Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué

La esperanza como centro de gravedad, la linealidad, la varianza y la desviación típica, la desigualdad de Chebyshev, la covarianza y la correlación, y por qué una covarianza nula no implica independencia.

14 minutos Matěj Žalmánek 2026-10-15

Serie Fundamentos de IA Parte 16 de 52

1. Mapa de la inteligencia artificial: qué es cada cosa y cómo encaja todo
2. Breve historia de la inteligencia artificial: de Turing a los modelos de lenguaje
3. Datos, modelo, entrenamiento, inferencia: los conceptos básicos en un solo ejemplo
4. Cómo leer la notación matemática: símbolos, subíndices, sumatorios y cuantificadores
5. Conjuntos y relaciones: las piezas con las que se construyen las definiciones en IA
6. Funciones y aplicaciones: por qué todo modelo de IA es una función
7. Lógica y demostraciones: las reglas con las que se razona en IA
8. Grafos y árboles: la estructura sobre la que se apoyan la búsqueda y las redes neuronales
9. Álgebra lineal para aprendizaje automático: vectores, matrices y por qué la IA sobre todo multiplica
10. Derivadas, gradiente y regla de la cadena: cómo sabe un modelo en qué dirección aprender
11. Descenso de gradiente: cómo aprende un modelo
12. Qué es la probabilidad: del lanzamiento de un dado a los axiomas de Kolmogórov
13. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: cómo cambiar una estimación cuando te enteras de algo nuevo
14. Variable aleatoria y función de distribución: una sola función que lo dice todo sobre la distribución
15. Función de densidad y función de probabilidad: por qué una variable continua tiene probabilidad cero en cada punto
16. Esperanza, varianza y covarianza: dónde está una distribución, qué anchura tiene y qué se relaciona con qué
17. Resumen de las distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, uniforme, normal y exponencial
18. Ley de los grandes números y teorema central del límite: por qué las medias se comportan de forma tan predecible
19. Estadística y estimación de parámetros: máxima verosimilitud, MAP e intervalos de confianza
20. Teoría de la información: entropía, entropía cruzada y divergencia KL, el origen de las funciones de pérdida
21. Búsqueda en el espacio de estados: BFS, DFS, UCS y A* con animaciones
22. Juegos y adversarios: minimax, poda alfa-beta y Monte Carlo tree search
23. Satisfacción de restricciones: backtracking, propagación de restricciones y AC-3 con un sudoku y un mapa de regiones checas
24. Lógica y sistemas basados en conocimiento: encadenamiento hacia delante y hacia atrás, resolución y sistemas expertos
25. Planificación: STRIPS, el mundo de bloques, heurísticas a partir de la relajación y la planificación en los agentes de IA
26. Búsqueda local y recocido simulado: un viajante por las capitales regionales checas
27. Algoritmos genéticos: población, cruce, mutación y selección en una mochila para la excursión
28. Estrategias evolutivas y programación genética: de la regla de un quinto a la ley de Kepler
29. Optimización por colonia de hormigas: cómo un rastro de feromona encuentra un camino corto
30. Optimización por enjambre de partículas: inercia, experiencia propia y experiencia del enjambre
31. Neuroevolución: evolución de los pesos y la forma de las redes neuronales, y el algoritmo NEAT
32. Conjuntos difusos y funciones de pertenencia: cómo escribir «algo cálido»
33. Lógica difusa y probabilidad: por qué «algo cálido» no significa «probablemente cálido»
34. Lógica difusa: t-normas, implicaciones y reglas SI–ENTONCES
35. Control difuso: Mamdani y Sugeno, del ventilador al péndulo invertido sobre un carro
36. Agrupamiento difuso: el algoritmo fuzzy c-means y los puntos entre clusters
37. Sistemas neuro-difusos (ANFIS): reglas difusas que aprenden de los datos
38. Cadenas de Markov: matriz de transición, distribución estacionaria y PageRank
39. Modelos ocultos de Márkov: el algoritmo de Viterbi y el casino deshonesto
40. Redes bayesianas: por qué está mojada la hierba y qué significa eso para el aspersor
41. El filtro de Kalman: cómo estimar a partir de mediciones imprecisas dónde está un coche y a qué velocidad va
42. Tipos de aprendizaje automático: supervisado, no supervisado, semisupervisado y más
43. Prompts, contexto y RAG: cómo darle a un modelo la información correcta
44. Autocodificadores variacionales (VAE): imágenes nuevas a partir de un espacio latente continuo
45. Redes generativas adversarias (GAN): el falsificador contra el detective
46. Modelos de difusión: cómo el ruido puro se convierte en una imagen
47. Procesos de decisión de Markov: estados, acciones, recompensas y ecuaciones de Bellman
48. Q-learning y DQN: aprender el valor de las acciones, de la tabla a la red neuronal
49. Gradiente de la política y PPO: aprender directamente la política
50. Cómo funciona un agente de IA: un modelo de lenguaje en un bucle con herramientas
51. Programación con agentes de IA: encargo, pruebas y revisión
52. Evaluación y seguridad de los sistemas de IA: cómo medir y cómo vigilar

Temario completo de la serie 52 de 83 temas publicados

La distribución de una variable aleatoria lo dice todo, pero «todo» suele ser demasiado. Para comparar dos distribuciones de un vistazo bastan unos pocos números: dónde está la distribución, qué anchura tiene y si dos variables crecen juntas o van en sentidos opuestos. Esos números se llaman esperanza, varianza y covarianza, y te los encontrarás en cualquier modelo de aprendizaje automático, desde la función de pérdida hasta el optimizador Adam.

Continúa las partes Variable aleatoria y Función de densidad.

1. Esperanza

Definición — esperanza de una variable discreta

Si una variable discreta X toma los valores x₁, x₂, … con función de probabilidad p, su esperanza es

E[X] = ∑_i x_i · p(x_i),

siempre que la serie converja absolutamente. También se denota μ.

En términos físicos, la esperanza es el centro de gravedad. Coloca las probabilidades como pesas sobre una palanca: el punto de apoyo solo la mantiene horizontal en la esperanza. En la figura está el mayor de los dos números de dos dados, es decir, el máximo. Los números altos son más frecuentes (el seis es el máximo en 11 de los 36 casos; el uno, solo en uno), así que el centro de gravedad queda a la derecha del centro: E[max] = 161/36 ≈ 4,47.

Definición — esperanza de una variable continua

Si X tiene densidad f, entonces E[X] = ∫_−∞^∞ x · f(x) dx, siempre que la integral converja absolutamente.

2. Linealidad de la esperanza

Teorema — linealidad de la esperanza

Para variables aleatorias X, Y con esperanza finita y números a, b se cumple

E[aX + b] = a · E[X] + b,   E[X + Y] = E[X] + E[Y],

y esto vale aunque X e Y no sean independientes.

3. Varianza y desviación típica

Definición — varianza

Para una variable X con esperanza μ, la varianza es

Var(X) = E[(X − μ)²].

Teorema — fórmula de cálculo de la varianza

Var(X) = E[X²] − (E[X])².

Definición — desviación típica

La desviación típica es σ = √Var(X).

4. Varianza de una suma: por qué compensa tirar dos veces

Teorema — varianza de una función lineal y de una suma

Var(aX + b) = a² · Var(X). Si X e Y son independientes, entonces Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

Comparemos dos juegos con la misma esperanza, 7. En el primero tiras dos dados y los sumas: Var = 35/12 + 35/12 = 35/6 ≈ 5,83, σ ≈ 2,42. En el segundo tiras una vez y duplicas el resultado: Var = 2² · 35/12 = 35/3 ≈ 11,67, σ ≈ 3,42. La media es la misma, pero el segundo juego es bastante más alocado: con dos dados, la mala suerte en uno a menudo se compensa con la buena suerte en el otro.

En el mismo principio se basan la diversificación de las inversiones y el hecho de que la media de varias mediciones oscile menos que una sola medición. Cuánto menos exactamente lo veremos en la próxima parte, sobre la ley de los grandes números.

5. Desigualdad de Chebyshev

Teorema — desigualdad de Chebyshev

Si X tiene esperanza μ y desviación típica finita σ > 0, entonces para todo k > 0

P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k².

6. Covarianza y correlación

Definición — covarianza

Para variables X, Y con esperanzas μ_X, μ_Y, la covarianza es

Cov(X, Y) = E[(X − μ_X)(Y − μ_Y)].

Definición — coeficiente de correlación

La correlación de dos variables con desviaciones típicas positivas es ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ_X σ_Y). Siempre se cumple −1 ≤ ρ ≤ 1.

El primer dado y la suma crecen juntos: Cov = 35/12 ≈ 2,92 y ρ ≈ 0,71. El primer y el segundo dado son independientes y los rectángulos se anulan exactamente: Cov = 0. Y cuanto más sale en el primer dado, menor es la diferencia «segundo menos primero»: Cov ≈ −2,92, ρ ≈ −0,71.

Teorema — varianza de una suma en general

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 · Cov(X, Y). Si X e Y son independientes, Cov(X, Y) = 0.

Cuidado, al revés no funciona: covarianza nula no significa independencia. La diferencia de los dados D = primero − segundo y su suma S tienen covarianza Var(primero) − Var(segundo) = 0. Y, sin embargo, son dependientes: si la suma es 12, la diferencia tiene que ser 0. La covarianza solo mide la relación lineal.

7. Esperanza y varianza en la inteligencia artificial

• Función de pérdida. El error cuadrático medio (MSE) es la esperanza del cuadrado del error, E[(Y − ŷ)²]. La mejor estimación constante es precisamente la esperanza de Y, y el error que queda es la varianza.
• Estandarización de las entradas. Antes de pasar los datos a la red se transforman en z = (x − μ) / σ: esperanza 0 y desviación típica 1. Así el aprendizaje es más rápido y estable; lo mismo hace dentro de la red la batch normalization.
• Matriz de covarianzas y PCA. Las covarianzas de todos los pares de características forman una matriz, y sus vectores propios (véase la parte sobre álgebra lineal) señalan las direcciones en las que los datos varían más.
• El optimizador Adam (de la parte sobre el descenso de gradiente) va estimando la esperanza del gradiente y la esperanza de su cuadrado, y divide el paso entre la raíz de esta última. Donde el gradiente oscila mucho, da pasos más prudentes.
• Sesgo y varianza del modelo. El error de un modelo se puede descomponer en un error sistemático (sesgo) y en la variación entre conjuntos de entrenamiento (varianza). Los modelos simples tienen mucho sesgo; los complejos, mucha varianza.

8. Resumen

• La esperanza es una media ponderada: el centro de gravedad de la distribución. Es lineal, incluso para variables dependientes.
• La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media; la desviación típica es su raíz, en las mismas unidades que los datos.
• Las varianzas de variables independientes se suman; por eso la suma de dos dados oscila menos que un dado × 2.
• Desigualdad de Chebyshev: a más de kσ de la media hay como mucho 1/k² de la probabilidad.
• La covarianza y la correlación miden la relación lineal entre dos variables; una covarianza nula no implica independencia.

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