Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial

Las seis distribuciones más importantes con sus definiciones, esperanzas y varianzas: el tablero de Galton, el teorema límite de Poisson, la regla 68–95–99,7 y cuándo usar cada distribución.

14 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 17 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Puedes inventarte una distribución desde cero cada vez, pero no hace falta. En la práctica hay unas pocas situaciones que se repiten una y otra vez: sí o no, un número de éxitos, un número de sucesos por hora, una espera, una medición con error. Para cada una existe una distribución ya hecha, con un par de parámetros y con la esperanza y la varianza ya calculadas. Esta parte repasa las seis más importantes y, sobre todo, cuándo usar cada una.

Continúa las partes Función de densidad y Esperanza y varianza.

1. Distribución de Bernoulli

Definición — distribución de Bernoulli

Una variable X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p ∈ [0, 1], y se escribe X ~ Be(p), si

P(X = 1) = p,   P(X = 0) = 1 − p.

La esperanza es p y la varianza p(1 − p), máxima para p = 0,5, cuando el resultado es menos previsible.

2. Distribución binomial

Definición — distribución binomial

Una variable X sigue una distribución binomial de parámetros n ∈ ℕ y p ∈ [0, 1], X ~ B(n, p), si

P(X = k) = (n sobre k) · p^k · (1 − p)^n−k,   k = 0, 1, …, n,

donde (n sobre k) = n! / (k! (n − k)!) es el coeficiente binomial.

Una variable binomial es la suma de n variables de Bernoulli independientes, así que, por linealidad, su esperanza es np y su varianza np(1 − p). Se ve muy bien en el tablero de Galton: en cada uno de los diez clavos la bola rebota a la izquierda o a la derecha, cada rebote es un intento de Bernoulli y la casilla donde cae es el número de rebotes hacia la derecha: B(10; 0,5).

Las bolas se amontonan en el centro formando una campana, y esa forma no es casualidad. Como veremos con la distribución normal y en la próxima parte, la suma de muchas pequeñas influencias aleatorias siempre da una campana.

3. Distribución de Poisson

Definición — distribución de Poisson

Una variable X sigue una distribución de Poisson de parámetro λ > 0, X ~ Po(λ), si

P(X = k) = e^−λ · λ^k / k!,   k = 0, 1, 2, …

Una peculiaridad de la distribución de Poisson: la esperanza y la varianza valen las dos λ.

Teorema — teorema límite de Poisson

Para λ > 0 fijo y todo k se cumple lim_n→∞ P(B(n, λ/n) = k) = e^−λ λ^k / k!.

4. Distribución uniforme

Definición — distribución uniforme continua

Una variable X sigue una distribución uniforme en el intervalo [a, b], X ~ U(a, b), si tiene densidad

f(x) = 1 / (b − a) para a ≤ x ≤ b, y 0 en otro caso.

La esperanza es el punto medio del intervalo, (a + b) / 2, y la varianza (b − a)² / 12. Así que el autobús lo esperas de media 5 minutos, con una desviación típica de √(100/12) ≈ 2,89 minutos.

5. Distribución normal

Definición — distribución normal

Una variable X sigue una distribución normal (o gaussiana) con esperanza μ y varianza σ² > 0, X ~ N(μ, σ²), si tiene densidad

f(x) = 1 / (σ√(2π)) · e^{−(x − μ)² / (2σ²)},   x ∈ ℝ.

Definición — distribución normal estándar

N(0, 1) se llama distribución normal estándar. Si X ~ N(μ, σ²), entonces Z = (X − μ) / σ ~ N(0, 1).

Para la distribución normal se cumple la regla 68–95–99,7: a menos de σ de la media cae el 68,27 % de los valores, a menos de 2σ el 95,45 % y a menos de 3σ el 99,73 %. Si la estatura de los hombres adultos tiene media 175 cm y σ = 7 cm, el 95 % mide entre 161 y 189 cm. La desigualdad de Chebyshev de la parte anterior solo garantizaba un 75 % para 2σ: la distribución normal está mucho más «concentrada».

La densidad de la distribución normal no tiene una primitiva que se pueda escribir con una fórmula, así que los porcentajes de arriba se calculan numéricamente: aquí, con la regla de Simpson, es decir, sumando franjas muy estrechas.

6. Distribución exponencial

Definición — distribución exponencial

Una variable X sigue una distribución exponencial de parámetro λ > 0, X ~ Exp(λ), si tiene densidad

f(x) = λ e^−λx para x ≥ 0, y 0 en otro caso.

La distribución exponencial y la de Poisson describen el mismo proceso desde dos lados. Que en 4 minutos no llegue ningún correo tiene, según Poisson, probabilidad e⁻² ≈ 0,135; y según la exponencial, P(X > 4) = e^{−0,5 · 4}, el mismo número.

Teorema — falta de memoria de la distribución exponencial

Para X ~ Exp(λ) y s, t ≥ 0 se cumple P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

7. Chuleta: qué distribución usar y cuándo

8. Distribuciones en la inteligencia artificial

• Bernoulli y clasificación binaria. Tanto la regresión logística como una red con una sola salida predicen el parámetro p de una distribución de Bernoulli: «con qué probabilidad es spam». La función de pérdida (la entropía cruzada binaria) es el logaritmo de su probabilidad cambiado de signo.
• La distribución categórica es una Bernoulli con más de dos opciones. El softmax al final de un modelo de lenguaje devuelve justamente sus parámetros: la probabilidad de cada palabra del vocabulario.
• La distribución normal está en todas partes: los pesos iniciales de las redes se sortean de N(0, σ²), el error cuadrático medio equivale a suponer ruido normal y los modelos de difusión generan imágenes eliminando el ruido poco a poco a partir de un N(0, 1) puro.
• El dropout apaga durante el entrenamiento cada neurona con una probabilidad de Bernoulli; la distribución uniforme es la fuente de todos los números aleatorios.
• La de Poisson y la exponencial modelan el tráfico: cuántas peticiones llegan a un servidor, cuándo llegará la siguiente, cuántas GPU hacen falta.

9. Resumen

• La de Bernoulli es un solo intento sí/no; la binomial, el número de éxitos en n intentos independientes.
• La de Poisson cuenta sucesos en un tiempo y es el límite de la binomial con muchos intentos de probabilidad pequeña.
• La uniforme da la misma densidad a todo el intervalo; la exponencial mide esperas y no tiene memoria.
• La normal es una campana determinada por μ y σ; en ±σ, ±2σ y ±3σ están el 68,27 %, el 95,45 % y el 99,73 % de los valores.
• Elegir una distribución es elegir un modelo: lo que describe los datos determina también la función de pérdida del modelo.

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