Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible

Media muestral, ley de los grandes números y teorema central del límite con animaciones: por qué la distribución normal está en todas partes, de dónde sale el error de ±3 % de las encuestas y por qué una estimación el doble de precisa cuesta cuatro veces más datos.

13 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 18 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Una sola tirada de dado es puro azar. Pero la media de diez mil tiradas es casi con seguridad 3,5, y con una precisión que podemos calcular de antemano. Esta parte trata de dos teoremas que convierten el caos de los intentos individuales en previsibilidad: la ley de los grandes números dice hacia dónde se acerca la media, y el teorema central del límite, cómo oscila alrededor de ese objetivo. En ellos se apoyan las encuestas de opinión, el control de calidad, los tests A/B y el entrenamiento de redes neuronales.

Continúa las partes Esperanza y varianza y Resumen de las distribuciones.

1. Media muestral

Definición — variables independientes e idénticamente distribuidas

Las variables X₁, X₂, … son independientes e idénticamente distribuidas (abreviado i.i.d.) si son independientes entre sí y todas tienen la misma distribución.

Definición — media muestral

Para X₁, …, X_n, la media muestral es X̄_n = (X₁ + … + X_n) / n.

Teorema — esperanza y varianza de la media

Si las X_i i.i.d. tienen esperanza μ y varianza σ², entonces

E[X̄_n] = μ,   Var(X̄_n) = σ² / n,   desviación típica σ / √n.

2. Ley de los grandes números

Teorema — ley (débil) de los grandes números

Si las X_i i.i.d. tienen esperanza μ y varianza finita, entonces para todo ε > 0

lim_n→∞ P(|X̄_n − μ| ≥ ε) = 0.

La demostración cabe en una línea: por la desigualdad de Chebyshev, P(|X̄_n − μ| ≥ ε) ≤ σ² / (nε²), y eso tiende a cero cuando n crece. Para un dado, una tolerancia de 0,1 y 10 000 tiradas, la cota sale 2,917 / 100 ≈ 0,029.

Tras diez tiradas, las medias de las cuatro series están entre 3,4 y 4,1; tras 10 000 tiradas, entre 3,496 y 3,502. El embudo μ ± 2σ/√n se estrecha exactamente como dice el teorema sobre la varianza de la media, y las curvas solo se salen de él excepcionalmente. Por qué precisamente 2σ y por qué «solo excepcionalmente» lo dirá el siguiente teorema.

La ley de los grandes números no dice que el azar «se compense». Si una moneda sale cara cinco veces seguidas, a la cruz no «le toca»: la moneda no tiene memoria. La media no se acerca a 0,5 porque el exceso de caras se vaya restando, sino porque los miles de lanzamientos siguientes lo diluyen.

3. Convergencia en distribución

Definición — convergencia en distribución

Una sucesión de variables Y₁, Y₂, … converge en distribución a una variable Y si lim_n→∞ F_Yn(x) = F_Y(x) en todo punto x en el que F_Y sea continua.

4. Teorema central del límite

Teorema — teorema central del límite

Si las X_i i.i.d. tienen esperanza μ y varianza 0 < σ² < ∞, entonces

(X̄_n − μ) / (σ / √n) converge en distribución a N(0, 1).

La distribución de un solo dado es plana: ni rastro de campana. La media de dos dados es un triángulo, la de cinco ya recuerda a una campana y la de treinta apenas se distingue de una normal. Las barras son la distribución exacta, calculada enumerando todas las posibilidades; en discontinua, la aproximación normal:

Funciona incluso con distribuciones muy asimétricas, como la espera de un correo, que sigue una distribución exponencial. Una sola espera es muy asimétrica (asimetría 2), la media de cinco esperas lo es menos y la de treinta ya es casi simétrica (asimetría 0,37):

Una pregunta concreta muestra lo buena que es la aproximación: ¿con qué probabilidad la media de 30 tiradas de dado será mayor que 4? El cálculo exacto con todas las posibilidades da 0,0488. El teorema central del límite dice: 4 está (4 − 3,5) / (1,708/√30) ≈ 1,60 desviaciones típicas por encima de la media, así que P ≈ 1 − Φ(1,60) ≈ 0,0544. Sin una sola suma sobre 6³⁰ posibilidades y con un error de menos de seis milésimas.

5. Para qué sirve: el error de estimación

El teorema central del límite dice que una estimación mediante la media queda, en el 95 % de los casos, a menos de 1,96 σ/√n del valor real. De ahí sale la fórmula más usada de la estadística:

• Una encuesta de opinión con 1 000 encuestados y un apoyo de alrededor del 50 % tiene un error de 1,96 · √(0,25 / 1 000) ≈ ±3,1 puntos porcentuales. Por eso las encuestas preguntan a unas mil personas: para reducir el error a la mitad necesitarían cuatro mil.
• La precisión de un modelo medida en 1 000 ejemplos de prueba como un 90 % es en realidad un 90 % ± 1,9 puntos porcentuales. Por tanto, un modelo con un 91 % en un conjunto del mismo tamaño todavía no tiene por qué ser mejor.

De dónde saca la estadística σ cuando no lo conoce y qué significa exactamente ese intervalo es el tema de la próxima parte, sobre estadística y estimación.

6. Cuándo no se cumplen los teoremas

• Varianza infinita o ninguna esperanza. La distribución de Cauchy tiene colas tan pesadas que ni siquiera tiene esperanza, y la media de n variables de Cauchy tiene exactamente la misma distribución que una sola. Más datos no ayudan en absoluto. Igual de salvajes suelen ser el tamaño de las ciudades, las fortunas o los desplomes de la bolsa.
• Datos dependientes. Mil respuestas de gente de una misma calle o mil fotogramas del mismo vídeo no son mil observaciones independientes, y σ/√n subestima mucho el error.
• Pocos datos y una distribución asimétrica. El teorema es un resultado límite: con la espera exponencial, tras cinco observaciones la distribución de la media sigue siendo claramente asimétrica.

7. Los teoremas límite en la inteligencia artificial

• Descenso de gradiente estocástico. El gradiente calculado con un lote (minibatch) de B ejemplos es una media muestral. Apunta igual que el gradiente con todos los datos (ley de los grandes números), pero oscila con una desviación típica ∝ 1/√B. Un lote cuatro veces mayor solo reduce el ruido a la mitad; por eso no compensa agrandar los lotes indefinidamente.
• Métodos de Monte Carlo. Cuando algo no se puede calcular con exactitud —la recompensa esperada en el aprendizaje por refuerzo, una integral en alta dimensión—, se promedian muchas muestras aleatorias. La ley de los grandes números garantiza el resultado correcto y el teorema central del límite dice con qué precisión.
• La evaluación de modelos y los tests A/B se basan en el error 1,96 σ/√n: sin él no sabrás si el modelo nuevo es realmente mejor o si solo ha tenido suerte.
• Inicialización de redes. La entrada de una neurona es una suma de muchos pesos por activaciones, así que, por el teorema central del límite, tiene aproximadamente una distribución normal. En eso se basan los esquemas de inicialización de Xavier y de He, que eligen la varianza de los pesos para que la señal ni se amplifique ni se apague al atravesar la red.

8. Resumen

• La media muestral es una variable aleatoria con esperanza μ y desviación típica σ/√n.
• Ley de los grandes números: al crecer n, la media se acerca casi con seguridad a μ.
• Teorema central del límite: la media de muchas variables independientes tiene aproximadamente una distribución normal, sea cual sea la distribución de cada variable.
• El error de una estimación mediante la media es de unos ±1,96 σ/√n; una estimación el doble de precisa cuesta cuatro veces más datos.
• Sin varianza finita o sin independencia, los teoremas no se cumplen.

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