Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos

Un sistema difuso de Sugeno como red de cinco capas, aprendizaje híbrido con mínimos cuadrados y gradiente, aprendizaje de una función a partir de datos con ruido, la elección del número de reglas y el sobreajuste, la legibilidad de las reglas aprendidas y la relación con las redes RBF.

13 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 37 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

Los reguladores difusos de las entregas anteriores tenían un punto débil: alguien tenía que inventarse las reglas y las funciones de pertenencia. Cuando hay un operador con experiencia, es una ventaja. Cuando no lo hay — o cuando el sistema tiene que imitar datos medidos —, es un problema. Las redes neuronales tienen la naturaleza opuesta: aprenden cualquier cosa a partir de datos, pero lo que han aprendido no lo puede leer nadie. En 1993, Jyh-Shing Roger Jang unió ambas cosas en el sistema ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System): un sistema difuso de Sugeno escrito como una red cuyos parámetros se aprenden a partir de datos. Con esta entrega termina el módulo de lógica difusa.

Continúa las entregas Control difuso: Mamdani y Sugeno y Descenso de gradiente.

1. Un sistema difuso como red

Tomemos un sistema de Sugeno de primer orden con una entrada y cuatro reglas «SI x es A_i, ENTONCES y = p_ix + r_i». Cada paso de su cálculo es una capa de la red:

Definición — ANFIS (Jang, 1993)

1. Pertenencia: μ_i(x) = exp(−(x − c_i)² / 2σ_i²) — una función gaussiana con centro c_i y anchura σ_i.
2. Fuerza de la regla: w_i = producto de las pertenencias de la condición (con una sola entrada, solo μ_i(x)).
3. Normalización: w̄_i = w_i / ∑_j w_j.
4. Consecuente: w̄_i · (p_ix + r_i).
5. Suma: y = ∑_i w̄_i (p_ix + r_i).

Los parámetros de los antecedentes son c_i, σ_i; los parámetros de los consecuentes, p_i, r_i.

y = ∑_i w_i / ∑_j w_j · (p_ix + r_i)

y

la salida de todo el sistema para la entrada x — lo que comparamos con los datos y con lo que se mide el error

∑_i

la suma sobre todas las reglas — cada una contribuye, ninguna «se elige»; por eso la salida es suave y se puede derivar

w_i / ∑_j w_j

la fuerza normalizada w̄_i — al dividir por la suma, los pesos suman 1, así que la salida es un promedio ponderado de los consecuentes y no depende de lo altas que sean las colinas

p_ix + r_i

el consecuente lineal de la regla — una recta local que describe la función en la zona de la regla; una recta en lugar de una constante permite seguir también la pendiente con pocas reglas

μ_i(x) = exp( − (x − c_i)² / 2σ_i² )

μ_i(x)

el grado de pertenencia en [0, 1] — cuánto está x «alrededor de c_i»; la exponencial de un número negativo siempre está entre 0 y 1, y en el centro vale exactamente 1

(x − c_i)²

el cuadrado de la distancia al centro — la pertenencia baja igual hacia ambos lados y es suave también en el centro (con el valor absoluto tendría ahí un pico y la derivada no existiría)

2σ_i²

la anchura de la colina — la distancia se mide en unidades de σ_i, así que a la distancia σ_i del centro la pertenencia es siempre e^−1/2 ≈ 0,61; al aprender σ_i cambia hasta dónde «llega» la regla

Ejemplo — paso hacia delante en el punto x = 3

Tomemos el sistema tras la época cero del aprendizaje (ver más abajo): centros c = 0, 2, 4, 6, todas las anchuras σ = 1 y consecuentes por mínimos cuadrados. Para x = 3, las distancias a los centros son 3, 1, 1, 3, y por tanto

1. pertenencia y fuerza: w = (e^−4,5; e^−0,5; e^−0,5; e^−4,5) = (0,0111; 0,6065; 0,6065; 0,0111);
2. normalización: la suma es 1,2353, así que w̄ = (0,0090; 0,4910; 0,4910; 0,0090);
3. consecuentes: las rectas p_ix + r_i con los coeficientes aprendidos (9,54x + 0,01; 9,34x − 17,38; 8,56x − 36,61; 2,60x − 18,90) valen en el punto 3 (28,63; 10,66; −10,94; −11,09) — los coeficientes están redondeados, los valores se han calculado con los exactos;
4. suma: y = 0,2574 + 5,2329 − 5,3698 − 0,0997 ≈ 0,021.

El valor real es sin(3) = sin(3²/3) ≈ 0,141. Fíjate en que la salida surge al restar dos contribuciones grandes y casi iguales — volveremos a ello al hablar de la legibilidad.

2. Aprendizaje híbrido

Queremos minimizar el error cuadrático medio en los datos de entrenamiento. Se podría hacer todo con descenso de gradiente. Pero Jang se dio cuenta de que la salida es lineal en los parámetros de los consecuentes.

Definición — error cuadrático medio y RMSE

Para los datos (x₁, y₁), …, (x_N, y_N) y la salida del modelo ŷ(x), el error cuadrático medio es E = (1/N) ∑_k (ŷ(x_k) − y_k)² y la RMSE (root mean square error, raíz del error cuadrático medio) es su raíz cuadrada √E. Minimizar uno u otra es lo mismo; la RMSE se indica, sin embargo, porque tiene las unidades de la salida. Todos los errores de esta entrega son RMSE.

RMSE = √( (1/N) ∑_k (ŷ(x_k) − y_k)² )

ŷ(x_k)

la predicción del sistema en el k-ésimo punto — el único lugar por el que entran en el error los parámetros c, σ, p, r

− y_k, luego al cuadrado

la desviación respecto al valor medido, elevada al cuadrado — el signo no importa, los errores grandes pesan más que los pequeños y el cuadrado se deriva sin problemas (y para los consecuentes permite una solución exacta por mínimos cuadrados)

(1/N) ∑_k

el promedio sobre los puntos — así el error en 40 puntos de entrenamiento y en 121 de prueba es comparable

Algoritmo — aprendizaje híbrido

Con los antecedentes fijos, y(x) = ∑_i (w̄_ix) p_i + w̄_i r_i es una función lineal de los parámetros de los consecuentes. Por eso, en cada época:

1. hacia delante: calcula w̄_i para todos los datos y encuentra los parámetros de los consecuentes exactamente por el método de mínimos cuadrados;
2. hacia atrás: con los consecuentes así obtenidos, da un paso de descenso de gradiente para los centros c_i y las anchuras σ_i.

Definición — mínimos cuadrados para los consecuentes

Con c_i, σ_i fijos, los w̄_i(x_k) son simples números. Ordenemos los parámetros de los consecuentes en el vector θ = (p₁, r₁, …, p_n, r_n) y, para cada punto, formemos la fila

a_k = (w̄₁x_k, w̄₁, …, w̄_nx_k, w̄_n), de modo que ŷ(x_k) = a_k · θ.

Las filas forman la matriz A (N × 2n) y el error es ‖Aθ − y‖²/N. Su mínimo cumple las ecuaciones normales A^TA θ = A^Ty — un sistema de 2n ecuaciones lineales. Para 4 reglas y 40 puntos, A es una matriz de 40 × 8 y el sistema tiene 8 ecuaciones. Nuestro cálculo suma además 10⁻⁶ a la diagonal de A^TA (un pequeño término de cresta, ridge) para que el sistema tenga solución también con columnas casi dependientes, y lo resuelve por eliminación gaussiana.

Teorema — el gradiente respecto al centro y la anchura

Sea g_i = p_ix + r_i y W = ∑_j w_j. De ŷ = ∑_j w_jg_j / W, derivando el cociente, se obtiene ∂ŷ/∂w_i = (g_i − ŷ)/W. Las derivadas de la colina gaussiana son ∂w_i/∂c_i = w_i(x − c_i)/σ_i² y ∂w_i/∂σ_i = w_i(x − c_i)²/σ_i³. Por la regla de la cadena

∂E/∂c_i = (2/N) ∑_k (ŷ − y_k) (g_i − ŷ) w̄_i (x_k − c_i)/σ_i²,

∂E/∂σ_i = (2/N) ∑_k (ŷ − y_k) (g_i − ŷ) w̄_i (x_k − c_i)²/σ_i³,

donde ŷ, g_i y w̄_i se toman en el punto x_k.

∂E/∂c_i = (2/N) ∑_k (ŷ − y_k) (g_i − ŷ) w̄_i (x_k − c_i)/σ_i²

∂E/∂c_i

cuánto cambia el error si desplazamos el centro de la i-ésima colina — el paso de aprendizaje va en contra de este signo

ŷ − y_k

el error en el punto — donde el sistema acierta, el punto no pide nada y no contribuye al gradiente

g_i − ŷ

en qué se diferencia el consecuente de la regla de la salida total — dar más peso a la regla tira de la salida hacia su consecuente; si el consecuente dice lo mismo que el conjunto, no tiene sentido desplazar la colina

w̄_i

la participación de la regla en la salida — los puntos lejos de la colina, donde la regla apenas habla, casi no influyen en su centro

(x_k − c_i)/σ_i²

la dirección del desplazamiento — un punto a la derecha del centro tira de la colina hacia la derecha, uno a la izquierda hacia la izquierda; justo en el centro la colina es plana y desplazarla no cambia nada

Todo el aprendizaje del ejemplo de abajo en pseudocódigo (paso η = 0,1, 300 épocas):

c = centros uniformes en [0, 6]      # para 4 reglas 0, 2, 4, 6
σ = mitad de la separación de centros  # para 4 reglas 1
for epocha in 0 … 300:
    # hacia delante: capas 1–3, luego consecuentes exactos por mínimos cuadrados
    wn[k][i] = w̄_i(x_k)  para todos los puntos k y reglas i
    A = filas (wn[k][1]·x_k, wn[k][1], …, wn[k][n]·x_k, wn[k][n])
    p, r = resuelve (AᵀA + 10⁻⁶·I)·θ = Aᵀy
    if epocha == 300: break
    # hacia atrás: paso de gradiente según las fórmulas de arriba
    gc, gσ = ∂E/∂c, ∂E/∂σ
    c = c − η·gc
    σ = max(0,05; σ − η·gσ)  # la colina no debe desaparecer

3. ANFIS aprende una función

El problema: a partir de 40 muestras con ruido (ruido con desviación típica 0,1), aprender la función y = sin(x²/3) en el intervalo [0, 6]. Hacia la derecha, la función oscila cada vez más rápido, así que cuatro reglas repartidas uniformemente no son lo ideal. El error lo medimos también en 121 puntos sin ruido fuera de los datos de entrenamiento:

Ya en la época cero — solo con mínimos cuadrados para los consecuentes y colinas uniformes — el error de prueba es 0,394 y en los datos de entrenamiento 0,198. Después empiezan a aprenderse los antecedentes. Tras 100 épocas, el error de prueba es 0,202, y tras 300 épocas, 0,173. En los datos de entrenamiento baja a 0,107 — por debajo del nivel de ruido de los datos (0,114); mejor no se puede hacer con sensatez. Los centros de las colinas apenas se han movido; el cambio principal está en las anchuras — la última regla de la derecha, donde la función oscila más rápido, se ha estrechado de 1 a 0,64.

Definición — nivel de ruido de los datos

Los puntos de entrenamiento son y_k = f(x_k) + ε_k, donde f(x) = sin(x²/3) y los ε_k son desviaciones aleatorias independientes de una distribución normal con desviación típica 0,1. El nivel de ruido es la RMSE que tendría en los datos de entrenamiento la propia función real: √((1/40) ∑_k ε_k²) = 0,114. Es algo mayor que 0,1 solo por azar — en nuestras 40 desviaciones sorteadas.

Un modelo que tiene en los datos de entrenamiento un error menor que el nivel de ruido (0,107 < 0,114) ya empieza a copiar también las desviaciones aleatorias. Con una diferencia tan pequeña todavía no importa — el error de prueba sigue bajando —, pero es un primer aviso al que volveremos al hablar del número de reglas.

El descenso de gradiente puro para todos los parámetros empieza con consecuentes nulos y aprende mucho más despacio: tras 300 épocas tiene un error de prueba de 0,387, y ni tras 3 000 épocas (0,188) alcanza al aprendizaje híbrido tras 300. Además, un paso de aprendizaje mayor lleva rápidamente a la divergencia. Dividir el problema en una parte lineal y otra no lineal compensa.

4. ¿Cuántas reglas?

Al añadir reglas, el error en los datos de entrenamiento no deja de bajar. En la prueba, en cambio, a partir de ocho reglas se dispara — el sistema ha empezado a aprender el ruido: con 40 puntos y 32 parámetros (8 reglas × 4) tiene libertad de sobra para oscilar de forma desbocada entre los puntos de entrenamiento. Eso es el sobreajuste, el mismo fenómeno que en una regresión polinómica demasiado curvada. Aquí, un número razonable de reglas está entre tres y seis.

Ejemplo — cuántos parámetros tiene ANFIS

Con una entrada, cada regla tiene dos parámetros del antecedente (c_i, σ_i) y dos parámetros del consecuente (p_i, r_i), en total 4n. Para 40 puntos de entrenamiento:

• 4 reglas: 16 parámetros, de ellos 8 lineales — a cada parámetro lineal le corresponden 5 puntos;
• 8 reglas: 32 parámetros, de ellos 16 lineales — 2,5 puntos por parámetro lineal, y los mínimos cuadrados tienen así libertad de sobra para ajustar también el ruido;
• 12 reglas: 48 parámetros — más que puntos. Los mínimos cuadrados determinan «solo» 24 consecuentes a partir de 40 ecuaciones, pero otros 24 parámetros de los antecedentes pueden desplazar y estrechar las colinas justo donde el ruido se ha desviado.

Una regla práctica útil: debería haber al menos varias veces más puntos que parámetros que se estiman a partir de ellos.

5. Qué se puede leer

La promesa de los sistemas neurodifusos es que el modelo aprendido sigue siendo legible. Los antecedentes sí lo son: cuatro reglas «alrededor de 0», «alrededor de 2,2», «alrededor de 4» y «alrededor de 6,2». Los consecuentes, en cambio, no. La regla «SI x está alrededor de 2,2, ENTONCES y = 10,06 x − 13,83» predeciría en su centro 8,25, cuando el valor real es 1,0. Las reglas se compensan entre sí — las colinas se solapan mucho y la salida solo tiene sentido como conjunto.

Ejemplo — cómo se compensan las reglas en el punto x = 2,195

El centro aprendido de la segunda regla es c₂ = 2,195. Ahí la segunda regla tiene pertenencia plena (w₂ = 1), pero sus vecinas no la tienen nula: w = (0,140; 1; 0,331; 0,000), suma 1,471, así que

Regla	1	2	3	4
peso w̄i	0,095	0,680	0,225	0,000
consecuente gi	12,64	8,25	−25,64	−31,68
contribución w̄igi	1,203	5,609	−5,769	0,000

La suma es y = 1,203 + 5,609 − 5,769 = 1,043, y el valor real sin(2,195²/3) = 0,999. La salida es buena, pero surge como diferencia de dos contribuciones de alrededor de ±5,7: la segunda regla «se pasa» hacia arriba y la tercera la tira hacia abajo. Ninguna de las reglas dice por sí sola cuánto vale y.

La interpretabilidad, por tanto, no sale gratis. Ayudan a mantenerla ciertas restricciones: menos solapamiento de las funciones de pertenencia, regularización de los consecuentes o un Sugeno de orden cero con consecuentes constantes. A cambio se paga con precisión. Es el mismo equilibrio que en todo el aprendizaje automático — entre lo que el modelo sabe hacer y lo que sabemos decir de él.

6. ANFIS y las redes neuronales

• Parentesco con las redes RBF. Jang y Sun mostraron en 1993 que las redes de funciones de base radial y los sistemas difusos de Sugeno de orden cero son, bajo condiciones suaves, lo mismo, solo que interpretado de otra manera.
• La maldición de la dimensionalidad. Con n entradas y k términos por entrada, la rejilla de reglas tiene kⁿ reglas — para 10 entradas y 3 términos, más de 59 mil. Por eso ANFIS se usa con pocas entradas, o con reglas elegidas mediante agrupamiento (por ejemplo, el fuzzy c-means de la entrega anterior).
• Aplicaciones. Predicción de series temporales (la prueba clásica es la serie caótica de Mackey–Glass), modelado y control de sistemas de los que tenemos datos medidos, pero poca teoría.
• Hoy. Las redes profundas hace tiempo que se quedaron con los problemas de muchas entradas. La idea de «entrenable, pero legible», sin embargo, sigue viva en la IA explicable — y a veces se añaden capas difusas incluso a redes profundas allí donde hay que interpretar la salida mediante reglas.

Definición — red de funciones de base radial (RBF)

Una red RBF normalizada con n neuronas ocultas calcula

y(x) = ∑_i v_i φ(‖x − c_i‖) / ∑_j φ(‖x − c_j‖),

donde φ es una función decreciente de la distancia al centro c_i (típicamente gaussiana) y los v_i son los pesos de salida. El sistema de Sugeno de orden cero con pertenencias gaussianas y el producto como «y» es y = ∑_i w̄_i r_i — al sustituir w_i = φ(‖x − c_i‖) y v_i = r_i, exactamente la misma fórmula. Dicho de forma simplificada: regla = neurona, función de pertenencia = función de base, consecuente = peso de salida. (Jang y Sun, 1993, enumeran las condiciones con precisión: el mismo número de reglas y de neuronas, consecuentes constantes, pertenencias gaussianas con la misma anchura dentro de cada regla, el producto como «y» y la misma forma de componer la salida — promedio ponderado o suma ponderada.)

Ejemplo — la maldición de la dimensionalidad en números

Con n entradas y k términos por cada entrada, la rejilla completa tiene kⁿ reglas. El consecuente de Sugeno de primer orden y = p₁x₁ + … + p_nx_n + r tiene n + 1 parámetros, así que hay kⁿ(n + 1) parámetros lineales. Parámetros de los antecedentes solo hay 2kn — cada entrada tiene sus k colinas, compartidas por todas las reglas.

Para n = 10 y k = 3: 3¹⁰ = 59 049 reglas, 59 049 · 11 = 649 539 parámetros de los consecuentes y 2 · 3 · 10 = 60 parámetros de los antecedentes. Los mínimos cuadrados tendrían que resolver un sistema con 649 539 incógnitas — y harían falta todavía muchos más datos.

7. Resumen

• ANFIS es un sistema difuso de Sugeno escrito como una red de cinco capas: pertenencia, fuerza, normalización, consecuente, suma.
• El aprendizaje híbrido encuentra los consecuentes lineales exactamente por mínimos cuadrados y ajusta con el gradiente los centros y las anchuras de las funciones de pertenencia.
• Con la función sin(x²/3), aprender los antecedentes redujo el error de prueba de 0,394 a 0,173; el gradiente puro necesitó diez veces más épocas para un resultado peor.
• Demasiadas reglas llevan al sobreajuste — a partir de ocho reglas, el error de prueba se dispara.
• Los antecedentes siguen siendo legibles, pero los consecuentes se compensan entre sí; hay que vigilar la interpretabilidad.

Con esta entrega termina el módulo de lógica difusa: desde la palabra «cálido», pasando por la lógica y los reguladores, hasta un sistema que aprende las reglas por sí mismo. ¿Quieres probarlo tú mismo? Pide a un agente de IA que entrene un ANFIS con el consumo de electricidad según la temperatura a partir de datos públicos — y luego mira qué reglas tienen sentido.

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