, 6} (almeno 4): A ∩ B = {4, 6}, P = 2/6 = 1/3,
• B = {1, 3, 5} (dispari): A ∩ B = ∅, P = 0.

Gli ingressi sono ogni volta gli stessi (1/2 e 1/2), i risultati tre diversi. Nessuna funzione g può dare da (1/2, 1/2) contemporaneamente 1/2, 1/3 e 0.

Teorema — i limiti di Fréchet

Per eventi qualsiasi A, B vale

max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))

ed entrambi i limiti possono essere raggiunti. Senza conoscere la relazione tra A e B, P(A ∩ B) non si può determinare con più precisione.

Dimostrazione. Limite superiore: A ∩ B ⊆ A, quindi P(A ∩ B) ≤ P(A), e allo stesso modo ≤ P(B). Limite inferiore: dalla formula dell’unione P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) e da P(A ∪ B) ≤ 1 segue P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1; la non negatività fornisce lo 0. Il limite superiore si raggiunge quando un evento è interamente contenuto nell’altro (A ⊆ B); quello inferiore quando gli eventi si sovrappongono il meno possibile — se non sono incompatibili, insieme coprono tutto Ω. ∎

max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))

P(A ∩ B)

la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi — ciò che vorremmo conoscere, ma che da due numeri non sappiamo ricavare

max(0, P(A) + P(B) − 1)

limite inferiore — due probabilità che insieme superano 1 non stanno nel totale senza sovrapporsi; l’eccedenza oltre l’uno deve sovrapporsi. Lo zero c’è perché, quando non c’è eccedenza, la sovrapposizione può mancare del tutto

min(P(A), P(B))

limite superiore — i due eventi insieme non possono verificarsi più spesso del più raro dei due

Ogni ipotesi sulla relazione tra gli eventi dà un numero dell’intervallo — e a ciascuna corrisponde una «e» fuzzy (t-norma) della parte sulla logica fuzzy:

Da qui deriva una differenza pratica. Un sistema fuzzy si calcola in modo facile e veloce, ma presuppone tacitamente una relazione concreta tra i concetti. Un modello probabilistico deve specificare le relazioni in modo esplicito — oppure impararle dai dati — e in cambio ottiene risultati che concordano con le frequenze del mondo reale.

5. Probabilità di un evento fuzzy

Le due incertezze però non si escludono — spesso compaiono insieme. «Qual è la probabilità che domani faccia caldo?» contiene il caso (che temperatura ci sarà) e la vaghezza (che cosa è «caldo»).

Definizione — probabilità di un evento fuzzy (Zadeh, 1968)

Se X è una variabile aleatoria con densità f e A un insieme fuzzy sui suoi valori, la probabilità dell’evento fuzzy A è

P(A) = E[μ_A(X)] = ∫ μ_A(x) f(x) dx.

Per un insieme netto è la probabilità ordinaria. Se X assume solo un numero finito di valori x_i con probabilità p_i, l’integrale diventa una somma: P(A) = ∑_i μ_A(x_i) p_i.

P(A) = ∫ μ_A(x) · f(x) dx

P(A)

probabilità dell’evento fuzzy — un solo numero che porta entrambe le incertezze insieme

f(x)

densità della previsione — casualità: quanto è probabile la temperatura x (nella figura la curva grigia)

μ_A(x)

appartenenza — vaghezza: quanto della temperatura x è «caldo»; invece di un netto «conta / non conta», ogni temperatura conta solo per la sua parte (nella figura in ambra)

∫ … dx

somma su tutte le temperature — come nella probabilità ordinaria, solo che non si somma l’intera densità, ma la densità pesata con l’appartenenza; il risultato è l’area riempita nella figura

La previsione dice che la temperatura di domani ha distribuzione normale con media 24 °C e deviazione standard 3 °C. «Caldo» è il triangolo (22, 28, 34) della parte precedente:

Esempio — l’integrale come somma grado per grado

La densità della distribuzione normale con media m = 24 e deviazione standard σ = 3 è f(x) = e^{−(x − m)² / (2σ²)} / (σ √(2π)). Per 25 °C: f(25) = e^−1/18 / (3 · 2,5066) = 0,9460 · 0,1330 = 0,1258. L’appartenenza al triangolo (22, 28, 34) sul lato ascendente è (x − 22) / (28 − 22), cioè μ(25) = 3/6 = 0,5. La temperatura di 25 °C contribuisce quindi con 0,5 · 0,1258 = 0,0629 per grado.

Fuori dall’intervallo (22, 34) μ = 0, quindi basta sommare i contributi dei gradi interi da 23 a 33 (ciascuno per una larghezza di 1 °C):

x (°C)	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
μ(x)	0,17	0,33	0,50	0,67	0,83	1,00	0,83	0,67	0,50	0,33	0,17
f(x)	0,126	0,133	0,126	0,106	0,081	0,055	0,033	0,018	0,009	0,004	0,001
μ · f	0,021	0,044	0,063	0,071	0,067	0,055	0,028	0,012	0,004	0,001	0,000

La somma dell’ultima riga è 0,367 — anche con un passo così grossolano, uguale all’integrale esatto. I contributi maggiori non vengono dai giorni più caldi (28 °C è «caldo» per intero, ma poco probabile) né da quelli più probabili (24 °C è «caldo» solo per un terzo), bensì da 25–28 °C, dove entrambi i numeri sono ragionevolmente grandi.

La probabilità dell’evento fuzzy «farà caldo» risulta 0,367 — quasi uguale alla probabilità dell’evento netto «farà almeno 25 °C» (0,369). È una coincidenza di questa previsione. Quando spostiamo la previsione, si separano:

Con una previsione fresca l’evento fuzzy dà di più, perché conta anche i giorni «un po’ caldi» sotto i 25 °C. Con una previsione di 28 °C, invece, decisamente di meno: l’evento netto «almeno 25 °C» include con certezza anche 33 °C, ma secondo la nostra variabile linguistica quello non è più «caldo», bensì «torrido». L’evento fuzzy si attiene a ciò che la parola significa davvero.

6. Le parole della probabilità

In un articolo del 1964 Sherman Kent, analista della CIA, descrisse come i rapporti di intelligence fossero pieni di parole come «probabilmente» o «quasi certamente» — e come ogni lettore immaginasse dietro di esse un numero diverso. Propose una tabella: «quasi certo» intorno al 93 %, «probabile» intorno al 75 %, «più o meno metà e metà» intorno al 50 %, «probabilmente no» intorno al 30 % e «quasi certamente no» intorno al 7 %, sempre con un margine. Qui le due incertezze si incontrano alla perfezione: le parole della probabilità sono insiemi fuzzy sulle probabilità.

Esempio — quale parola si adatta a una data probabilità

Le parole sono triangoli intorno ai valori di Kent: «probabilmente» è (0,6; 0,75; 0,9), «probabilmente no» (0,18; 0,3; 0,42), «metà e metà» (0,38; 0,5; 0,62). L’ampiezza dei triangoli è una nostra scelta per illustrare, non la tabella di Kent. Sul lato discendente del triangolo (a, b, c) μ(p) = (c − p) / (c − b), su quello ascendente (p − a) / (b − a).

• p = 0,8: μ_{probabilmente} = (0,9 − 0,8) / (0,9 − 0,75) = 0,1 / 0,15 = 0,67; le altre parole valgono zero in 0,8.
• p = 0,37: μ_{probabilmente no} = (0,42 − 0,37) / (0,42 − 0,3) = 0,05 / 0,12 = 0,42; «metà e metà» comincia solo da 0,38, quindi vale 0,00.

La parola che si adatta meglio è quella con l’appartenenza maggiore: parola(p) = argmax_s μ_s(p).

Una probabilità di 0,8 è «probabilmente» per due terzi; lo 0,37 della nostra previsione è descritto meglio da «probabilmente no». In modo simile lavora oggi, per esempio, il Gruppo intergovernativo sul cambiamento climatico (IPCC): «likely» significa 66–100 % e «very likely» 90–100 %, perché le parole nei rapporti non inducano a un’interpretazione diversa.

7. La disputa sull’incertezza

Negli anni Ottanta divampò una disputa che due voci riassumono bene. Lo statistico Dennis Lindley sosteneva che l’unica descrizione ragionevole dell’incertezza è la probabilità — e che tutto ciò che fa la logica fuzzy, la probabilità lo fa meglio. Bart Kosko, al contrario, argomentava che la probabilità è solo un caso particolare dell’imprecisione. Entrambi avevano una parte di ragione. Per decidere in condizioni di incertezza, imparare dai dati e scommettere, la probabilità ha un solido fondamento teorico: con chi scommette secondo numeri diversi dalle probabilità si può concludere una serie di scommesse su cui perde di sicuro. Per lavorare con parole vaghe, regole scritte a mano e controllo semplice, gli insiemi fuzzy sono più naturali e comprensibili. Oggi le due teorie si usano fianco a fianco, ciascuna per ciò a cui è adatta.

Esempio — scommesse su cui si perde di sicuro

L’argomento fu formulato da Bruno de Finetti (1931; indipendentemente da lui Frank Ramsey nel 1926); qui in forma semplificata. Chi attribuisce a un evento A un «grado di fiducia» q(A) è disposto a comprare per q(A) euro una scommessa che paga 1 euro se A si verifica.

Uno scommettitore crede per 0,6 che domani pioverà, e per 0,6 anche che non pioverà — in totale 1,2, in contraddizione con P(A) + P(¬A) = 1. Gli vendiamo entrambe le scommesse:

• paga 0,6 + 0,6 = 1,20 €,
• comunque vada il tempo, si verifica esattamente uno dei due eventi, quindi riceve indietro esattamente 1 €,
• perde 1,2 − 1 = 0,20 € — di sicuro, indipendentemente dal tempo.

Se i numeri sommassero a meno di 1 (per esempio 0,4 + 0,4), saremmo noi a comprargli le scommesse per 0,8 pagandogli 1 — perde di nuovo 0,2. Sicura è solo una somma esattamente uguale a 1. In modo simile si può mostrare che la protezione da una perdita certa richiede tutti gli assiomi di Kolmogorov (per un numero finito di eventi). Le appartenenze fuzzy non sommano a 1 — e non è un difetto, perché non si tratta di scommesse su ciò che accadrà.

8. Le due incertezze nell’intelligenza artificiale

• L’apprendimento automatico è prevalentemente probabilistico. I classificatori e i modelli linguistici restituiscono distribuzioni di probabilità; imparano massimizzando la verosimiglianza, come hanno mostrato le parti sulla statistica e sulla teoria dell’informazione.
• Calibrazione. Quando un modello afferma 90 %, dovrebbe avere ragione in nove casi su dieci. La calibrazione è una proprietà puramente probabilistica e si può misurare.
• La fiducia a parole. I modelli linguistici esprimono spesso la propria fiducia a parole — «probabilmente», «molto probabilmente», «forse». Qui aiuta il ragionamento di Kent: una parola è un insieme fuzzy sulle probabilità, e se la fiducia verbale deve essere utile, deve corrispondere ai numeri che ci sono dietro.
• Le regole fuzzy si usano ancora dove serve un controllo manuale e leggibile senza molti dati — dalle lavatrici al controllo dei processi produttivi.

9. Riepilogo

• La probabilità descrive la casualità — se un evento si verifica; l’appartenenza fuzzy descrive la vaghezza — quanto un elemento corrisponde a un concetto.
• Dopo l’osservazione la probabilità diventa 0 o 1, mentre l’appartenenza resta uguale (le bottiglie di Bezdek).
• Le probabilità sommano a uno e P(A ∩ ¬A) = 0; le appartenenze no.
• La logica fuzzy è vero-funzionale; con la probabilità P(A ∩ B) sta solo tra i limiti di Fréchet, e il minimo fuzzy è quello superiore.
• Le due incertezze si possono unire: la probabilità dell’evento fuzzy «farà caldo» è il valore atteso dell’appartenenza; le parole della probabilità sono insiemi fuzzy sulle probabilità.

Vuoi provarci tu stesso? Chiedi a qualche persona quale percentuale immagina dietro «probabilmente» e «molto probabilmente no», e fai disegnare a un agente IA le funzioni di appartenenza a partire dalle risposte.

La vedi diversamente? Scrivi a support@coden-app.com.