Panoramica delle distribuzioni di probabilità: Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale ed esponenziale

Le sei distribuzioni più importanti con definizioni, valori attesi e varianze — la macchina di Galton, il teorema limite di Poisson, la regola 68–95–99,7 e quando usare ciascuna distribuzione.

14 minuti Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Basi di IA Parte 17 di 52

1. Mappa dell’intelligenza artificiale: che cos’è ciascuna cosa e come si incastra tutto
2. Breve storia dell’intelligenza artificiale: da Turing ai modelli linguistici
3. Dati, modello, addestramento, inferenza: i concetti di base su un unico esempio
4. Come leggere la notazione matematica: simboli, indici, sommatorie e quantificatori
5. Insiemi e relazioni: i mattoncini con cui si costruiscono le definizioni nell’IA
6. Funzioni e applicazioni: perché ogni modello di IA è una funzione
7. Logica e dimostrazioni: le regole con cui si ragiona nell’IA
8. Grafi e alberi: la struttura su cui poggiano la ricerca e le reti neurali
9. Algebra lineare per l’apprendimento automatico: vettori, matrici e perché l’IA soprattutto moltiplica
10. Derivate, gradiente e regola della catena: come un modello capisce in quale direzione imparare
11. Discesa del gradiente: come impara un modello
12. Che cos’è la probabilità: dal lancio di un dado agli assiomi di Kolmogorov
13. Probabilità condizionata e teorema di Bayes: come cambiare una stima quando scopri qualcosa di nuovo
14. Variabile aleatoria e funzione di ripartizione: una sola funzione che dice tutto sulla distribuzione
15. Funzione di densità e funzione di massa: perché una variabile continua ha probabilità zero in un punto
16. Valore atteso, varianza e covarianza: dove si trova una distribuzione, quanto è larga e che cosa è legato a che cosa
17. Panoramica delle distribuzioni di probabilità: Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, normale ed esponenziale
18. Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale: perché le medie si comportano in modo così prevedibile
19. Statistica e stima dei parametri: massima verosimiglianza, MAP e intervalli di confidenza
20. Teoria dell’informazione: entropia, entropia incrociata e divergenza KL — da dove vengono le funzioni di perdita
21. Ricerca nello spazio degli stati: BFS, DFS, UCS e A* con animazioni
22. Giochi e avversari: minimax, potatura alfa-beta e Monte Carlo tree search
23. Soddisfacimento di vincoli: backtracking, propagazione dei vincoli e AC-3 su un sudoku e una mappa delle regioni ceche
24. Logica e sistemi basati sulla conoscenza: concatenazione in avanti e all’indietro, risoluzione e sistemi esperti
25. Pianificazione: STRIPS, il mondo dei blocchi, euristiche dal rilassamento e pianificazione negli agenti IA
26. Ricerca locale e ricottura simulata: un commesso viaggiatore tra i capoluoghi di regione cechi
27. Algoritmi genetici: popolazione, incrocio, mutazione e selezione su uno zaino per l’escursione
28. Strategie evolutive e programmazione genetica: dalla regola di un quinto alla legge di Keplero
29. Ottimizzazione con colonie di formiche: come una traccia di feromone trova un percorso breve
30. Ottimizzazione a sciame di particelle: inerzia, esperienza propria ed esperienza dello sciame
31. Neuroevoluzione: evoluzione dei pesi e della forma delle reti neurali e l’algoritmo NEAT
32. Insiemi fuzzy e funzioni di appartenenza: come scrivere «un po’ caldo»
33. Logica fuzzy e probabilità: perché «un po’ caldo» non significa «probabilmente caldo»
34. Logica fuzzy: t-norme, implicazioni e regole SE–ALLORA
35. Controllo fuzzy: Mamdani e Sugeno, dal ventilatore al pendolo inverso su un carrello
36. Clustering fuzzy: l’algoritmo fuzzy c-means e i punti tra i cluster
37. Sistemi neuro-fuzzy (ANFIS): regole fuzzy che imparano dai dati
38. Catene di Markov: matrice di transizione, distribuzione stazionaria e PageRank
39. Modelli di Markov nascosti: l’algoritmo di Viterbi e il casinò disonesto
40. Reti bayesiane: perché l’erba è bagnata e che cosa significa per l’irrigatore
41. Filtro di Kalman: come stimare da misure imprecise dove si trova un’auto e a che velocità va
42. Tipi di apprendimento automatico: supervisionato, non supervisionato, semi-supervisionato e altri
43. Prompt, contesto e RAG: come dare a un modello le informazioni giuste
44. Autoencoder variazionali (VAE): immagini nuove da uno spazio latente continuo
45. Reti generative avversarie (GAN): il falsario contro il detective
46. Modelli di diffusione: come il rumore puro diventa un’immagine
47. Processi decisionali di Markov: stati, azioni, ricompense ed equazioni di Bellman
48. Q-learning e DQN: imparare il valore delle azioni, dalla tabella alla rete neurale
49. Policy gradient e PPO: imparare direttamente la politica
50. Come funziona un agente IA: un modello linguistico in un ciclo con strumenti
51. Programmare con agenti IA: incarico, test e controllo
52. Valutazione e sicurezza dei sistemi di IA: come misurare e come sorvegliare

Programma completo della serie 52 di 83 argomenti pubblicati

Una distribuzione puoi inventartela da zero ogni volta — ma non è necessario. Nella pratica poche situazioni si ripetono di continuo: sì o no, un numero di successi, un numero di eventi all’ora, un’attesa, una misura affetta da errore. Per ognuna esiste una distribuzione già pronta, con un paio di parametri e con valore atteso e varianza già calcolati. Questa parte passa in rassegna le sei più importanti — e soprattutto quando usare ciascuna.

Riprende le parti Funzione di densità e Valore atteso e varianza.

1. Distribuzione di Bernoulli

Definizione — distribuzione di Bernoulli

Una variabile X ha distribuzione di Bernoulli di parametro p ∈ [0, 1], e si scrive X ~ Be(p), se

P(X = 1) = p,   P(X = 0) = 1 − p.

Il valore atteso è p e la varianza p(1 − p) — massima per p = 0,5, quando il risultato è meno prevedibile.

2. Distribuzione binomiale

Definizione — distribuzione binomiale

Una variabile X ha distribuzione binomiale di parametri n ∈ ℕ e p ∈ [0, 1], X ~ B(n, p), se

P(X = k) = (n su k) · p^k · (1 − p)^n−k,   k = 0, 1, …, n,

dove (n su k) = n! / (k! (n − k)!) è il coefficiente binomiale.

Una variabile binomiale è la somma di n variabili di Bernoulli indipendenti, quindi per linearità il valore atteso è np e la varianza np(1 − p). Lo si vede bene nella macchina di Galton: su ciascuno dei dieci chiodi la pallina rimbalza a sinistra o a destra, ogni rimbalzo è una prova di Bernoulli e la casella in cui cade è il numero di rimbalzi verso destra — B(10; 0,5).

Le palline si accumulano al centro formando una campana — e quella forma non è un caso. Come vedremo con la distribuzione normale e nella prossima parte, la somma di molti piccoli effetti casuali dà sempre una campana.

3. Distribuzione di Poisson

Definizione — distribuzione di Poisson

Una variabile X ha distribuzione di Poisson di parametro λ > 0, X ~ Po(λ), se

P(X = k) = e^−λ · λ^k / k!,   k = 0, 1, 2, …

Una particolarità della distribuzione di Poisson: valore atteso e varianza sono entrambi uguali a λ.

Teorema — teorema limite di Poisson

Per λ > 0 fissato e per ogni k vale lim_n→∞ P(B(n, λ/n) = k) = e^−λ λ^k / k!.

4. Distribuzione uniforme

Definizione — distribuzione uniforme continua

Una variabile X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [a, b], X ~ U(a, b), se ha densità

f(x) = 1 / (b − a) per a ≤ x ≤ b, altrimenti 0.

Il valore atteso è il punto medio dell’intervallo, (a + b) / 2, la varianza (b − a)² / 12. Per l’autobus aspetti quindi in media 5 minuti, con una deviazione standard di √(100/12) ≈ 2,89 minuti.

5. Distribuzione normale

Definizione — distribuzione normale

Una variabile X ha distribuzione normale (o gaussiana) con valore atteso μ e varianza σ² > 0, X ~ N(μ, σ²), se ha densità

f(x) = 1 / (σ√(2π)) · e^{−(x − μ)² / (2σ²)},   x ∈ ℝ.

Definizione — distribuzione normale standard

N(0, 1) si chiama distribuzione normale standard. Se X ~ N(μ, σ²), allora Z = (X − μ) / σ ~ N(0, 1).

Per la distribuzione normale vale la regola 68–95–99,7: entro σ dalla media cade il 68,27 % dei valori, entro 2σ il 95,45 % ed entro 3σ il 99,73 %. Se l’altezza degli uomini adulti ha media 175 cm e σ = 7 cm, il 95 % di loro è alto tra 161 e 189 cm. La disuguaglianza di Čebyšëv della parte precedente garantiva per 2σ solo il 75 % — la distribuzione normale è molto più «raccolta».

La densità della distribuzione normale non ha una primitiva esprimibile con una formula, quindi le percentuali qui sopra si calcolano numericamente — qui con il metodo di Simpson, cioè sommando striscioline molto sottili.

6. Distribuzione esponenziale

Definizione — distribuzione esponenziale

Una variabile X ha distribuzione esponenziale di parametro λ > 0, X ~ Exp(λ), se ha densità

f(x) = λ e^−λx per x ≥ 0, altrimenti 0.

La distribuzione esponenziale e quella di Poisson descrivono lo stesso processo da due lati. Che in 4 minuti non arrivi nessuna e-mail, secondo Poisson ha probabilità e⁻² ≈ 0,135 — e secondo la distribuzione esponenziale P(X > 4) = e^{−0,5 · 4}, lo stesso numero.

Teorema — assenza di memoria della distribuzione esponenziale

Per X ~ Exp(λ) e s, t ≥ 0 vale P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

7. Promemoria: quale distribuzione e quando

8. Le distribuzioni nell’intelligenza artificiale

• Bernoulli e classificazione binaria. La regressione logistica e una rete con una sola uscita predicono il parametro p di una distribuzione di Bernoulli — «con quale probabilità è spam». La funzione di perdita (l’entropia incrociata binaria) è il logaritmo della sua probabilità cambiato di segno.
• La distribuzione categorica è una Bernoulli con più di due possibilità. Il softmax alla fine di un modello linguistico restituisce proprio i suoi parametri — la probabilità di ogni parola del vocabolario.
• La distribuzione normale è ovunque: i pesi iniziali delle reti si estraggono da N(0, σ²), l’errore quadratico medio corrisponde all’ipotesi di rumore normale e i modelli di diffusione generano immagini togliendo gradualmente il rumore a partire da un N(0, 1) puro.
• Il dropout durante l’addestramento spegne ogni neurone con una probabilità di Bernoulli; la distribuzione uniforme è la fonte di tutti i numeri casuali.
• Poisson ed esponenziale modellano il traffico: quante richieste arrivano a un server, quando arriverà la prossima, quante GPU servono.

9. Riepilogo

• La Bernoulli è una sola prova sì/no, la binomiale il numero di successi su n prove indipendenti.
• La Poisson conta gli eventi in un intervallo di tempo ed è il limite della binomiale con molte prove a bassa probabilità.
• L’uniforme dà la stessa densità a tutto l’intervallo; l’esponenziale misura un’attesa e non ha memoria.
• La normale è una campana determinata da μ e σ; entro ±σ, ±2σ e ±3σ cadono il 68,27 %, il 95,45 % e il 99,73 % dei valori.
• Scegliere una distribuzione significa scegliere un modello: ciò che descrive i dati determina anche la funzione di perdita del modello.

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