Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»

Aleatoriedad y vaguedad, las dos botellas de Bezdek, los axiomas de la probabilidad frente a la pertenencia difusa, las cotas de Fréchet, la probabilidad de un suceso difuso en una previsión del tiempo y las palabras sobre la probabilidad como conjuntos difusos.

12 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 33 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

«Mañana será un día algo cálido». «Mañana probablemente será un día cálido». Ambas frases contienen incertidumbre y ambas se pueden expresar con un número entre cero y uno. Aun así, dicen algo completamente distinto. La primera habla de cuánto se parecerá el tiempo a la palabra «cálido»; la segunda, de si ocurrirá algo que todavía no sabemos. Confundir estos dos tipos de incertidumbre dio lugar a una de las disputas más apasionadas de la historia de la inteligencia artificial, y todavía hoy es un error frecuente.

Continúa las partes Conjuntos difusos y funciones de pertenencia y Qué es la probabilidad.

1. Dos tipos de incertidumbre

Definición — aleatoriedad y vaguedad

La aleatoriedad (incertidumbre sobre el resultado) se refiere a un suceso que o bien ocurre o bien no; solo que no sabemos cuál de las dos cosas. La describe la probabilidad P(A) ∈ [0, 1] de un suceso nítido A.

La vaguedad (imprecisión de un concepto) se refiere a lo bien que un elemento conocido encaja en un concepto de límites difusos. La describe el grado de pertenencia μ_A(x) ∈ [0, 1] al conjunto difuso A.

2. Dos botellas

Un ejemplo de James Bezdek muestra muy bien la diferencia. Estás en el desierto y tienes sed. Delante de ti hay dos botellas. En la primera pone: «La pertenencia al conjunto de los líquidos potables es 0,91». En la segunda: «La probabilidad de que el líquido sea potable es 0,91». ¿De cuál bebes?

La primera botella contiene algo que es casi potable, por ejemplo agua un poco turbia. Seguro que no te hará mucho daño. En la segunda hay agua limpia con probabilidad 0,91, pero en nueve de cada cien casos algo completamente distinto, por ejemplo veneno. Al abrirlas, la diferencia se ve también en los números: la pertenencia de la primera botella sigue siendo 0,91, porque no averiguamos nada nuevo. La probabilidad de la segunda salta a 1 o a 0: el suceso aleatorio o bien ha ocurrido o bien no.

3. Qué dicen los axiomas

Recordatorio — los axiomas de Kolmogórov

La probabilidad es una función P sobre sucesos con P(A) ≥ 0, P(Ω) = 1 y aditividad: para sucesos incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). De ahí se sigue P(A) + P(¬A) = 1 y P(A ∩ ¬A) = 0.

Deducción. Los sucesos A y ¬A son incompatibles y juntos forman Ω, así que por la aditividad P(A) + P(¬A) = P(Ω) = 1. La intersección A ∩ ¬A es el suceso vacío ∅; es incompatible consigo mismo, así que P(∅) = P(∅ ∪ ∅) = 2 P(∅), y eso solo es posible para P(∅) = 0. ∎

Una función de pertenencia no tiene ningún presupuesto así. En la parte anterior, 25 °C era «agradable» en 0,6 y «cálido» en 0,5: en total 1,1, y está bien. La tabla resume las diferencias:

¿De dónde salen los 0,5 de la tabla? Aquí la «y» difusa es el mínimo, la «o» el máximo y el «no» el complemento 1 − μ, como en la parte sobre conjuntos difusos.

Teorema — «A y no A» y «A o no A» en los conjuntos difusos

Para todo a = μ_A(x) ∈ [0, 1] se cumple min(a, 1 − a) ≤ 0,5 ≤ max(a, 1 − a), con igualdad exactamente para a = 0,5.

Demostración. Los números a y 1 − a suman 1, así que el menor es como mucho la mitad de la suma y el mayor, al menos la mitad. Ambos valen 0,5 solo cuando son iguales entre sí, es decir, para a = 0,5. ∎

Ejemplo. A 25 °C, «cálido» vale 0,5. Entonces «cálido y no cálido» = min(0,5; 0,5) = 0,5 y «cálido o no cálido» = max(0,5; 0,5) = 0,5; el principio clásico de no contradicción pediría 0, y el del tercero excluido, 1. Con la probabilidad, «hará al menos 25 °C y no hará al menos 25 °C» tendría siempre probabilidad 0.

4. Combinar: quién necesita más información

La última fila de la tabla es quizá la más importante. La lógica difusa es veritativo-funcional: el valor de «A y B» se calcula solo a partir de los valores de A y B. Con la probabilidad no se puede.

Definición — funcionalidad veritativa

La conectiva «y» es veritativo-funcional si existe una función g : [0, 1]² → [0, 1] tal que para todos los enunciados A, B el valor de «A y B» es igual a g(valor de A, valor de B). En lógica difusa, g = min (u otra t-norma).

Ejemplo — por qué la probabilidad no es veritativo-funcional

Lanzamos un dado una vez. El suceso A = «sale par» = {2, 4, 6} tiene P(A) = 3/6 = 1/2. Tomemos tres sucesos B, todos con probabilidad 1/2:

• B = {2, 4, 6} (par): A ∩ B = {2, 4, 6}, P = 3/6 = 1/2,
• B = {4, 5, 6} (al menos 4): A ∩ B = {4, 6}, P = 2/6 = 1/3,
• B = {1, 3, 5} (impar): A ∩ B = ∅, P = 0.

Las entradas son siempre las mismas (1/2 y 1/2), y los resultados, tres distintos. Ninguna función g puede dar a partir de (1/2, 1/2) a la vez 1/2, 1/3 y 0.

Teorema — las cotas de Fréchet

Para sucesos cualesquiera A, B se cumple

max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))

y ambas cotas se pueden alcanzar. Sin conocer la relación entre A y B, P(A ∩ B) no se puede determinar con más precisión.

Demostración. Cota superior: A ∩ B ⊆ A, así que P(A ∩ B) ≤ P(A), e igualmente ≤ P(B). Cota inferior: de la fórmula de la unión P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) y de P(A ∪ B) ≤ 1 se sigue P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1; la no negatividad aporta el 0. La cota superior se da cuando un suceso está contenido entero en el otro (A ⊆ B); la inferior, cuando los sucesos se solapan lo menos posible: si no son incompatibles, juntos cubren todo Ω. ∎

max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))

P(A ∩ B)

la probabilidad de que ocurran ambos sucesos: lo que querríamos saber, pero no podemos obtener a partir de dos números

max(0, P(A) + P(B) − 1)

cota inferior: dos probabilidades que juntas suman más de 1 no caben en el total sin solaparse; el exceso sobre uno tiene que solaparse. El cero está ahí porque, cuando no hay exceso, el solapamiento puede faltar por completo

min(P(A), P(B))

cota superior: ambos sucesos a la vez no pueden ocurrir con más frecuencia que el más raro de los dos

Cada supuesto sobre la relación entre los sucesos da un número del intervalo, y a cada uno le corresponde una «y» difusa (t-norma) de la parte sobre lógica difusa:

De aquí se deriva una diferencia práctica. Un sistema difuso se calcula fácil y rápido, pero supone tácitamente una relación concreta entre los conceptos. Un modelo probabilístico tiene que especificar las relaciones de forma explícita, o aprenderlas de los datos, y a cambio obtiene resultados que cuadran con las frecuencias del mundo real.

5. Probabilidad de un suceso difuso

Sin embargo, las dos incertidumbres no se excluyen: a menudo aparecen juntas. «¿Cuál es la probabilidad de que mañana sea un día cálido?» contiene azar (qué temperatura habrá) y vaguedad (qué es «cálido»).

Definición — probabilidad de un suceso difuso (Zadeh, 1968)

Si X es una variable aleatoria con densidad f y A un conjunto difuso sobre sus valores, la probabilidad del suceso difuso A es

P(A) = E[μ_A(X)] = ∫ μ_A(x) f(x) dx.

Para un conjunto nítido es la probabilidad ordinaria. Si X toma solo un número finito de valores x_i con probabilidades p_i, la integral se convierte en una suma: P(A) = ∑_i μ_A(x_i) p_i.

P(A) = ∫ μ_A(x) · f(x) dx

P(A)

probabilidad del suceso difuso: un único número que lleva las dos incertidumbres a la vez

f(x)

densidad de la previsión — aleatoriedad: lo probable que es la temperatura x (en la figura, la curva gris)

μ_A(x)

pertenencia — vaguedad: cuánto es «cálida» la temperatura x; en lugar de un «cuenta / no cuenta» nítido, cada temperatura cuenta solo en su parte (en la figura, en ámbar)

∫ … dx

suma sobre todas las temperaturas: como en la probabilidad ordinaria, solo que no se suma la densidad entera, sino la densidad ponderada por la pertenencia; el resultado es el área rellena de la figura

La previsión dice que la temperatura de mañana sigue una distribución normal con media 24 °C y desviación típica 3 °C. «Cálido» es el triángulo (22, 28, 34) de la parte anterior:

Ejemplo — la integral como suma grado a grado

La densidad de la distribución normal con media m = 24 y desviación típica σ = 3 es f(x) = e^{−(x − m)² / (2σ²)} / (σ √(2π)). Para 25 °C: f(25) = e^−1/18 / (3 · 2,5066) = 0,9460 · 0,1330 = 0,1258. La pertenencia al triángulo (22, 28, 34) en el lado creciente es (x − 22) / (28 − 22), es decir, μ(25) = 3/6 = 0,5. Así que la temperatura de 25 °C aporta 0,5 · 0,1258 = 0,0629 por grado.

Fuera del intervalo (22, 34), μ = 0, así que basta con sumar las aportaciones de los grados enteros de 23 a 33 (cada una por una anchura de 1 °C):

x (°C)	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
μ(x)	0,17	0,33	0,50	0,67	0,83	1,00	0,83	0,67	0,50	0,33	0,17
f(x)	0,126	0,133	0,126	0,106	0,081	0,055	0,033	0,018	0,009	0,004	0,001
μ · f	0,021	0,044	0,063	0,071	0,067	0,055	0,028	0,012	0,004	0,001	0,000

La suma de la última fila es 0,367: incluso con un paso tan grueso, lo mismo que la integral exacta. Las mayores aportaciones no vienen de los días más cálidos (28 °C es «cálido» del todo, pero poco probable) ni de los más probables (24 °C es «cálido» solo en un tercio), sino de 25–28 °C, donde ambos números son razonablemente grandes.

La probabilidad del suceso difuso «será un día cálido» sale 0,367, casi lo mismo que la probabilidad del suceso nítido «hará al menos 25 °C» (0,369). Es una casualidad de esta previsión. Cuando desplazamos la previsión, se separan:

Con una previsión fría, el suceso difuso da más, porque cuenta también los días «algo cálidos» por debajo de 25 °C. Con una previsión de 28 °C, en cambio, bastante menos: el suceso nítido «al menos 25 °C» incluye con seguridad también 33 °C, pero según nuestra variable lingüística eso ya no es «cálido», sino «caluroso». El suceso difuso se atiene a lo que la palabra significa de verdad.

6. Palabras sobre la probabilidad

En un artículo de 1964, Sherman Kent, analista de la CIA, describió cómo los informes de inteligencia están llenos de palabras como «probablemente» o «casi con certeza», y cómo cada lector se imagina detrás un número distinto. Propuso una tabla: «casi con certeza» en torno al 93 %, «probablemente» en torno al 75 %, «más o menos a medias» en torno al 50 %, «probablemente no» en torno al 30 % y «casi seguro que no» en torno al 7 %, siempre con un margen. Aquí las dos incertidumbres se encuentran a la perfección: las palabras sobre la probabilidad son conjuntos difusos sobre probabilidades.

Ejemplo — qué palabra encaja con una probabilidad dada

Las palabras son triángulos alrededor de los valores de Kent: «probablemente» es (0,6; 0,75; 0,9), «probablemente no» (0,18; 0,3; 0,42), «más o menos a medias» (0,38; 0,5; 0,62). La anchura de los triángulos es una elección nuestra para ilustrar, no la tabla de Kent. En el lado decreciente del triángulo (a, b, c), μ(p) = (c − p) / (c − b); en el creciente, (p − a) / (b − a).

• p = 0,8: μ_{probablemente} = (0,9 − 0,8) / (0,9 − 0,75) = 0,1 / 0,15 = 0,67; las demás palabras valen cero en 0,8.
• p = 0,37: μ_{probablemente no} = (0,42 − 0,37) / (0,42 − 0,3) = 0,05 / 0,12 = 0,42; «más o menos a medias» no empieza hasta 0,38, así que vale 0,00.

La que mejor encaja es la palabra con mayor pertenencia: palabra(p) = argmax_s μ_s(p).

Una probabilidad de 0,8 es «probablemente» en dos tercios; el 0,37 de nuestra previsión lo describe mejor «probablemente no». De forma parecida trabaja hoy, por ejemplo, el Grupo Intergubernamental de Expertos sobre el Cambio Climático (IPCC): «likely» significa 66–100 % y «very likely» 90–100 %, para que las palabras de sus informes no se presten a otra interpretación.

7. La disputa sobre la incertidumbre

En los años ochenta estalló una disputa que resumen bien dos voces. El estadístico Dennis Lindley sostenía que la única descripción razonable de la incertidumbre es la probabilidad, y que todo lo que hace la lógica difusa lo hace mejor la probabilidad. Bart Kosko, por el contrario, argumentaba que la probabilidad es solo un caso particular de la imprecisión. Ambos tenían parte de razón. Para tomar decisiones bajo incertidumbre, aprender de los datos y apostar, la probabilidad tiene un sólido respaldo teórico: con quien apuesta según números distintos de las probabilidades se puede cerrar una serie de apuestas en las que pierde con seguridad. Para trabajar con palabras vagas, reglas escritas a mano y control sencillo, los conjuntos difusos son más naturales y comprensibles. Hoy ambas teorías se usan una al lado de la otra, cada una para lo que le va bien.

Ejemplo — apuestas en las que se pierde con seguridad

El argumento lo formuló Bruno de Finetti (1931; independientemente de él, Frank Ramsey en 1926); aquí, en forma simplificada. Quien atribuye a un suceso A un «grado de creencia» q(A) está dispuesto a comprar por q(A) euros una apuesta que paga 1 euro si A ocurre.

Un apostador cree en 0,6 que mañana lloverá, y en 0,6 también que no lloverá: en total 1,2, en contradicción con P(A) + P(¬A) = 1. Le vendemos las dos apuestas:

• paga 0,6 + 0,6 = 1,20 €,
• haga el tiempo que haga, ocurre exactamente uno de los sucesos, así que recupera exactamente 1 €,
• pierde 1,2 − 1 = 0,20 € con seguridad, sea cual sea el tiempo.

Si los números sumaran menos de 1 (por ejemplo 0,4 + 0,4), le compraríamos nosotros las apuestas por 0,8 y le pagaríamos 1: vuelve a perder 0,2. Solo una suma de exactamente 1 es segura. De forma parecida se puede demostrar que protegerse de una pérdida segura exige todos los axiomas de Kolmogórov (para un número finito de sucesos). Las pertenencias difusas no suman 1, y eso no es un fallo, porque no son apuestas sobre lo que va a ocurrir.

8. Las dos incertidumbres en la inteligencia artificial

• El aprendizaje automático es mayoritariamente probabilístico. Los clasificadores y los modelos de lenguaje devuelven distribuciones de probabilidad; aprenden maximizando la verosimilitud, como mostraron las partes sobre estadística y teoría de la información.
• Calibración. Cuando un modelo afirma un 90 %, debería acertar en nueve de cada diez casos. La calibración es una propiedad puramente probabilística y se puede medir.
• Certeza con palabras. Los modelos de lenguaje expresan a menudo su certeza con palabras: «probablemente», «lo más seguro», «quizá». Aquí ayuda el razonamiento de Kent: una palabra es un conjunto difuso sobre probabilidades y, si la certeza verbal ha de ser útil, tiene que corresponder a los números que hay detrás.
• Las reglas difusas se siguen usando donde hace falta un control manual y legible sin muchos datos: desde lavadoras hasta el control de procesos de producción.

9. Resumen

• La probabilidad describe la aleatoriedad (si un suceso ocurre); la pertenencia difusa describe la vaguedad (cuánto encaja un elemento en un concepto).
• Tras la observación, la probabilidad pasa a ser 0 o 1, mientras que la pertenencia sigue igual (las botellas de Bezdek).
• Las probabilidades suman uno y P(A ∩ ¬A) = 0; las pertenencias, no.
• La lógica difusa es veritativo-funcional; con la probabilidad, P(A ∩ B) solo se sitúa entre las cotas de Fréchet, y el mínimo difuso es la superior.
• Las dos incertidumbres se pueden combinar: la probabilidad del suceso difuso «será un día cálido» es la esperanza de la pertenencia; las palabras sobre la probabilidad son conjuntos difusos sobre probabilidades.

¿Quieres probarlo tú mismo? Pregunta a unas cuantas personas qué porcentaje se imaginan con «probablemente» y «lo más seguro es que no», y pide a un agente de IA que dibuje con sus respuestas las funciones de pertenencia.

¿Lo ves de otra manera? Escribe a support@coden-app.com.