Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica

Vectores, producto escalar y similitud coseno, matrices como transformaciones, determinante, la capa de una red neuronal como Wx + b y vectores propios — con figuras que calcula el código.

14 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 9 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Si desmontaras cualquier modelo de inteligencia artificial hasta el fondo, encontrarías sobre todo una operación: la multiplicación de matrices. Para el modelo, una imagen es una tabla de números, una palabra es una lista de números, una capa de una red neuronal es una matriz, y las tarjetas gráficas son tan importantes precisamente porque multiplican matrices más rápido que cualquier otra cosa. El álgebra lineal es el idioma en el que calcula la IA.

No vamos a recorrer todo el temario universitario. Veremos solo lo que necesitarás en las próximas partes — y para cada concepto mostraremos dónde aparece en la IA.

1. Vectores: una flecha y una lista de números

Definición — vector y operaciones con vectores

Un vector de ℝⁿ es una n-tupla ordenada de números reales u = (u₁, …, u_n); los números u_i son sus componentes.

La suma se calcula componente a componente: u + v = (u₁ + v₁, …, u_n + v_n). El producto por un escalar es cu = (cu₁, …, cu_n).

La expresión c₁v₁ + … + c_kv_k es una combinación lineal de los vectores v₁, …, v_k.

En la IA casi todo es un vector. Una imagen en blanco y negro de 28 × 28 píxeles es un vector de ℝ⁷⁸⁴. Una palabra en un modelo de lenguaje es un vector de cientos o miles de componentes — lo que se llama embedding (vector de representación). Y los parámetros de todo el modelo son un único vector gigante θ.

2. Producto escalar, longitud y similitud

Definición — producto escalar, norma, ángulo

Producto escalar u · v = ∑_i=1ⁿ u_iv_i (también u^⊤v).

Longitud (norma euclídea) ‖u‖ = √(u · u). Para el ángulo φ entre dos vectores se cumple cos φ = (u · v) / (‖u‖ ‖v‖); los vectores son perpendiculares cuando u · v = 0.

Para u = (3, 1) y v = (1, 2) es u · v = 3 · 1 + 1 · 2 = 5, ‖u‖ = √10 ≈ 3,16, ‖v‖ = √5 ≈ 2,24 y cos φ = 5 / √50 ≈ 0,71 — los vectores forman un ángulo de 45°.

El coseno del ángulo es famoso en la IA como similitud coseno. Imagina un embedding de juguete con tres componentes «animal, doméstico, tiene ruedas»: gato (0,9; 0,8; 0), perro (0,85; 0,9; 0,05), coche (0; 0,3; 0,95). La similitud entre gato y perro sale 0,995; entre gato y coche, solo 0,20. Así es exactamente como los buscadores encuentran documentos «parecidos» y los modelos de lenguaje palabras «parecidas» — solo que en cientos de dimensiones en lugar de tres.

3. Matrices y producto por un vector

Definición — matriz y producto de una matriz por un vector

Una matriz de tamaño m × n es una tabla de números reales con m filas y n columnas; A_ij es el elemento de la fila i y la columna j.

Para A ∈ ℝ^m×n y x ∈ ℝⁿ, Ax ∈ ℝ^m es el vector con componentes (Ax)_i = ∑_j A_ijx_j — el producto escalar de la fila i por x.

4. La matriz como transformación del espacio

La mejor manera de «ver» una matriz es fijarse en qué le hace al plano. Toda matriz 2 × 2 lleva una cuadrícula a otra cuadrícula — las rectas siguen siendo rectas y el origen se queda en su sitio. Por eso se habla de aplicación lineal. En gris está la cuadrícula original, en verde la transformada y en naranja la imagen del cuadrado unidad:

giro de 90°
[0 -1; 1 0] · área × 1

escalado 1,5×
[1,5 0; 0 1,5] · área × 2,25

cizalla
[1 1; 0 1] · área × 1

proyección sobre el eje x
[1 0; 0 0] · área × 0

Definición — determinante de una matriz 2 × 2

det [a b; c d] = ad − bc. Su valor absoluto es el factor de cambio del área: el cuadrado unidad se transforma en un paralelogramo de área |det A|.

5. Multiplicar matrices es componer

Definición — producto de matrices

Para A ∈ ℝ^m×k y B ∈ ℝ^k×n es (AB)_ij = ∑_l A_ilB_lj. Se cumple (AB)x = A(Bx): el producto de matrices es la composición de aplicaciones — primero B, luego A.

La multiplicación de matrices es asociativa, pero en general no es conmutativa: AB ≠ BA.

6. Una capa de red neuronal es una matriz

Ahora ya se puede decir con precisión qué hace una capa de una red neuronal:

La matriz W (pesos) y el vector b (sesgo) son los parámetros que aprende la red. Para W = [0,5 −1 2; 1 0 −0,5], la entrada x = (1, 2, 3) y b = (0, −1):

La capa ha convertido tres números en dos y ha puesto a cero el negativo. Una red profunda es una serie de pasos así, uno tras otro — y sin una función no lineal (ReLU, sigmoide) toda ella se reduciría a una única matriz, porque la composición de aplicaciones lineales vuelve a ser una aplicación lineal. Cuando la red procesa varias entradas a la vez (un lote, o batch), las junta en una matriz X y todo el lote se calcula con una sola multiplicación WX — que es justo la operación que las tarjetas gráficas hacen más rápido.

7. Matriz inversa y sistemas de ecuaciones

Definición — matriz inversa

Una matriz cuadrada A es invertible si existe A⁻¹ con A⁻¹A = AA⁻¹ = I (matriz identidad). Una matriz es invertible si y solo si det A ≠ 0.

Para 2 × 2: [a b; c d]⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [d −b; −c a]. El sistema Ax = y tiene entonces una única solución x = A⁻¹y.

Para A = [2 1; 1 3] es det A = 2 · 3 − 1 · 1 = 5 y A⁻¹ = [0,6 −0,2; −0,2 0,4]. A partir del resultado conocido (4, 7) recuperamos así la entrada (1, 2). Así se calcula también en forma cerrada la regresión lineal — el método de mínimos cuadrados lleva a las ecuaciones normales (X^⊤X)θ = X^⊤y.

8. Valores propios y vectores propios

Definición — valor propio y vector propio

Un vector no nulo v es un vector propio de la matriz A con valor propio λ si Av = λv.

Los valores propios son las raíces de la ecuación det(A − λI) = 0. Una matriz simétrica tiene valores propios reales y vectores propios perpendiculares entre sí.

Los valores propios de la matriz [2 1; 1 3] son (5 ± √5)/2, es decir, ≈ 3,62 y ≈ 1,38. La elipse está estirada 3,62× en la dirección del primer vector propio y 1,38× en la del segundo. Las flechas grises en una dirección cualquiera giran tras la transformación; los ejes naranjas, no. En esto se basa el análisis de componentes principales (PCA): los vectores propios de la matriz de covarianza de los datos indican las direcciones en las que los datos varían más, y los valores propios, cuánto.

9. El álgebra lineal en la inteligencia artificial

• Los datos son una matriz: cada fila es un ejemplo y cada columna, una característica.
• Los embeddings son vectores; la similitud se mide con el producto escalar o con el coseno.
• Una capa de la red es Wx + b más una no linealidad; el entrenamiento cambia los elementos de las matrices W.
• La atención en los transformers calcula los productos escalares de todas las consultas (queries) con todas las claves (keys) a la vez — la multiplicación de matrices QK^⊤.
• PCA y la compresión buscan vectores propios; los sistemas de recomendación descomponen la matriz «usuario × película» en un producto de matrices más pequeñas (factorización de matrices).

10. Resumen

• Un vector es una lista de números y también una flecha; se suma componente a componente.
• El producto escalar mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección — la similitud coseno es su versión normalizada.
• Una matriz es una transformación lineal del espacio; el determinante dice cuántas veces cambia el área, y cero significa que la transformación no se puede deshacer.
• Multiplicar matrices es componer transformaciones, y una capa de red neuronal es Wx + b con una no linealidad.
• Los vectores propios son las direcciones que la matriz solo estira — en ellos se basa PCA.

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