Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov

Experimento aleatorio, espacio muestral, sucesos y operaciones con ellos, probabilidad clásica y frecuencial y los axiomas sobre los que se apoya todo lo demás, con el ejemplo de dos dados.

12 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 12 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Un modelo de lenguaje no elige la siguiente palabra, sino las probabilidades de todas las palabras. Un clasificador no dice «es un gato», sino «con probabilidad 0,93 es un gato». Todo el aprendizaje automático se basa en calcular con incertidumbre, y la probabilidad es el lenguaje en el que se habla de la incertidumbre con precisión.

En la escuela la probabilidad se suele definir como «casos favorables entre casos posibles». Es un buen comienzo, pero no basta. En esta parte iremos del experimento aleatorio, pasando por los sucesos, hasta la definición precisa sobre la que se apoya todo lo demás. Todos los ejemplos son con dos dados. Te ayudará conocer la parte sobre conjuntos, porque los sucesos son conjuntos.

1. Experimento aleatorio y espacio muestral

Definición — experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es un proceso cuyo resultado no conocemos de antemano, aunque sabemos qué resultados puede tener, y que se puede repetir (al menos mentalmente) tantas veces como se quiera en las mismas condiciones.

Definición — espacio muestral

El espacio muestral Ω es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A sus elementos ω ∈ Ω los llamamos resultados elementales.

2. Sucesos

Definición — suceso

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral, A ⊆ Ω. Decimos que el suceso A ha ocurrido cuando el resultado del experimento es un elemento de A.

Definición — suceso seguro y suceso imposible

El suceso seguro es todo el espacio Ω: ocurre siempre. El suceso imposible es el conjunto vacío ∅: no ocurre nunca.

En la cuadrícula están los 36 resultados de dos dados; la fila es el primer dado, la columna el segundo y el número de la casilla es la suma. Hay dos sucesos coloreados: A = «la suma es 7» y B = «al menos en un dado ha salido un seis»:

El suceso A tiene 6 resultados y el suceso B, 11. Dos resultados, (1, 6) y (6, 1), pertenecen a ambos: en la cuadrícula son morados.

3. Operaciones con sucesos

Como los sucesos son conjuntos, se combinan con las mismas operaciones que los conjuntos. Pero cada operación tiene además un significado natural en palabras:

Definición — unión de sucesos

La unión A ∪ B es el suceso «ocurre A o B (o ambos)».

Definición — intersección de sucesos

La intersección A ∩ B es el suceso «ocurren A y B a la vez».

Definición — suceso contrario

El suceso contrario A^c = Ω ∖ A es el suceso «A no ocurre».

Definición — sucesos incompatibles

Los sucesos A y B son incompatibles (mutuamente excluyentes) cuando no pueden ocurrir a la vez: A ∩ B = ∅.

4. Probabilidad clásica

Definición — probabilidad clásica (Laplace)

Si Ω es finito y todos los resultados elementales son igualmente probables, entonces P(A) = |A| / |Ω|.

La trampa está en las palabras «igualmente probables». Con dos dados, las sumas no son igualmente probables: la suma 2 solo sale como (1, 1), la suma 7 de seis maneras. Por eso contamos pares, no sumas. Y en muchísimos sucesos reales no hay resultados igualmente probables en absoluto: ¿qué probabilidad hay de que llueva mañana, o de que un correo sea spam? Ahí la definición clásica no sirve.

5. La probabilidad como frecuencia a largo plazo

Definición — frecuencia relativa

Si repetimos el experimento n veces y el suceso A ocurre n_A veces, su frecuencia relativa es n_A / n.

Con pocos intentos, la frecuencia relativa salta de un lado a otro. Pero a medida que aumentan los intentos, se estabiliza. Aquí tienes cuatro simulaciones independientes de lanzamientos de moneda:

La primera simulación tenía, tras 10 lanzamientos, un 70 % de caras; tras 100, un 40 %; tras 1000, un 49,4 %, y tras 10 000, un 49,92 %. La probabilidad puede entenderse como el número al que se acerca la frecuencia relativa: justo eso lo formulará más adelante la ley de los grandes números. Así se estiman las probabilidades a partir de datos reales: cuántos correos con una palabra dada eran spam, cuántas veces después de la palabra «buenos» venía «días».

6. Axiomas de Kolmogórov

La definición clásica necesita resultados igualmente probables; la frecuencial, infinitos intentos. Andréi Kolmogórov definió en 1933 la probabilidad de otra manera: no dice cómo calcularla, solo qué reglas debe cumplir. Cada uno de los enfoques anteriores es entonces solo una de las formas de cumplir esas reglas.

Definición — probabilidad (axiomas de Kolmogórov)

Una probabilidad es una función P que asigna a cada suceso A un número P(A) y cumple tres axiomas:

• no negatividad: P(A) ≥ 0 para todo suceso A,
• normalización: P(Ω) = 1,
• aditividad: para sucesos incompatibles dos a dos A₁, A₂, … se cumple P(A₁ ∪ A₂ ∪ …) = P(A₁) + P(A₂) + …

7. Reglas que se deducen de los axiomas

Teorema — probabilidad del suceso contrario

P(A^c) = 1 − P(A). En particular, P(∅) = 0 y 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Teorema — probabilidad de la unión

Para sucesos cualesquiera A, B se cumple P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

8. La probabilidad en la inteligencia artificial

• Los clasificadores devuelven probabilidades de las clases; el softmax de la parte sobre clasificación garantiza que sean no negativas y sumen 1, justo como piden los axiomas.
• Los modelos de lenguaje son distribuciones de probabilidad sobre la siguiente palabra. Al escribir texto, sortean a partir de ellas.
• La estimación a partir de datos es la frecuencia relativa: el modelo aprende las probabilidades que «salieron» en los datos de entrenamiento.
• Incertidumbre: un buen modelo sabe cuándo no está seguro. Las probabilidades 0,51 y 0,99 dan la misma clase, pero un grado de confianza completamente distinto.

La siguiente parte mostrará cómo cambiar la probabilidad cuando nos enteramos de algo nuevo: la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes.

9. Resumen

• Un experimento aleatorio tiene un espacio muestral Ω; un suceso es un subconjunto de Ω.
• Los sucesos se combinan como conjuntos: la unión es «o», la intersección «y a la vez», el suceso contrario «no».
• La probabilidad clásica es casos favorables entre casos posibles, solo para resultados igualmente probables.
• La frecuencia relativa se estabiliza al aumentar los intentos; la probabilidad es el número al que se acerca.
• Axiomas de Kolmogórov: no negatividad, P(Ω) = 1 y suma para sucesos incompatibles. De ellos se deducen la regla del complemento y la fórmula de la unión.

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