Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA

Proposiciones, conectivas y tablas de verdad, la trampa de la implicación, cuantificadores y tipos de demostraciones — y por qué XOR frenó las primeras redes neuronales.

14 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 7 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Cada definición de esta serie es una proposición lógica y cada «por tanto» que la sigue es un trozo de demostración. La lógica son las reglas del juego: dice cuándo una afirmación es verdadera y cómo deducir correctamente otras a partir de afirmaciones verdaderas. Y en la inteligencia artificial aparece dos veces: como el lenguaje en el que se habla de los algoritmos y como una disciplina propia de la que nacieron los primeros programas «pensantes».

Los símbolos ¬, ∧, ∨, ⇒, ∀ y ∃ los vimos por primera vez en la parte sobre la notación matemática. Aquí veremos cómo funcionan exactamente, dónde se cometen más errores con ellos y cómo se construye con ellos una demostración.

1. Proposiciones y valores de verdad

Definición — proposición

Una proposición es una afirmación de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa. Su valor de verdad es 1 (verdadero) o 0 (falso).

A partir de proposiciones simples P, Q, … se forman, mediante conectivas lógicas, proposiciones compuestas. La verdad de una proposición compuesta depende solo de la verdad de sus partes.

2. Conectivas y tablas de verdad

Cómo funciona una conectiva se ve mejor con una tabla de verdad: una fila por cada combinación de valores de P y Q. Dos variables tienen 2 · 2 = 4 combinaciones; n variables, 2ⁿ.

• La negación ¬P invierte el valor.
• La conjunción P ∧ Q («y») es verdadera solo cuando lo son ambas partes.
• La disyunción P ∨ Q («o») es verdadera cuando lo es al menos una, también si lo son las dos.
• La implicación P ⇒ Q («si…, entonces») es falsa en un único caso: P es verdadera y Q no.
• La equivalencia P ⇔ Q es verdadera cuando ambas partes tienen el mismo valor.
• La disyunción exclusiva P ⊕ Q (XOR) es verdadera cuando lo es exactamente una de ellas.

3. La implicación: la trampa más frecuente

Definición — recíproca y contrarrecíproca

Para la implicación P ⇒ Q, la recíproca es Q ⇒ P y la contrarrecíproca (contraposición) es ¬Q ⇒ ¬P.

Teorema. Una implicación es equivalente a su contrarrecíproca, pero no a su recíproca.

La tabla lo muestra sin discusión: las columnas de la implicación y de la contrarrecíproca son iguales; la recíproca difiere en dos filas.

La segunda trampa son las filas con P = 0: cuando la premisa es falsa, la implicación es verdadera, sea Q lo que sea. «Si 7 es par, soy el papa» es una proposición verdadera. Suena raro, pero tiene sentido: la implicación solo promete algo sobre la situación en la que P es verdadera, y esa promesa no se puede romper cuando P es falsa.

4. Tautologías y proposiciones equivalentes

Definición — tautología, contradicción, equivalencia

Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para cualquier asignación de valores a las variables (p. ej., P ∨ ¬P). Una contradicción es siempre falsa (P ∧ ¬P).

Las proposiciones A y B son lógicamente equivalentes, A ≡ B, cuando A ⇔ B es una tautología: tienen la misma columna en la tabla de verdad.

Así se pueden comprobar las leyes de De Morgan de la parte sobre conjuntos: ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q. Las columnas son iguales:

Comprobar una tautología con una tabla es fiable, pero para n variables supone 2ⁿ filas. Con 300 variables hay más filas que átomos en el universo. La pregunta de si una proposición se puede satisfacer siquiera (el problema SAT) es uno de los problemas difíciles más famosos de la informática.

5. Por qué XOR frenó las primeras redes neuronales

Dibujemos las cuatro combinaciones de P y Q como puntos en el plano y coloreémoslos según el resultado. Tanto en «y» como en «o», los puntos verdes se pueden separar de los naranjas con una sola recta. En XOR no se puede: los puntos verdes están en una diagonal y los naranjas en la otra:

P ∧ Q

P ∨ Q

P ⊕ Q

El perceptrón, la red neuronal más sencilla, solo sabe separar puntos con una recta. En 1969, Minsky y Papert demostraron que por eso no puede con una función tan sencilla como XOR, y el interés por las redes neuronales decayó durante años. La solución es añadir una capa: XOR se puede componer a partir de funciones más sencillas, (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q), y una red de dos capas sí puede con ella. Aquí empieza la historia del aprendizaje profundo.

6. Predicados y cuantificadores

Definición — predicado y cuantificadores

Un predicado P(x) es una proposición con una variable: para cada x de un conjunto dado se convierte en una proposición («x es par»).

∀x ∈ M : P(x) es verdadera cuando P(x) se cumple para todos los x ∈ M. ∃x ∈ M : P(x) es verdadera cuando se cumple al menos para uno.

El orden de cuantificadores distintos importa: ∀x ∃y : P(x, y) en general no significa lo mismo que ∃y ∀x : P(x, y).

Las definiciones en IA están llenas de cuantificadores. La heurística admisible de la parte sobre la búsqueda es «∀n : h(n) ≤ h*(n)», y para refutarla basta un solo estado en el que la estimación se pase.

7. Qué es una demostración

Definición — demostración y modus ponens

Una demostración de una afirmación T es una sucesión finita de proposiciones que termina en T y en la que cada proposición es o bien una premisa (axioma, teorema ya demostrado), o bien se sigue de las anteriores según una regla de inferencia.

La regla de inferencia básica es el modus ponens: de P y P ⇒ Q se sigue Q. La regla es correcta porque (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q es una tautología.

8. Tipos de demostraciones

Demostración directa

Desde las premisas llegamos paso a paso a la afirmación. Afirmación: la suma de dos números pares es par. Demostración: los números pares son 2a y 2b para enteros a, b. Su suma es 2a + 2b = 2(a + b), es decir, el doble de un entero: un número par. ∎

Demostración por contrarrecíproco y por reducción al absurdo

En lugar de P ⇒ Q demostramos la equivalente ¬Q ⇒ ¬P, o suponemos que la afirmación es falsa y llegamos a un absurdo. Afirmación: hay infinitos números primos. Demostración por reducción al absurdo (Euclides): si hubiera un número finito de ellos, p₁, …, p_k, tomamos N = p₁ · … · p_k + 1. Ningún p_i divide a N: siempre sobra 1. Así que N tiene un divisor primo que falta en la lista. Contradicción. ∎

Contraejemplo

Una afirmación «para todo» se refuta con un solo ejemplo. «Todo número impar mayor que 1 es primo» se cumple para 3, 5 y 7, y cae con 9 = 3 · 3. Tres ejemplos no demuestran nada; un contraejemplo refuta.

Inducción matemática

Definición — principio de inducción matemática

Si se cumple P(1) (caso base) y para todo n ≥ 1 se cumple P(n) ⇒ P(n + 1) (paso inductivo), entonces P(n) se cumple para todo n ∈ ℕ.

Afirmación: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Caso base: para n = 1, a la izquierda hay 1 y a la derecha 1 · 2/2 = 1. Paso: si la fórmula se cumple para n, entonces 1 + … + n + (n + 1) = n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2, que es la fórmula para n + 1. ∎ La imagen muestra el mismo resultado: dos escaleras de puntos forman juntas un rectángulo n × (n + 1).

En informática, por inducción se demuestra la corrección de los algoritmos: «después de k pasos del bucle se cumple…». Así se demuestra, por ejemplo, que UCS expande los estados en orden no decreciente de coste y, por tanto, encuentra el camino más barato.

9. La lógica en la inteligencia artificial

• IA simbólica: los primeros sistemas de inteligencia artificial eran lógicos, con el conocimiento escrito como reglas «si–entonces» y la deducción mediante modus ponens. Sobre eso se construyeron los sistemas expertos de los años ochenta.
• Los solucionadores SAT (SAT solvers) resuelven la pregunta «¿se puede satisfacer esta proposición?» para millones de variables: planifican, verifican hardware y buscan errores en programas.
• Verificación de la IA: con la lógica se demuestran propiedades de los sistemas, como que un piloto automático nunca da dos órdenes contradictorias o que una red neuronal no cambia su decisión por un ruido invisible.
• Modelos de lenguaje y demostraciones: los modelos actuales saben escribir demostraciones, que luego se comprueban con herramientas formales que verifican cada paso de forma mecánica.

10. Resumen

• Una proposición es verdadera o falsa; las conectivas ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ ⊕ están definidas con precisión por la tabla de verdad.
• Una implicación es equivalente a su contrarrecíproca, no a su recíproca, y con una premisa falsa siempre es verdadera.
• XOR no se puede separar con una sola recta, y por eso una red neuronal necesita más capas.
• El orden de los cuantificadores importa; una afirmación «para todo» la refuta un solo contraejemplo.
• Una demostración es una cadena de pasos comprobables: directa, por contrarrecíproco, por reducción al absurdo o por inducción.

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